高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第38讲 高阶常系数线性微分方程、欧拉方程

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十讲一元微积分的应用G六 微积分在物理中的应用 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十讲 一元微积分的应用(六) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 微积分在物理中的应用

第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ■了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利( Bernoulli)方程和全微分 方程熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ■会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ■知道下列高阶方程的降阶法 "=f(x,y),y=f(,y), y=f(x) 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法 ■熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法

第七章 常微分方程 本章学习要求： ◼了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ◼了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ◼会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ◼知道下列高阶方程的降阶法： ( ). ( ) y f x n y  = f (x, y ), y  = f ( y, y ), = ◼了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. ◼熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. ◼掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法

第五节二阶常系数线性微分方程 y+py+qy=o y+py+qy=f(x) 二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 n+pn+g=o 特解y* 特征根 通解y=C1y+C2y2 通解y=y+y*

第五节 二阶常系数线性微分方程 y  + p y  + q y = 0 二阶常系数齐线性方程 y  + p y  + q y = f (x) 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 0 2  + p + q = 特征根 , 1 2 1 1 2 2 通解 y = C y +C y 特解 y* 通解 y = y + y*

、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 y"+py2+qy=0(1) 的方程,称为二阶常系数齐线性微分方程,其中p、q 为实)常数。 假设方程有形如y=e的解,则代入方程后,得 x2ex+入pex+aex=0, +p+q=0。 特行方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 y  + p y  + q y = 0 (1) 为(实)常数。 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 其中 p、q 假设方程有形如 的解，则代入方程后，得 x y e  = 0  2 e  x +  pe  x + qe  x = ， 即 0  2 +  p+ q= 。 特征方程

二阶常系数齐线性微分方程 y"+py+qy=0(1) 的特征方程为 22+4n+a=0 1)特征方程有两个不同的实根A1≠2,则 y 是方程(1)的两个线性无关的解,故方程(1)的通解为 y=C1y+C222=Ce1+ C2y2

二阶常系数齐线性微分方程 y  + p y  + q y = 0 (1) 的特征方程为 0  2 +  p+ q= 。 1) 特征方程有两个不同的实 根 1  2 ， 则 x x y e y e 1 2 1 2   = ， = 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 1 1 2 2 1 2 2 y = C y +C y = C e 1 x +C y

二阶常系数齐线性微分方程 y"+py+qy=0(1) 的特征方程为 +p+q=0。 2)特征方程有实重根A1=2,则 p2-4q=0, p+2x1=0 由求根公式2.-p12-A=2 此时,y=e是方程(l)的一个解

二阶常系数齐线性微分方程 y  + p y  + q y = 0 (1) 的特征方程为 0  2 +  p+ q= 。 2) 特征方程有实重根 1 = 2 ，则 (1) 1 此时，y1 = e  x 是方程 的一个解。 4 0 p 2 − q = ， 由求根公式 2 2 4 2 1,2 ， p p q p = − −  −  = p + 21 = 0

由刘维尔公式求另一个解: p+2x1=0 ei edx d x=e A1x。(P+21)x d x n dx=xe 于是,当特征方程有重实根时,方程(1)的通解为 Etx+c xe (C1+C2x)

由刘维尔公式求另一个解：   − + − =  = x e e x e e y e x p x x p x x d d ( ) ( 2 ) 2 d 2 1 1 1 1     p + 21 = 0 d = e 1 x  x = xe 1 x 。 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为 ( ) 1 2 1 2 y = C e 1 x +C xe 1 x = e 1 x C +C x

二阶常系数齐线性微分方程 y"+py+qy=0(1) 的特征方程为 +p+q=0。 3)特征方程有一对共轭复根:A=a+1if,A2=a-iB,则 Vi=e nx =e (a+iB) -1B) 是方程(1)的两个线性无关的解,其通解为 y=C+C2y2=Ce (a+iB)x +ce (a-iB)x 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i

二阶常系数齐线性微分方程 y  + p y  + q y = 0 (1) 的特征方程为 0  2 +  p+ q= 。 3) 特征方程有一对共轭复根： i i 1 = +  ，2 = −  ，则 ( i ) 2 ( i ) 1 1 2 x x x x y e e y e e  +   −  = = ， = = 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 ( i ) 2 ( i ) y = C1 y1 +C2 y2 = C1 e +  x +C e −  x 。 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i

欧拉公式:e°=cos+ isin e。 axx Bx y 1B) e (cos Bx +isin Bx), ax B y (a-iB)x =e(cos Bx-1sin Bx 由线性方程解的性质: Y=(1+y2)=e cos Bx y2=0(i-y2)=e sin Bx 均为方程(1)的解,且它们是线性无关的 Wle cos Bx,e" sin Bx]≠0

欧拉公式： cos isin e i =  +  。 (cos isin ) ( i ) i y1 = e +  x = e x e  x = e x  x +  x ， (cos isin ) ( i ) i y1 = e −  x = e x e −  x = e x  x −  x 。 由线性方程解的性质： ( ) cos 2 1 y1  = y1 + y2 = e  x  x， ( ) sin 2i 1 2 1 2 y y y e x x   = − =  均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的： W[e cos x， e sin x]  0。 x x    

故当特征方程有一对共轭复根 11=a+iB,A2=a-1B 时,原方程的通解可表示为 y=e (C cos Bx+ C2 sin Bx)

故当特征方程有一对共轭复根 i i 1 = +  ，2 = −  时，原方程的通解可表示为 ( cos sin ) y = e x C1  x +C2  x