高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十二讲定积分的概念 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十二讲 定积分的概念 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章一元函数的积分 第一节定积分的概念 曲边梯形的面积 定积分的定义 定积分的性质
第一节 定积分的概念 第五章 一元函数的积分 二. 定积分的定义 一. 曲边梯形的面积 三. 定积分的性质
第五章一元函数的积分 第一节定积分的概念和性质 在我国古代南北朝(公元429—500年)时 南朝的科学家祖沖之运用逐渐增加圆内多边形的边 数,算出正多边形的面积,逼近相应的圆的面积, 得到了π近似值 在初等几何中,计算任意多边形面积时,常采 用如下方法:首先将任意多边形划分为若干个小三 角形,分别计算各个三角形的面积,然后求和,得 到任意多边形的面积
第五章 一元函数的积分 第一节 定积分的概念和性质 在我国古代南北朝（公元 429 — 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了π 近似值. 在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采 用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三 角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得 到任意多边形的面积
阿基米德运用这种方法,求得抛物线y=x2与 x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值 就是说,在计算复杂图形的面积时,可以先将 它划分为若干个容易算得面积的小块,并分别求出 各小块图形的面积,然后求和,即得到原图形的面 积的近似值(边界线为直线时,可得精确值) 如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值. 2 y = x 就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将 它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出 各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面 积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）. 如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
曲边梯形的面积 1.曲边梯形 曲边梯形:三边为直线,其中有两边相互 平行且与第三边垂直(底边),第四边是一条 曲线,它与垂直于底边的直线至多有一个交点 (这里不排除某直线缩成一点)
一. 曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）. 1. 曲边梯形
2.求曲边梯形的面积 首先,我们重复阿基米德的做法 分划代替求和 得到曲边梯形的近似值,然后,引入极限过程, 求出曲边梯形的精确值
2. 求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法： 分划—代替—求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值
y=f(x) 设f(x)>0, f(x)∈C([a,b]) a X1 第一步:分划」任意引八分点称为区间的一个分法T <x1<…<x-1<x2<…<xn1<xn=b 将[a,b]分成n个小区间[x1,x](=1,2,…,n) 用Ax=x-x-1表示第个小区间的长度
O x y a x1 xi−1 xi b y = f (x) 设 f (x) 0, f (x)C([a,b]). 第一步：分划 , a = x0 x1 xi−1 xi xn−1 xn = b 任意引入分点 [ , ] [ , ] ( 1,2, , ). 1 a b n x x i n 将 分成 个小区间 i− i = . 用xi = xi − xi−1 表示第 i 个小区间的长度 称为区间的一个分法 T
第二步:代替 V∈[x12x],则 小曲边梯形面积:△S≈f(2)x △S与5的选择有关 对每个小曲边梯形均作上述的代替
第二步：代替 i−1 x i x i [ , ], i xi−1 xi 则 : ( ) . i i i 小曲边梯形面积 S f x • 对每个小曲边梯形均作上述的代替 与 的选择有关. i i S
y=f(x) 如何求精确值? 极限过程是什么? 第三步:求和 曲边梯形面积:S≈∑AS=∑f(5)A S与分法T及点的选择有关
O x y a x1 xi−1 xi b y = f (x) 第三步：求和 : ( ) . 1 1 = = = n i i i n i i 曲边梯形面积 S S f x 与分法T 及点 的选择有关. i S 极限过程是什么？ 如何求精确值？