高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第一讲一元微积分的应用(一) 函数的单调性、极值 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第一讲 一元微积分的应用(一) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 ——函数的单调性、极值
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第一、二节运用导数研究函数 导数的简单应用 二、函数的单调性 函数极值 四、函数的最大值、最小值 五、函数的凹凸性
第六章 一元微积分的应用 第一、二节 运用导数研究函数 一、导数的简单应用 二、函数的单调性 三、函数极值 四、函数的最大值、最小值 五、函数的凹凸性
、导数的简单应用 1.导数在几何中的简单应用 (1)求曲线y=f(x)在某点处的切线方程和法线方程 (2)求两条相交的曲线在交点处的交角 2.导数在物理学中的简单应用 (1)求物体运动的速度、加速度或变量的变化率 (2)求变量间的相关变化率
一、导数的简单应用 1. 导数在几何中的简单应用 2. 导数在物理学中的简单应用 (1) 求曲线 y = f (x) 在某点处的切线方程和法线方程. (2) 求两条相交的曲线在交点处的交角. (1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率. (2) 求变量间的相关变化率
1.导数在几何中的简单应用 (1)求曲线y=f(x)在某点处的切线方程和法线方程 设函数f(x)可微,则曲线y=f(x)在点M(x2y)处 切线的斜率为k=f(x0) 切线方程为y=y+f(x0)(x-x0); 法线的斜率为k ,(f(x0)≠0) k f(ro) 法线方程为y=y - 这部分不再举新例,请参看导数的几何意义部分
1. 导数在几何中的简单应用 (1) 求曲线 y = f (x) 在某点处的切线方程和法线方程. ( ) , ( ) ( , ) : 设函数 f x 可微 则曲线 y = f x 在点M x0 y0 处 ( ), 0 切线的斜率为 k = f x , ( ( ) 0 ). ( ) 1 1 0 0 1 = − = − f x k f x 法线的斜率为 k ( )( ); 0 0 0 切线方程为 y = y + f x x − x ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − 法线方程为 = − 这部分不再举新例, 请参看导数的几何意义部分
(2)求两条相交的曲线在交点处的交角 两条相交曲线的夹角就是它们在交点处的切线间的交角 求两条相交的曲线在交点处的交角实质上仍是一个求 导数的问题 设曲线 L: y=f(x), L2:y=彡2(x) 相交于点M(x2y)处 B2 相应的切线方程分别为 O y=kx+6=f(ro)x+6 y=k2x+b2=f2(o)x+b
(2) 求两条相交的曲线在交点处的交角. 两条相交曲线的夹角就是它们在交点处的切线间的交角. 求两条相交的曲线在交点处的交角实质上仍是一个求 O x y 1 2 L1 L2 M ( , ) . : ( ) : ( ), 0 0 2 2 1 1 相交于点 处 设曲线 M x y L y f x L y f x = = 相应的切线方程分别为: ( ) . ( ) , 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 y k x b f x x b y k x b f x x b = + = + = + = + 导数的问题
tan a=tan(B,-B,) k2-k 1+kk2 B2 f2(x)-f1(x0) 1+f1(x0)f2(x0) 故a= arctan f(x0)-f2(x) (一般:a取锐角 1+f1(x0)f2(x0)
O x y 1 2 L1 L2 M tan tan( ) = 2 − 1 1 1 2 2 1 k k k k + − = , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 2 0 1 0 f x f x f x f x + − = ( : ). 1 ( ) ( ) ( ) ( ) arctan 1 0 2 0 故 1 0 2 0 一般 取锐角 f x f x f x f x + − =
例1求双曲线≈与抛物线y=x的交角a 解联立方程组求交点 y=vx 解此方程组,得交点为M(1,1) O x k 2|x (-1) 故a= arctan = arctan 2
例 1解 . 1 求双曲线 与抛物线 y x 的交角 x y = =O x y y = x 1x y =M 联立方程组求交点: 1x y = y = x 解此方程组, 得交点为 M (1, 1). 1, 1 1 1 1 = − 2 1 = − = x= x= x x k , 21 21 ( ) 2 = x=1 = x=1 = x k x arctan3. 21 1 ( 1) 21 ( 1) arctan = + − − − 故 =
例2]抛物线y=x2上哪一点的切线与直线3x=y+1=0 的交角为45°? 解抛物线y=x2上任意一点(x,y处的切线的斜率为 k1=(x2)=2x tan d f2(x0)-f(x) 直线3x-y+1=0的斜率为 1+f(x0)f2(x0) k2=(3x+1)=3 取锐角 由题意及曲线间交角公式,得 3-2x 1+3·2x 即3-2x=±(1+6x),解之得所求点为(-1,1)和 416
例 2解 3 1 0 2 抛物线 y = x 上哪一点的切线与直线 x − y + = 45 ? 的交角为 o ( , ) 抛物线 y = x2 上任意一点 x y 处的切线的斜率为 ( ) 2 , 2 1 k = x = x 直线 3x − y +1= 0 的斜率为 (3 1) 3. k2 = x + = 由题意及曲线间交角公 式, 得 1, 1 3 2 3 2 = + − xx 1 ( ) ( ) ( ) ( ) tan 1 0 2 0 2 0 1 0 f x f x f x f x + − = 取锐角 . 161 , 41 3 2 (1 6 ), ( 1, 1) 即 − x = + x 解之得所求点为 − 和
例3]适当选取参数A和c,用立方抛物线 =A(x-a(x-b(x-c) 将两条射线 y=k1(x-a)(-∞<x<a) y=k2(x-b)(b<x<+∞) 在区间[a,b上光滑地连接起来 解两条曲线“光滑连接”是指在连接点处两曲线有 共同的切线.即在连接点处两曲线的切线的斜率相同 也就是曲线所对应的函数在连接点处的导数相同
例 3解 适当选取参数 A 和c , 用立方抛物线 y = A(x − a)(x −b)(x − c) 将两条射线 ( ) ( ), y = k1 x − a − x a ( ) ( ) y = k2 x −b b x + 在区间[a, b]上光滑地连接起来. 两条曲线“光滑连接”是指在连接点处, 两曲线有 共同的切线. 即在连接点处两曲线的切线的斜率相同. 也就是曲线所对应的函数在连接点处的导数相同
