高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十二讲函数的连续性 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十二讲 函数的连续性 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ'和"ε-X语言描 述函数的极限 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判別法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与连续性 第七、八节函数的连续性及其性质 连续函数的概念 二,函数的间断点 连续函数的运算 及其基本性质 初等函数的连续性
第三章 函数的极限与连续性 第七、八节 函数的连续性及其性质 一、连续函数的概念 二. 函数的间断点 三. 连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性
连续函数的概念 极限形式 增量形式
一、连续函数的概念 极限形式 增量形式
1.函数连续性的定义(极限形式) 是整个邻域 可减弱:x0为聚点 定义 设f(x)在Ux0)内有定义,若 lim f(x)=f(xo) x→>X0 则称函数∫(x)在点x处是连续的 函数的连续性是一个局部性的概念。是逐点定义的
设 f (x) 在 U(x0 ) 内有定义, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 则称函数f (x) 在点 x0 处是连续的. 1.函数连续性的定义 (极限形式) 可减弱：x0为聚点 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的. 定义 是整个邻域
函数f(x)在点x处连续,应该满足以下三点: (1)f(x)在U(x0)有定义;(包括在点x0处有定义) (2)linf(x)=a存在;(x->x时,f(x)有极限) x->o (3)a=f(x).(极限值等于函数在点x处的函数值)
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0 ) 内有定义；(包括在点x0 处有定义) (3) ( ). 0 a = f x (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) (2) lim ( ) 0 f x a 存在； x x = → ( , ( ) ) x → x0 时 f x 有极限
例函数y=x2在点x=0处是否连续? 解 y=x2在U(0)内有定义, 又imx2=0 x->0 且yx=0=x2x=0=0 函数y=x2在点x=0处连续
函数 y = x 2 在点 x = 0 处是否连续? lim 0 2 0 = → x x 函数 y = x 2 在点 x = 0 处连续. 又 且 0 0 2 y x=0 = x x= = y = x 2 在 U(0) 内有定义, 例1 解
2.连续性的《￡-δ语言》形式 定义设函数fx)在U(x内有定义 △x=x-x VE>0,若彐δ>0,当|x-x0|<δ时,有 If(x)f(xo1<8 Ay=f(x)-f(o) 成立,则称函数f(x)在点x处是连续的 函数的连续性是通过极限定义的.当然可以 运用巛￡-δ》语言描述它
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用《 − 》语言描述它. 2.连续性的《 － 语言》形式 设函数 f (x) 在 U(x0 ) 内有定义. , 若 , 当 | x − x0 | < 时, 有 则称函数f (x) 在点 x0 处是连续的. | f (x) −f (x0 ) | < 成立, 0 x = x − x ( ) ( )0 y = f x − f x 定义
3.连续性概念的增量形式 定义 在某过程中,变量u的终值与它的 初值的差-l1,称为变量u在w1处的 增量,记为△=2-1 Δ是一个整体记号,它可以取正值、负值或零 有时我们也称Δ为变量u在w1处的差分
3.连续性概念的增量形式 在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 − u1 , 称为变量u 在 u1处的 增量, 记为 u = u2－u1 . 定义 u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称u 为变量 u 在 u1 处的差分
设函数f(x)在U(x) 内有定义,X∈U(x0),则称少 △x=x-x为自变量x在 y=f(x) △ x点处的增量 此时,x=x0+△x 相应地,函数在点x点处O|x0xx 有增量△y Ay=f(x)-f(o)=f(xo+Ax)-f(o)
设函数 f (x) 在 U(x0 ) 内有定义, xU(x0 ) , 则称 x = x − x0 为自变量x 在 x0点处的增量. = f (x0 + x) − f (x0 y = f (x) − f (x ) 0 ) x y O x0 x x y y = f (x) 此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点x0 点处 有增量 y