高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学
第一章 多元函数微分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平
第一章 多元函数微分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平
第一章多元函数微分学 本章学习要求 1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法 3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件 5.理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
6.会求隐函数包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7.知道二元函数的泰勒公式形式。 8.知道n元函数的偏导数概念及其求法。 9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法 10.了解空间平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 1l.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12.理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
第五节多元复合亟数微分法 全导数 多元函数经复合远算后.一般仍 是多元函数,但也可能成为一元函数 按前面关于多元函数的讨论方法.复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始 这就是全导数问题
一. 全 导 数 多元函数经复合运算后, 一般仍 是多元函数, 但也可能成为一元函数. 按前面关于多元函数的讨论方法, 复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始. 这就是全导数问题. 第五节 多元复合函数微分法
例设 x= asin t,y= b cos t,求 d t 解 z=x'y=(asin t)(b cost)=a'b sin*2t 故 a2b2.2 sin 2t cos 2t. 2 d t 4 == b sin 4t 下面看另一种解法
. d d , sin , cos , 2 2 t z 设 z = x y x = a t y = b t 求 z x y a t b t a b sin 2t 4 1 ( sin ) ( cos ) 2 2 2 2 2 2 2 = = = 2sin 2 cos 2 2 4 1 d d 2 2 = a b t t t z 故 a b sin 4t 2 1 2 2 = 下面看另一种解法. 例 解
例设 x= asin t,y= b cos t,求 dt 你能由此猜想到多 解 d z az dx az d 元函数的复合函数求号 dt ax dt oy dt 法则吗? 2xy acost+2x y ( bsint -ab sin 4t
. d d , sin , cos , 2 2 t z 例 设 z = x y x = a t y = b t 求 解 t y y z t x x z t z d d d d d d + = 2 cos 2 ( sin ) 2 2 = x y a t + x y −b t a b sin 4t 2 1 2 2 = 你能由此猜想到多 元函数的复合函数求导 法则吗 ？ z x y + t
将例中的情形进行般性的描述 设z=f(x,y)2x=x(t),y=y(t)均可导 X dz azdx, azd y dt ax dt ddt 由此可推至一般的情况 二=f(x12x2),x1=x1(t),x2=x2()2 dz az dx. az dx S az dx dt ax, dt ax, dt ax. dt
z x y t t y y z t x x z t z d d d d d d + = ( , ), ( ), ( ), 1 2 1 1 2 2 z = f x x x = x t x = x t t x x z t x x z t z d d d d d d 2 2 1 1 + = = = 2 1 d d i i i t x x z 设 z = f (x, y), x = x(t), y = y(t) 均可导. 将例中的情形进行一般性的描述 由此可推至一般的情况
定理全导数公式 设函数u=f(V12…Vn),V=9(x)(i=1…,m)可复合为 l=f(q(x)…n(x) 若(x)在点x处可微函数f(v…,Vn)在相应于x的点 (v1…Vn)处可微,则复合函数l=f(q(x)…qn(x)在点x处 可偏导,且 du
定理(全导数公式) ( , , ), ( ) ( 1, , ) 设函数 u = f v1 vm vi =i x i = m 可复合为 ( ( ), , ( )). 1 u f x x = m 若 i (x)在点x处可微, 函数 f (v1 , ,vm )在相应于x的点 (v1 , ,vm )处可微, 则复合函数u = f (1 (x), , m (x)) 在点x处 可偏导, 且 = = m i i i x v v u x u 1 . d d d d
全导教公式图示 dd 如、Oudv ∑ x =l av, dx
= = m i i i x v v u x u 1 d d d d u x 1 v m v 2 v i v + 全导数公式图示