高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第一讲集合与映射 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学(一) 第一讲 集合与映射 脚本编写、教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第一章集合与函数 本章学习要求: 正确理解函数概念,能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念,能正确将复 合函数进行分解。 会求函数(包括分段函数)的反函数 了解“取整函数”和“符号函数” 能对常见的实际问题进行分析,建立函数关系
第一章 集合与函数 本章学习要求: ▪ 正确理解函数概念,能熟练求出函数的定义域。 ▪ 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 ▪ 正确理解初等函数、复合函数概念,能正确将复 合函数进行分解。 ▪ 会求函数(包括分段函数)的反函数。 ▪ 了解“取整函数”和“符号函数”。 ▪ 能对常见的实际问题进行分析,建立函数关系
集合的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔(犹太人),他在柏林大学学习(工科)期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响,转而攻读数学,最后成为 名数学家。他于1847年提出集合论,解决了当时一系列悬 而未决的问题,奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的,为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的
一、集合的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔(犹太人),他在柏林大学学习(工科)期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响,转而攻读数学,最后成为一 名数学家。他于1847年提出集合论,解决了当时一系列悬 而未决的问题,奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的,为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的
1.集合 康托尔将集合定义为 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象(这些对象称为元素)作为 个整体来考虑的结果
康托尔将集合定义为: 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象(这些对象称为元素)作为一 个整体来考虑的结果。 1. 集合
简言之,把考察的对象放在一起就构成集合 定义一个集合A,也就是规定哪些元素属于集合A, 哪些元素不属于集合A 元素x属于集合A,记为x∈A;元素x不属于 集合A,记为xgA或x∈A
, 集合 ,记为 或 。 元素 属于集合 ,记为 ;元素 不属于 哪些元素不属于集合 。 定义一个集合 ,也就是规定哪些元素属于集合 简言之,把考察的对象放在一起就构成集合。 A x A x A x A x A x A A A
关于集合的几点注意 令集合的元素是确切定义的,不能含糊不清。 ☆集合中的元素互不相同。 当只研究一个集合时,则可不考虑其结构,视集合 中的元素一律平等
关于集合的几点注意: ❖ 集合的元素是确切定义的,不能含糊不清。 ❖ 集合中的元素互不相同。 ❖ 当只研究一个集合时,则可不考虑其结构,视集合 中的 元素一律平等
2.集合的表示法 表示集合的方法有两种 (1)列举法:将集合4的所有元素列举出来,并用 花括号括上 (2)描述法:将集合A中元素x所具有的特性p(x)列出 来表示如下 A={x|x具有特性p(x)} 注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得 重复出现
2. 集合的表示法 (1) 列举法:将集合A的所有元素一一列举出来,并用 花括号括上。 表示集合的方法有两种: { | ( )} (2) ( ) 具有特性 。 来表示如下 描述法:将集合 中元素 所具有的特性 列出 A x x p x A x p x = 注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得 重复出现
例1 A={1,2,3,…}; B={东,南,西,北}; G={(x,y)x2+y2=1}(xy平面上的单位圆周) H={1,-1}={x|x2-1=0} 有些集合可以用两种表示法表示,此时可根据 需要选择其中的一种方法
{1, 1} { | 1 0} { ( , )| 1} ( ) { } {1, 2, 3, } 2 2 2 。 平面上的单位圆周 ; 东,南,西,北 ; ; = − = − = = + = = = H x x G x y x y xy B A 有些集合可以用两种表示法表示,此时可根据 需要选择其中的一种方法 例1
3.子集、集合相等 (1)若a∈A→a∈B,则称A为B的子集,记为AcB (2)若AB且BcA,则称集合A与B相等,记为A=B (3)若AcB且A≠B,则称A为B的真子集。 (此时,B中至少存在一个不属于A的元素。) 规定:空集是不含任何元素的集合,记为⑧ 空集是任何一个集合的子集:∨A,则cA (4)非空集合A的所有子集组成的集合称为4的幂集, 记为24或P(A)
3. 子集、集合相等 (1) 若a A aB,则称 A为B的子集,记为A B。 (2) 若A B 且 B A,则称集合A与B 相等,记为A = B。 ( ) (3) 此时, 中至少存在一个不属于 的元素。 若 且 ,则称 为 的真子集。 B A A B A B A B 规定:空集是不含任何元素的集合,记为。 空集是任何一个集合的子集: A,则 A。 2 ( ) (4) 记为 或 。 非空集合 的所有子集组成的集合称为 的幂集, P A A A A