高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第七讲函数极限的概念和性质 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第七讲 函数极限的概念和性质 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ'和"ε-X语言描 述函数的极限 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判別法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与连续性 第一节函数的极限与性质 x→>∞时,f(x)的极限 二.x→x时,f(x)的极限 三,极限定义及定理小结 四.函数极限的基本性质
第三章 函数的极限与连续性 第一节 函数的极限与性质 一 . x → 时, f (x)的极限 二. x → x0 时, f (x)的极限 三. 极限定义及定理小结 四. 函数极限的基本性质
x→>∞时,f(x)的极限 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数.所以.可望将数列的极限理论推广至 函数中,并用极限理论研究函数的变化情形 从数列{xn}:xn 与函数y=-(x∈(0,+0) 的图形可以看出 0,(l 0 x->0X O123 如何描述它?
一 . x → 时, f (x)的极限 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数 域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到 函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形. 1 { }: n x x 从数列 n n = ( (0, )) 1 = x + x 与函数 y 的图形可以看出: 0. 1 0, lim 1 lim = = n→ n x→ x O x y 1 2 3 n n xn 1 = x y 1 = 如何描述它？
回忆数列{xn}:xn=-极限的定义 VE>0,若丑N>0,使当n>N时,有|xn-a|0时,以a为极限,记为 liman=a n→) 数列是一种特殊的函数:xn=f(m)n∈Z+ fin limx=a与limf(x)=a相当,故可以从形式进行 x→)+∞ 推广,将x替換为∫(x),n替換为x,N替換为X VE>0,若丑X>0,使当x>X时,有|(x)-a|+0时,以a为极限,记为 好像没有问 lim f(x)=a 有问题没有? x→)+O
1 回忆数列{ }: 极限的定义： n x x n n = 0, 若N 0, 使当n N 时, 有 | x − a | n 成立, 则称数列{xn }当n → 时, 以 a 为极限, 记为 limx a . n n = → : ( ) . + 数列是一种特殊的函数 xn = f n nZ 而 limx a 与 lim f (x) a 相当, 故可以从形式进行 x n n = = → →+ , x f (x), n x , N X : 推广 将 n 替换为 替换为 替换为 0, 若X 0, 使当x X 时, 有 | f (x) − a | 成立, 则称函数 f (x)当x → + 时, 以 a 为极限, 记为 lim f (x) a . x = →+ 好像没有问题. 有问题没有？
1.x→>+∞时,函数f(x)的极限 定义Vg>0.若彐X>0.使当x>X时,有 Lf(x)as8 成立,则称函数f(x)当x→)+0时,极限存在, 常数a为其极限值记为 lim f(x)=a x→)+∞ 或记为f(x)→>a(x→>+∞) 想想:如何从几何的角度来表示该定义? If(x-akkeesa-8<f(x<a+8
0, 若 X 0, 使当x X 时, 有 成立, 则称函数 f (x)当x → + 时, 极限存在, lim f (x) a , x = →+ | f (x) − a | 1. x → + 时, 函数 f (x)的极限 定义 或记为 f (x) → a (x → +). 常数a 为其极限值, 记为 想想：如何从几何的角度来表示该定义？ | f (x) − a | a − f (x) a +
limf(x)=a的几何意义 y=a+8 y y=a-a O 当x>X时,a-E<f(x)<a+E,即函数的图 形夹在两条平行线y=a+E和y=a-E之间
lim f (x) a 的几何意义 x = →+ O x y y = a y = a + y = a − X y = f (x) 当x X 时, a − f (x) a + , 即函数的图 形夹在两条平行线 y = a + 和 y = a − 之间
我们将得到κ→-∞时,函数的极限 将图形对称 y=f(x) y=a+a y=a y=a-8 O 将图形对称过去后,你有什么想法?
O x y y = a y = a + y = a − − X X y = f (x) 将图形对称过去后, 你有什么想法? 将图形对称 我们将得到x → −时, 函数的极限
2.x→-0时,函数f(x)的极限 义Vg>0.若彐X>0.使当x-时,极限存在 常数a为其极限值记为 lim f(x)=a 或记为f(x)→>a(x>-0) limf(x)=a的几何意义与lmf(x)=a的情形类似 x→)-00 x→)+0
0, 若 X 0, 使当x −X 时, 有 成立, 则称函数 f (x)当x → − 时, 极限存在, lim f (x) a , x = →− | f (x) − a | 2. x → − 时, 函数 f (x)的极限 定义 或记为 f (x) → a (x → −). 常数a 为其极限值, 记为 lim f (x) a 的几何意义与 lim f (x) a 的情形类似. x x = = →− →+
现在从整体上来看这个图形,你有什么想法? y=f(x) y=a+a y=a y=a-8 O X x|>X>0←→x>X或x<-H
O x y y = a y = a + y = a − − X X y = f (x) 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法? | x | X 0 x X 或 x −X