高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第二十九讲一元微积分的应用(二) 函数(曲线)的凹凸性、拐点、 函数图形的描绘 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十九讲 一元微积分的应用(二) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 函数(曲线)的凹凸性、拐点、 函数图形的描绘
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第三节曲线的凹凸性、 函数图形的描绘 、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 第六章 一元微积分的应用 第三节 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘
曲线的凹凸性、拐点 我们说一个函数单调增加,你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? B A
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? O x y A B ? ! . . 一、曲线的凹凸性、拐点
f(x)1a.b时,它的图形的形式不尽相同 般说来,对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题
( ) , f x (a, b) 时 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 . 在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题
简单地说,在区间I上 曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的 曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的 y=f(x) 凹y oI x, x1+x2 x, X,+x 2
简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的. 凸 凹 O x y 2 1 2 x +x y = f (x) 2 x 1 x O x y 2 1 2 x +x y = f (x) 2 x 1 x
定义 设f(x)∈C(I) 如果x1,x2∈Ⅰ(x1≠x2)恒有 ,+x )>(f(x1)+f(x2)) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凸的; 如果∨x1,x2∈I(x1≠x2),恒有 f(x+x)<1(f(x)+f(x2) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凹的
设 f (x)C( I). , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 ( ( ) ( ) ) 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凸的 ; , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 ( ( ) ( ) ) 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凹的 . 定义
凹凸性的一般性 定义是
凹凸性的一般性 定义是……
y=f(x) 弦线PQ的方程:y=f(x) f(x2)-f(x, (x-x1) 点x的坐标:x=1x1+(1-1)x2,A∈(O,1) 曲线位于弦线上方:f(x)>y弦 即f(4x1+(1-4)x2)>4f(x1)+(1-)f(x2)
O x y 凸 a x b P Q 弦线 PQ的方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 x x x x f x f x y f x − − − 弦 = − 点x的坐标: (1 ) , (0, 1) x = x1 + − x2 曲线位于弦线上方: f (x) y弦 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 即 f x + − x f x + − f x y = f (x) 2 x1 x
y=f(x) 弦线PQ的方程:y=f(x) f(x2)-f(x, 点x的坐标:x=x+(1-4)x2,A∈(0,1) 曲线位于弦线下方:f(x)<y弦 即f(x1+(1-)x2)<4f(x1)+(1-)f(x2)
O x y 凹 a x b P Q 弦线 PQ的方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 x x x x f x f x y f x − − − 弦 = − 点x的坐标: (1 ) , (0, 1) x = x1 + − x2 曲线位于弦线下方: f (x) y弦 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 即 f x + − x f x + − f x y = f (x) 1 x 2 x