高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十三讲微积分的基本公式 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十三讲 微积分的基本公式 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章一元函数积分学 第二节微积分的基本公式 积分上限函数 微积分基本公式
第五章 一元函数积分学 第二节 微积分的基本公式 一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
积分上限函数(变上限的定积分) 对可积函数f(x)而言每给定一对ab值,就有 确定的定积分值1=/(x)dx与之对应 这意味着f(x)的定积分∫f(x)dx与它的上下限 之间存在一种函数关系 固定积分下限不变让积分上限变化则得到积 分上限函数 F(x)=J(xdx=丁odtx∈ab
一. 积分上限函数 (变上限的定积分) 对可积函数 f (x)而言, 每给定一对a, b 值,就有 确定的定积分值I ( )d 与之对应. = b a f x x 这意味着 ( )的定积分 ( )d 与它的上下限 b a f x f x x 之间存在一种函数关系. 固定积分下限不变, 让积分上限变化, 则得到积 分上限函数: F(x) f (x)d x f (t)dt x [a,b]. x a x a = =
积分上限函数的几何意义 y=f(x) C O xx b x
O x y a x x b y = f (x) 积分上限函数的几何意义
积分上限函数的几何意义 f(x)dx y=f(x) C xx b x 曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化
O x y a x x b y = f (x) 积分上限函数的几何意义 x a f (x)d x 曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化
由积分的性质:/(x)dx=」/(x)dx,有 f(tdt=- f(t)dt 所以,我们只需讨论积分上限函数 f(t)dt称为积分下限函数
由积分的性质： ( )d = − ( )d , 有 a b b a f x x f x x ( )d ( )d , = − x b b x f t t f t t 所以，我们只需讨论积分上限函数. ( )d 称为积分下限函数. b x f t t
定理1若f(x)∈R(ab则F(x)=「f(dt∈C(ab]) 证」x∈[ab],且x+Ax∈n61,则 △F(x)=F(x+Ax)-F(x) x+△r x+△x f(tdt- f(tdt f(tdt x 又f(x)∈R([an,b]),故f(x)在[a,b上有界:f(x)|M x+△x x 于是0△F(x)|=|f()dr≤.1f()|dr≤MAx x 由夹逼定理及点x的任意性即可得F(x)∈C(a,b
定理 1 证 f (x) R([a,b]), F(x) f (t)dt C([a,b]). x a = 若 则 x[a,b], 且 x + x[a,b],则 F(x) = F(x + x) − F(x) + + = − = x x x x a x x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt 又 f (x) R([a,b]), 故 f (x)在[a,b]上有界：| f (x)| M. F x f t t f t t M x x x x x x x = + + 于是 0 | ( ) | | ( )d | | ( ) | d 由夹逼定理及点x的任意性, 即可得F(x)C([a,b])
定理1说明:定义在区间a,b上的 积分上限函数是连续的 积分上限函数是否可导?
. 1 : [ , ] 积分上限函数是连续的 定理 说明 定义在区间 a b 上的 积分上限函数是否可导?
由F(x+△)-F(x)=」「 +△x f(tdt, 如果f(x)∈C([a,b]),则由积分中值定理得 x+△x F(x+△x)-F(x) f(tdt=f(sAx 在x与x+Ax之间 to lim F(x+Ax)-F(x)= lim/(5)4x △x->0 △x △x △x 条件 这说明了什么? lim f(s=f() △x→>0
( ) ( ) ( )d , + + − = x x x 由 F x x F x f t t 如果 f (x)C([a,b]), 则由积分中值定理, 得 F(x x) F(x) f (t)dt f ( ) x , x x x + − = = + ( 在 x与x + x 之间) x f x x F x x F x x x = + − → → ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 故 lim ( ) ( ) 0 f f x x = = → 这说明了什么 ？ 条件