高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十二讲一元微积分的应用五) 平面曲线的曲率 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十二讲 一元微积分的应用(五) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 平面曲线的曲率
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第七节平面曲线的曲率 曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
第六章 一元微积分的应用 第 七 节 平面曲线的曲率 一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
我仉己经讨论过曲线的凹凸性,知道如 何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度,而在许多实际问题中 都必须考慮曲线的弯曲程度,例如,道路的 弯道设讣,梁的弯曲程度曲线形的切判工 具的设计等等 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度?
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 何判断曲线的弯曲方向, 但是还不能描述和 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计, 梁的弯曲程度, 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度?
曲率的概念 y=f(x) 设y=f( x)∈/1 M 点M沿曲线运动到点 M时,相应地切线转 过角度△a(称为转角 弧的改变量为Δs.称 x k △△ 单位弧长上的转角 为MM的平均曲率.其中△a与As具有方向性
O x y M M y = f (x) ( ) . 1 设 y = f x C 点M 沿曲线运动到点 M 时, 相应地切线转 过角度 (称为转角), 弧的改变量为s. 称 其中, 与s 具有方向性. 单位弧长上的转角 ︵ 为MM的平均曲率. 一、曲率的概念 s = k
△ a da k=lim k= lim △s→>0 A>0△s|ds 称为曲线y=f(x)在点M处的曲率 又是平均值+极限的方法
s s k k s s d d lim lim 0 0 = = = → → 称为曲线 y = f (x) 在点M 处的曲率. 又是平均值 + 极限的方法
例1求半径为R的圆上任意一点处的曲率 解 如图所示,在圆上任取一点M,则 A=‖MM‖=R.△a △c △a1 故lim Im R As→0△sAs->0R·△aR M 即圆上点的曲率处处相同 C k R 半径越小的圆弯曲得越厉害
例1 解 求半径为R 的圆上任意一点处的曲率 . M M 如图所示, 在圆上任取一点 M , 则 R s =|| MM || ︵ = R 故 = s→ s 0 lim 即圆上点的曲率处处相同： R k 1 = 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害. s R R 1 lim 0 = → O
、曲率的计算公式 设曲线方程为y=f(x),f(x)二阶可 则在曲线上点M(x2y)处的曲率为 k
设曲线方程为 y = f (x) , f (x) 二阶可导 , 则在曲线上点 M (x, y) 处的曲率为 (1 ) 2 3 2 y y k + = 二、曲率的计算公式
证‖如图所示,曲线在 点M处切线的斜率为 y=f(x) y=tana M 故O= arctan y da y dx 1+y dx 1+y 又ds 1+y X C 从而k d-1+y /2ar ds(1+y2)
O x y M M y = f (x) 证 如图所示, 曲线在 点M 处切线的斜率为 y = tan 故 = arctan y x y x y d d 1 1 d d 2 + = 2 1 y y + = 又 d s 1 y d x 2 = + 从而 d (1 ) d 2 3 2 y y s k + = = x y y d 1 d 2 + =
例2求直线y=ax+b上任意一点处的曲率 解 0 0(Vx∈R) (1+y 直线上任意一点处的曲率均为零 俗话说,直线不弯曲
例2 解 求直线 y = a x + b 上任意一点处的曲率 . y = a , y = 0 , 0 (1 ) 2 3 2 = + = y y k ( x R ). 直线上任意一点处的曲率均为零. 俗话说 , 直线不弯曲