高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第一讲集合与映射 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第一讲 集合与映射 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第一章集合与函数 本章学习要求: 正确理解函数概念,能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念,能正确将复 合函数进行分解。 会求函数(包括分段函数)的反函数 了解“取整函数”和“符号函数” 能对常见的实际问题进行分析,建立函数关系
第一章 集合与函数 本章学习要求： ▪ 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 ▪ 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 ▪ 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。 ▪ 会求函数（包括分段函数）的反函数。 ▪ 了解“取整函数”和“符号函数”。 ▪ 能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系
第一节集合与映射 集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念 四、实数、区间、邻域
第一节 集合与映射 一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念 四、实数、区间、邻域
集合的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔(犹太人),他在柏林大学学习(工科)期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响,转而攻读数学,最后成为 名数学家。他于1847年提出集合论,解决了当时一系列悬 而未决的问题,奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的,为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的
一、集合的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一 名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬 而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的
1.集合 康托尔将集合定义为 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象(这些对象称为元素)作为 个整体来考虑的结果
康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。 1. 集合
简言之,把考察的对象放在一起就构成集合 定义一个集合A,也就是规定哪些元素属于集合A, 哪些元素不属于集合A 元素x属于集合A,记为x∈A;元素x不属于 集合A,记为xgA或x∈A
, 集合 ，记为 或 。 元素 属于集合 ，记为 ；元素 不属于 哪些元素不属于集合 。 定义一个集合 ，也就是规定哪些元素属于集合 简言之，把考察的对象放在一起就构成集合。 A x A x A x A x A x A A A
关于集合的几点注意 令集合的元素是确切定义的,不能含糊不清。 ☆集合中的元素互不相同。 当只研究一个集合时,则可不考虑其结构,视集合 中的元素一律平等
关于集合的几点注意： ❖ 集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。 ❖ 集合中的元素互不相同。 ❖ 当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合 中的 元素一律平等
2.集合的表示法 表示集合的方法有两种 (1)列举法:将集合4的所有元素列举出来,并用 花括号括上 (2)描述法:将集合A中元素x所具有的特性p(x)列出 来表示如下 A={x|x具有特性p(x)} 注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得 重复出现
2. 集合的表示法 (1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。 表示集合的方法有两种: { | ( )} (2) ( ) 具有特性 。 来表示如下 描述法：将集合 中元素 所具有的特性 列出 A x x p x A x p x = 注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现
例1 A={1,2,3,…}; B={东,南,西,北}; G={(x,y)x2+y2=1}(xy平面上的单位圆周) H={1,-1}={x|x2-1=0} 有些集合可以用两种表示法表示,此时可根据 需要选择其中的一种方法
{1, 1} { | 1 0} { ( , )| 1} ( ) { } {1, 2, 3, } 2 2 2 。 平面上的单位圆周 ； 东，南，西，北 ； ； = − = − = = + = = = H x x G x y x y xy B A 有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据 需要选择其中的一种方法 例1
3.子集、集合相等 (1)若a∈A→a∈B,则称A为B的子集,记为AcB (2)若AB且BcA,则称集合A与B相等,记为A=B (3)若AcB且A≠B,则称A为B的真子集。 (此时,B中至少存在一个不属于A的元素。) 规定:空集是不含任何元素的集合,记为⑧ 空集是任何一个集合的子集:∨A,则cA (4)非空集合A的所有子集组成的集合称为4的幂集, 记为24或P(A)
3. 子集、集合相等 (1) 若a A aB，则称 A为B的子集，记为A B。 (2) 若A B 且 B A，则称集合A与B 相等，记为A = B。 ( ) (3) 此时， 中至少存在一个不属于 的元素。 若 且 ，则称 为 的真子集。 B A A B A B A B 规定：空集是不含任何元素的集合，记为。 空集是任何一个集合的子集： A，则 A。 2 ( ) (4) 记为 或 。 非空集合 的所有子集组成的集合称为 的幂集， P A A A A