高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十三讲一元微积分的应用(六 微积分在物理中的应用 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十三讲 一元微积分的应用(六) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 微积分在物理中的应用
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第八节微积分在物理学中的应用 变力沿直线作功 液体的静压力 、连续函数的平均值
第六章 一元微积分的应用 第 八 节 微积分在物理学中的应用 一、变力沿直线作功 二、液体的静压力 三、连续函数的平均值
变力沿直线作功 设变力f(x):其方向沿x轴正向大小随x值的变化而变化 变力f(x)推动物体,从点x=a处沿x轴正向运动到点 点x=b处(a0 当△x很小时,可视物体在区间 [x,x+△x]上,以变力在点x处的值 f(x) f(x)按常力作功,其值为 x x+ax bx △W=f(x)△x 于是,变力沿直线作功问题的微分元素为:dW=f(x)dx
一、变力沿直线作功 设变力 f (x): 其方向沿x轴正向, 大小随 x 值的变化而变化. 变力 f (x) 推动物体, 从点x = a 处沿x 轴正向运动到点 点x = b处(a b) 所作的功为: O x x + x x y f (x) a b x(a, b], x 0. 当x 很小时, 可视物体在区间 f (x) 按常力 作功, 其值为 [x, x + x]上, 以变力在点x处的值 W = f (x)x. 于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: dW = f (x)d x
由于功对区间具有可加性, 故变力∫(x)沿直线移动物体所做 y=f() 的功为: 积分区间:x∈[a,b] b x 微分元素:dW=f(x)dx 变力作功的几何表示 功的计算:W=JdW=」f(x)dx
由于功对区间具有可加性, 的功为: 积分区间: x[a, b]. 微分元素: dW = f (x)d x. : d ( )d . = = b a b a 功的计算 W W f x x O x y a b W y = f (x) W 故变力 f (x)沿直线移动物体所做 变力作功的几何表示
直径为0.20(m),长为1(m)的气缸内充满了压强 为98×103(N/m2)的某种气体若保持温度不变, 求推动活塞前进0.5(m)使气体压缩所作的功 解建立坐标系如图所示 9.8×103 活塞的面积为S=(0.1)2z 根据波义耳(Boye)定律, 恒温下气体的压强P与体积V 的乘积为常数: x0.5 1 x PV=k.(k为常数) 当活塞移动到x处时,压缩后气体的体积为:V=(1-x)S
例 1 解 直径为0.20 (m), 长为1(m)的气缸内, 充满了压强 9.8 10 ( / ) . , 为 5 N m2 的某种气体 若保持温度不变 求推动活塞前进 0.5 (m) 使气体压缩所作的功. O x 0.5 1 x ? 建立坐标系如图所示. (0.1) . 2 活塞的面积为 S = 根据波义耳( Boyle )定律, 恒温下,气体的压强P与体积V 的乘积为常数: PV = k. ( k 为常数) 当活塞移动到x处时, 压缩后气体的体积为: V = (1− x) S. O x 5 9.810 1
k K k 所以P(x) (1-x)·S(1-x)(0.1)2 从而在x处作用在活塞上的压力为 S=(0.1)x k F(x)=PS 取△x>0,在[x,x+△x]上,视压 力F(x)不变,则在该小区间上压缩气 Ox0.5 x x+△x 体作的功为 △W≈F(x)△x 由已知条件,当x=0时,气体的压强P(0)=9.8×103,故 k=PV|0=98×103×(0.1)2x=98007
所以, ( ) V k P x = (1 x) S K − = , (1 ) (0.1) 2 − = x k 从而在 x 处作用在活塞上的压力为 . 1 ( ) x k F x P S − = = 2 S = (0.1) O x 0.5 1 x ? x + x 取 x 0, 在[x, x + x]上, 视压 力F(x)不变, 则在该小区间上压缩气 体作的功为W F(x)x . , 0 , (0) 9.8 10 , 由已知条件 当x = 时 气体的压强P = 5 故 9.8 10 (0.1) 9800 . 5 2 0 = = = x= k PV
于是,所求的使气体体积压缩所作的功为 0.5 059800丌 F(xdx 0 0 =98007(-ln(1-x) 9800xn2≈213×10(焦耳) 微分元素:dW=F(x)dx kdx k=9800丌
于是, 所求的使气体体积压缩所作的功为: − = = 0.5 0 0.5 0 d 1 9800 ( )d x x W F x x 9800 ( ln(1 )) 0.5 0 = − − x 9800 ln 2 2.13 10 ( ). = 4 焦耳1 d : d ( )d x k x W F x x − 微分元素 = = k = 9800
2∥半径为10(m)的半球形的水池内装满了水, 例 求将池内的水全部抽干所作的功 解建立坐标系如图所示 球在xy平面上的截面为一半圆 其方程为 nExt P(x, y) x2+y2=102 10 x Vx∈[0,10,△x>0,则微分元素为 比重体积位移 在[xx+△上,薄片的dW=( y.ydx)x 体积用以xy2为底面积,dx为 丌x(102-x2)d 高的圆柱体的体积代替 y一水的比重1000(kgm3)
例 2 解 半径为10 (m)的半球形的水池内装满了水, 求将池内的水全部抽干所作的功. Ox y 10x P(x, y) x + x 建立坐标系如图所示. 球在 x y 平面上的截面为一半圆, 其方程为 10 . 2 2 2 x + y = x[0,10], x 0, 则微分元素为 d ( d ) 2 W = y x x (10 )d. 2 2 = x − x 1000 ( g/ ). 3 —水的比重 k m 比重 体积 位移 在 [x, x + x]上, 薄片的 , d 体积用以 y2为底面积 x为 高的圆柱体的体积代替
从而将水池中的水全部抽干所作的功为 W=」dW=0x(0-x2)dx 丌(50x 10 2500丌 ≈7854×103(kgm)
从而, 将水池中的水全部抽干所作的功为 d (10 )d 10 0 2 2 10 0 W = W = x − x x ) 4 1 ( 50 10 0 2 4 = x − x = 2500 7854 10 ( ). 3 kg m