高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十四讲常微分方程 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十四讲 常微分方程 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ■了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利( Bernoulli)方程和全微分 方程熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ■会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ■知道下列高阶方程的降阶法 "=f(x,y),y=f(,y), y=f(x) 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法 ■熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第七章 常微分方程 本章学习要求： ◼了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ◼了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ◼会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ◼知道下列高阶方程的降阶法： ( ). ( ) y f x n y = f (x, y ), y = f ( y, y ), = ◼了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. ◼熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. ◼掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第三节几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法,称为“降阶法”。 降阶法”是解高阶方程常用的方法之
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一
1 f(x)型 令l=ym,则原方程化为 d u f(x) 这是变量可分离的方程,两边积分,得 (x)dx+C1=(x)+C1 y=(x)+C1。仍是y0=f(x)型 只需连续进行n次积分即可求解这类方程,但请注意: 每次积分都应该出现一个积分常数
1. y (n) = f (x)型 令 u = y (n−1)，则原方程化为( ) d d f x 。 x u = 这是变量可分离的方程，两边积分，得 ( )d ( ) , 1 C1 u = f x x +C = x + 即 ( ) 1 y (n−1) = x +C 。 ( ) 仍是 y (n) = f x 型 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数
例求方程y=lhx的通解。 解对方程两边关于x连续积分3次,得到所求的通解 ndx=xinx-x+Ci y=(Inx-x+Ci)dx nx +Cx+C2 24 Inx 3 +Cx+, dx 24 = - nx x32+1x2+C、x+C 36
例解 求方程 y = ln x 的通解。 ln d ln y = x x = x x − x + C1， y = (x ln x − x +C )d x 1 43 2 ln 1 2 2 C x C ， x x + + = − C x C x x y x d 43 2 ln 1 2 2 + + = − 36 2 11 ln 61 2 3 3 3 1 x2 C x C 。 C = x x − x + + + 对方程两边关于x 连续积分3次，得到所求的通解：
例求方程y=1的通解 解对方程两边关于x连续积分n次,得到所求的通解: =x+C1, 2)=x2+C1x+C x+-Cix+cx+c 3!2 C1x"2+…+Cn2x+C n-1)!(n-2) x+ (n-1)Cxn1+…+Cnx+Cn
例解 1 求方程 y(n) = 的通解。 对方程两边关于x 连续积分 n次，得到所求的通解： 1 y ( n − 1 ) = x + C ， 21 1 2 y(n − 2) = x 2 + C x + C ， 2!1 3!1 2 3 2 1 y(n−3) = x3 + C x +C x +C ， ( 2)! 1 ( 1)! 1 2 1 2 1 −1 − + + − + − ， − + − = n n n n C x C x C n x n y ( 1)! 1 !1 1 1 n C1xn Cn x Cn 。 n x n y + + + − = + − −
2.y=f(x,y)型 令p=y),则原方程化为 ∫(x,p) d x 这是一个一阶微分方程。设其通解为 p=(x,C1) 这是一个ym=f(x)型的方程: P(x, C1 连续积分即可求解
2. y (n) = f (x, y (n−1) )型 令 p = y (n−1)，则原方程化为 ( , ) d d f x p 。 x p = 这是一个一阶微分方程。设其通解为 ( , ) p = x C1 ， ( , ) 1 y (n−1) = x C ， ( ) 这是一个 y (n) = f x 型的方程： 连续积分即可求解
例求方程(1+x2)y=2满足条件y。=by1。=3解 解令p=y,则原方程化为 d p 2xdx 1+x 两边积分,得p=C1(1+x2), dy=C1(1+x), dx 再积分,得原方程的通解 y=|G1(1+x2)dx=C1(x+x)+C2° 以条件y1=0=,y=0=3代入,得C=3,C2=1 故所求特解为y=x3+3x+1
例 解 (1 ) 2 1 3 0 0 求方程 + x 2 y = xy 满足条件 y x= = ，y x= = 解。 令 p = y ，则原方程化为 1 d 2 d 2 ， x x x p p + = 两边积分，得 (1 ) 2 p = C1 + x ， 即 (1 ) d d 2 C1 x ， x y = + 再积分，得原方程的通解 ) 3 1 (1 )d ( 2 3 1 2 y = C1 + x x = C x + x +C 。 1 3 以条件 y x=0 = ，y x=0 = 代入，得 3 1 C1 = ， C2 = 。 3 1 故所求特解为 y = x 3 + x +
例求方程xy32-y+=0的通解 解」令p=y,则原方程化为 p=0, dx 分离变量,得 积分,得 P=(x, m)=f(x)型 连续积分4次,得原方程的通解为 x+c+ 120
例 解 0 求方程 x y (5) − y (4) = 的通解。 令 p = y (4)，则原方程化为0 d d − p = ， x p x 分离变量，得 d d ， x x p p = 积分，得 y (4) = p = Cx， 连续积分 4 次，得原方程的通解为 ) 120 ( 4 5 1 2 3 3 2 5 1 ， 。 C y = C x +C x +C x +C x +C C = y (n) = f (x)型
3.y"=f(①y,y)型 则y-dx p a p p=y 于是,原方程化为 d Pdvf(y,p)o 这是一个一阶微分方程。设其通解为 p=o(y, C1) d 这是一个变量分离方程,它的通解就是原方程的通解
3. y = f ( y, y )型 d d d d d d d d 令 ，则 。 y p p x y y p x p p = y y = = = 于是，原方程化为 ( , ) d d f y p 。 y p p = 这是一个一阶微分方程。设其通解为 ( , ) d d p y C1 。 x y = = 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解