高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（三）多元微积分学课件 第一章 多元函数微分学（1.7）高阶偏导数

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学

高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学

第一章 多元函数微分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平

第一章 多元函数微分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平

第一章多元函数微分学 本章学习要求 1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法 3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件 5.理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系

第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系

6.会求隐函数包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7.知道二元函数的泰勒公式形式。 8.知道n元函数的偏导数概念及其求法。 9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法 10.了解空间平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 1l.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12.理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题

6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题

第七节高阶偏导数 多元函数的高阶导数与—元函数的情形类似 般说来在区域Ω内函数z=f(x,y)的偏导数 zxzx 仍是变量xy的多元函数,如果偏导数 az 仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数 的二阶偏导数 依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数

第七节 高阶偏导数 多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. 一般说来, 在区域  内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数 , x z   y z   仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数 的二阶偏导数. 依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数. , 仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数 x z   y z  

般地,若函数f(X)的m-1阶偏导数仍可偏导, 则称其偏导数为原来函数的m阶偏导数 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其 中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数

一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏 导, 则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数

例二元函数==f(xy)的二阶偏导数 az <魔 Ox=ax ax az X ax ay2=ay·oy y Ox ax OxY) oyo a aza Oy( ax axa aloy

二元函数 z = f (x, y)的二阶偏导数： x z   x y  =          x z x  =          x z y y z   x y =             y z x =             y z y x = x x 2 y = y y 2 2 2 x z   x y z    2 y x z    2 2 2 y z   例

高阶偏导数还可使用下列记号 2 axa fy=12 2 22 21 Oyo 二元函数的二阶偏导数共22=4项

高阶偏导数还可使用下列记号 2 11 2 f f x z xx =  =    2 22 2 f f y z yy =  =    12 2 f f x y z xy =  =     21 2 f f y x z yx =  =     二元函数的二阶偏导数共 2 2 = 4 项

例‖二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数: a2 a2z Oyax Oxoy ay Ox2 < 3 OX OX Ovl a

二元函数 z = f (x, y)的三阶偏导数： 2 2 x z   3 3 2 2 x z x z x    =          x y z x z y     =          2 3 2 2 x y 2 2 x z   2 2 y z   x y z    2 y x z    2 例 1

例二元函数z=f(xy)的三阶偏导数: 2 822 02 022 022 Oyax Oxoy ay Ox2 a(a2-)a3 03z ay( av ay

二元函数 z = f (x, y)的三阶偏导数： 2 2 y z   y x z y z x     =          2 3 2 2 3 3 2 2 y z y z y    =          x y 2 2 x z   2 2 y z   x y z    2 y x z    2 例 2