《高等数学讲义》课程教学资源（电子讲义）第四讲 一元函数积分的概念、性质与基本定理

、一元函数积分的概念、性质与基本定理 原函数、不定积分 在区间I上,如F(x)=f(x),称f(x)为F(x)的导函数,称 F(x)为f(x)的原函数,原函数与导函数是一种互逆关系。 如F(x)为f(x)的一个原函数,则F(x)+C为f(x)的全体原函 数 记为∫xx,即∫f(xAdx=F(x)+C 不定积积分性质 (1)(f(x) dx)=f(x) d fxdx =f(xdx (2)JF(x)dx =F(x)+C (3)k f(xdx =k f(x)dx ()j((x)±gx)dx=jx)dx±gxdx ∵原函数与导函数有互逆关系,由导数表可得积分表。 In 例、P98例3.1已知F(x)是的一个原函数, 求:dF(sinx) 解:F(x)= dF(sin x) dF(sinx COSX sinx SInx 例、f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数 sinx+c1x+c2,(c1、c2为任意常数)

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间Ⅰ上，如 F (x) f(x) / = ，称 f(x) 为 F(x) 的导函数，称 F(x) 为 f(x) 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 F(x)+ C 为 f(x) 的全体原函 数。 记为  f(x)dx ，即  f(x)dx=F(x)+ C 不定积积分性质 (1) ( f(x)dx) f(x) /  = 或 d f(x)dx = f(x)dx  (2) F (x)dx F(x) C /  = + (3)  =  k f(x)dx k f(x)dx (4)   =    (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx ∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。 例、P98例 3.1 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数， 求： dF(sin x) 解： x lnx F (x) / = cosxdx sinx lnsinx dsinx dsinx dF(sinx) dF(sin x) = = 例、 f(x) 的导函数是 sin x ，则 f(x) 的原函数 1 2 − sin x + c x + c ，( 1 c 、 2 c 为任意常数)

例、在下列等式中,正确的结果是_C A、∫f'(xdx=f(x) B、∫dfx)=f(x) C、∫f(xdx=f(x)D、djf(x)dx=x) 例、J√x√x(-)x=x2:x(-)dx x4+4x4+C

例、在下列等式中，正确的结果是 C A、 ( )  f (x)dx = f x / B、 df(x) = f(x) C、  f (x)dx = f(x) dx d D、d f (x)dx = f(x) 例、 )dx x 1 )dx x x (1 x 1 x x (1 2 4 1 2 1 2  − =   − (x - x )dx 4 5 4 3  − = x 4x C 7 4 4 1 4 7 = + + −

2、计算方法 1°换元法 第一类换元法(凑微分法) 常用凑微分形式 dkx= kd d(x +c=dx e dx=de dx dInx cosx =sinx -dx=d dx=d√x sec xdx =d tanx dx=d arc sinx dx=d√1+x2 √1+x X d√1 sin 2x dx=dsin x sin 2x dx=-d cos x 例 dx d(3-2x)=-h3-2x+c

2、计算方法 1 0 换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx = kdx d(x + c)= dx x x e dx = de dx dlnx x 1 = cosx = dsin x x 1 dx d x 1 2 − = dx d x 2 x 1 = sec xdx dtan x 2 = dx d arc sin x 1- x 1 2 = 2 2 dx d 1 x 1 x x = + + 2 2 dx d 1 x 1- x - x = − sin 2x dx dsin x 2 = sin2x dx dcos x 2 − = − 例、   − = − − + − = − − ln 3 2x c 2 1 d(3 2x) 3 2x 1 2 1 dx 3 2x 1

3 dx=√ Inxd In x=(lnx)2+c 8,cos x sin xdx =sin xdsinx=-sin*x+c d 10、Jxe^dx e + c d ==-arc tan -+c a+x a)a dx d 2x =-arctan -+c 9+4 232+(2x) dx= (x+1)c +2x+5 +1)2+4 arctan d x= arcsin -+c √1+12x-9x 5-(2-3x arc sin sec x tanx+1 √tanx+/(tanx+1)=2√tanx+1+c 17、 j tanxdx=∫tan3x(secx-1 tan xd tan x-(secx-l)dx =-tan'x-tanx+x+c

7、  = = (lnx) + c 3 2 dx lnxd ln x x ln x 2 3 8、  = = sin x + c 4 1 cos x sin xdx sin x d sin x 3 3 4 9、  = −  d 1- x = 1− x + c 2 1 d x 1- x x 2 2 2 10、  = −  = − e + c 3 1 e d(-x) 3 1 x e dx 3 3 -x 3 -x 3 2 -x 11、    = +            + = + c a x arc tan a 1 a x d a x 1 1 a 1 dx a x 1 2 2 2 12、   = + + = + c a 2x arctan 6 1 d2x 3 (2x) 1 2 1 d x 9 4x 1 2 2 2 13、   + + + = + + d(x 1)c (x 1) 4 1 d x x 2x 5 1 2 2 c 2 x 1 arctan 2 1 + + = 14、  = + c a x d x arcsin a - x 1 2 2 15、   − − = + 2 2 5 (2 3x) dx 1 12x - 9x dx 3 1 = − c 5 2 3x arc sin + − 16、 d(tanx 1) 2 tanx 1 c tan x 1 1 tan x 1 sec x 2 + = + + + = +   17、  tan xdx =  tan x(sec x −1)dx 4 2 2 tan xd tan x (sec x 1)dx 2 2 =  −  − tan x tan x x C 3 1 3 = − + +

arcsin 18 dx=arcsin xd arcsinx =-arcsin'x+C 19、jesme+ldx=Jsn(e+l)d(e+1) cos(e+1)+C d 2sin rotan√x arctan √x +X)√X 1+ 2[ arctan√ arctan ctan2√x+C 1+e 1+e d 1+e d(1+er +e In(1+e+C e d X e arctan 24 4 arctan- In(e+4 )+C 248 P100,(9) (10),(14)

18、 dx arcsin xdarcsin x 1 x arcsin x 4 2 4  =  − arcsin x C 5 1 5 = + 19、  e sin(e +1)dx =  sin(e +1)d(e +1) x x x x cos(e 1) C x = − + + 20、  =  ds 2 cos xd x x cos x = 2sin x + C 21、 d x 1 x arctan x dx 2 (1 x) x arctan x   + = + =  2 arctan xdarctan x arctan x C 2 = + 22、 dx 1 e 1 e e dx 1 e 1 x x x  x  + + − = +  + = − dx 1 e e 1 x x ( )  + + = − x x 1 e d 1 e x x ln(1 e ) C x = − + + 23、    + − + = + − e (e 4) de e 4 de dx e 4 e 1 x 2x x 2x x 2x x x 2x x x x de e 4 e e 1 4 1 2 e arctan 2 1        + = − − ln(e 4) C 8 1 4 x 2 e arctan 2 1 2x x = − + + + P100, (9), (10), (14)

除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式 √a2-x2,令x= a sin t √a2+x2,令x= a tan t a2,令x= a sec t 如是√ax2+bx+C配方→ 例 令X=snt,dx= costa ost 解:原式 t tdt cott -t+C +c 例2 sdxP105例4二种解法

2 1− x 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式 2 2 a − x ，令 x = a sin t 2 2 a + x ，令 x = a tan t 2 2 x − a ，令 x = a sect 如是 ax bx C 2 + + 配方 2 2 1 2 1 2 2 1 2 → u + a , u − a , a − u 例 1、 dx x 1 x 2 2  − 令 x = sin t, dx = costdt 解：原式  =  costdt sin t cost 2 =  cot tdt =  (csc t −1)dt 2 2 = −cott − t +C arcsin x C x 1 x 2 − + − = − 例 2、 dx x x 4 1 2 2  − P105 例 4 二种解法 1 t x

(2)被积函数中含一般根式 dx 例3、 P106(6) 1+3x+2 解:令√x+2=tx=t-2dx=3t2dt 原式 dt=3∫(t-1+,)dt (+2)-3+2+3m++2+ 例4 令x=t6dx=6tdt X+vX 原式=6t3 dt=6,,dt=6(t-1+;,)dt 1+t t+In/+t+C 3√x-6x+6hl 例5、√ex+ld 解:令√e+1=t 2t 2t 原式=t dt=2[1+ dt 2√e+1+l(√e+1-1)-hn(√e+1+1)+C

（2）被积函数中含一般根式 例 3、  + + 3 1 x 2 dx P106 （6） 解：令 x 2 t x t 2 dx 3t dt 3 3 2 + = = − = 原式   + = − + + = )dt 1 t 1 dt 3 (t 1 1 t 3t 2 (x 2) 3 x 2 3ln 1 x 2 C 2 3 3 2 3 3 = + − + + + + + 例 4、  + dx x x 1 3 2 令 x t dx 6t dt 6 5 = = 原式    + = − + + = + = )dt 1 t 1 dt 6 (t 1 1 t t dt 6 t t 6t 2 3 4 5 t ln1 t C 2 t 6 2  +      = − + + 3 x 6 x 6ln1 x C 3 6 6 = − + + + 例 5、  e + 1dx x 解：令 e 1 t e t 1 x x 2 + = = − dt t 1 2t x ln(t 1) dx 2 2 − = − = 原式         − = + − =  dt t 1 1 dt 2 1 t 1 2t t 2 2 C t 1 t 1 2t ln + + − = + 2 e 1 ln( e 1 1) ln( e 1 1) C x x x = + + + − − + + +

2分部积分 定理〉如u(x)、x)均具有连续的导函数,则 udv=uv-I vdu 例1、「 xcos x dx=| dsin xsinx-sin x dx =sinx+cosx+c 例2、「xe-dx=-xde-x =-Xe-x-e-x+C 例3、 ∫ arc sin X)2dx= x(arcsinx)-∫ X 2arc sinx x(arc sinx)+2arc sinxd 1-x x(arc sinx)+2 v1-xarc sinx-fVI x(arc sinx )+2 1-x arc sinx -2x+C 例4 In x dl Inx

2 0分部积分 如 u(x)、 v(x) 均具有连续的导函数，则  = −  u dv uv vdu 例 1、  =  xcos x dx xdsin x =  x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + c 例 2、   − − = − x x xe dx xde  − − = −xe + e dx x x xe e C x x = − − + − − 例 3、 ( )   = −  dx 1- x 1 (arcsin x) dx x arc sinx x 2arc sin x 2 2 2 ( ) = +  2 2 x arc sinx 2 arc sinxd 1- x ( )       − = + −   dx 1 x 1 x arc sinx 2 1 x arc sinx - 1- x 2 2 2 2 x(arc sinx ) 2 1 x arc sinx - 2x C 2 2 = + − + 例 4、         = − x 1 dx ln x d x ln x 2 = − +  dx x 1 x lnx 2 c x 1 - x lnx = − +

In Inx 例5、 dx=「 n In x dhn x In x. In In x-「h In x in hnx-Inx +c 例6、∫ Xian XaX x(secx-I)dx 2 xtanx- tan x d =x tan x+In cosx-=+c x arctan x 例7、 arctan xdx 1+x 1+ⅹ arctan (arctan arctan xdx-arctan xd arctan xarctanx Ix--(arctan)2 1+x xarctanx--In(1+x)--(arctan x)+

例 5、  =  dx ln ln x d ln x x ln lnx  =    dx x 1 ln x 1 ln x ln ln x - ln x = ln x ln ln x -ln x + c 例 6、  xtan xdx =  x(sec x −1)dx 2 2 =  − 2 x xdtanx 2 2 x xtanx tan x dx 2 = −  − c 2 x x tan x ln cos x - 2 = + + 例 7、   + + − = + arctan xdx 1 x x 1 1 dx 1 x x arctan x 2 2 2 2  + = − )dx 1 x arctan x (arctan x 2 =  −  arctanxdx arctan xdarctan x 2 2 (arctan x) 2 1 dx 1 x x xarctan x − + = −  (arctan x) c 2 1 ln(1 x ) 2 1 xarctan x 2 2 = − + − +

例8 ∫lnx+Ⅵ+x2)dx=xmx+√+x)-∫ =xln(x+√1+x2)-√1+x2+c 例9、「e2 cose dx= e sine " sine-sine'de' =e sine cose +c b5110,x'sin'xdx=x25(1-cos2x)dx xdsin2, xsin2x += xsin 2x d 64 Sin 2X xd cosa X SIn2X XcOS2X+-sin 2x+c

例 8、   + + + + = + + − c 1 x dx ln(x 1 x )dx xln(x 1 x ) 2 2 2 xln(x 1 x ) 1 x c 2 2 = + + − + + 例 9、  =  2x x x x e cose dx e dsine = −  x x x x e sine sine de e sine cose c x x x = + + 例 10、  =  (1− cos2x)dx 2 1 x sin xdx x 2 2 2 = −  x dsin2x 4 1 6 x 2 3 = − +  xsin 2x dx 2 1 x sin2x 4 1 6 x 2 3 = − −  xd cos2x 4 1 sin 2x 4 x 6 x 3 2 sin 2x c 8 1 x cos2x 4 1 x sin2x 4 1 6 x 2 3 = − − + +