高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第六讲常数项级数的审敛法 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学(一) 第六讲 常数项级数的审敛法 脚本编写、教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第二章数列的极限与常数项级数 本章学习要求 了解数列极限的概念,会用《ε-N》语言描述数列的 极限。正确理解£和N的含义 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 念和性质。 ◆能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P一级数的敛散性
第二章 数列的极限与常数项级数 极限。正确理解 和 的含义。 了解数列极限的概念,会用《 》语言描述数列的 N N − 念和性质。 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明。 能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 件以及收敛级数的基本性质。 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 别法。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 熟悉等比级数、调和级数、P-级数的敛散性。 本章学习要求:
第二章数列的极限与常数项级教 第五节常数项级教的审敛法 正项级数的审敛法 二.任意项级数的敛散性
第二章 数列的极限与常数项级数 第五节 常数项级数的审敛法 一.正项级数的审敛法 二.任意项级数的敛散性
1.正项级数的定义 定义若级数〉,满足 ln≥0)(m=1,2,…), 则称之为正项级数 实质上应是非负项级数
1.正项级数的定义 若级数 + n=1 un 则称之为正项级数. 定义 满足 u 0 (n =1, 2, ), n 实质上应是非负项级数
2.正项级数收敛的充要奈件 定理 正项级数∑ln收鲛←→ 它的部分和数列Sn}有界 正项级数的部分和数列是单调増加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
收敛 1 + n= un 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数 {Sn} 有界. 定理 它的部分和数列 正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
例 级数 是否收敛? n=1 2+1 解该级数为正项级数,又有 +12n(n=1,2, 2 故当n>1时,有 n ∑ <1 2k+1 即其部分和数列S}界,从而,级数∑,,收敛
级数 是否收敛? + =1 2 +1 1 n n 该级数为正项级数, 又有 n n 2 1 2 1 1 + (n =1, 2, …) 故 当n 1 时, 有 = = + = n k k n k n k S 1 1 2 1 2 1 1 即其部分和数列 {Sn} 有界, 从而, 级数 . 2 1 1 1 收敛 + n= + n 解 2 1 1 2 1 1 2 1 − − = n 1 2 1 =1− n 例1