高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第六讲常数项级数的审敛法 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第六讲 常数项级数的审敛法 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第二章数列的极限与常数项级数 本章学习要求 了解数列极限的概念,会用《ε-N》语言描述数列的 极限。正确理解￡和N的含义 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 念和性质。 ◆能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P一级数的敛散性
第二章 数列的极限与常数项级数 极限。正确理解 和 的含义。 了解数列极限的概念，会用《 》语言描述数列的 N N − 念和性质。 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明。 能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 件以及收敛级数的基本性质。 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 别法。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。 本章学习要求：
第二章数列的极限与常数项级教 第五节常数项级教的审敛法 正项级数的审敛法 二.任意项级数的敛散性
第二章 数列的极限与常数项级数 第五节 常数项级数的审敛法 一.正项级数的审敛法 二.任意项级数的敛散性
正项级数 常数项级数 任意项级数 交错级数 般项级数
常数项级数 正项级数 交错级数 任意项级数 一般项级数
正项级数的审敛法 正项级数收敛的充要条件 比较判别法 达朗贝尔比值判别法 柯西根值判别法
一.正项级数的审敛法 正项级数收敛的充要条件 比较判别法 达朗贝尔比值判别法 柯西根值判别法
1.正项级数的定义 定义若级数〉,满足 ln≥0)(m=1,2,…), 则称之为正项级数 实质上应是非负项级数
1.正项级数的定义 若级数 + n=1 un 则称之为正项级数. 定义 满足 u 0 (n =1, 2, ), n 实质上应是非负项级数
2.正项级数收敛的充要奈件 定理 正项级数∑ln收鲛←→ 它的部分和数列Sn}有界 正项级数的部分和数列是单调増加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
收敛 1 + n= un 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数 {Sn} 有界. 定理 它的部分和数列 正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限 在某极限过程中有极限的量必界
例 级数 是否收敛? n=1 2+1 解该级数为正项级数,又有 +12n(n=1,2, 2 故当n>1时,有 n ∑ <1 2k+1 即其部分和数列S}界,从而,级数∑,,收敛
级数 是否收敛？ + =1 2 +1 1 n n 该级数为正项级数, 又有 n n 2 1 2 1 1 + (n =1, 2, …) 故 当n 1 时, 有 = = + = n k k n k n k S 1 1 2 1 2 1 1 即其部分和数列 {Sn} 有界, 从而, 级数 . 2 1 1 1 收敛 + n= + n 解 2 1 1 2 1 1 2 1 − − = n 1 2 1 =1− n 例1
3.正项级数敛散性的比较判别法 设有正项级数∑ln与∑vn 且0≤ (n=1,2,…) 若∑,收敛则∑ 收敛 n=1 (2)若∑n发散,则∑V发 大收小收.小发大发
3. 正项级数敛散性的比较判别法 且 0 un vn ( n = 1, 2, … ) , 1 1 + = + = n n n n 设有正项级数 u 与 v (1) , . 1 1 若 收敛 则 收敛 + = + = n n n vn u (2) , . 1 1 若 发散 则 发散 + = + = n n n n u v 大收小收, 小发大发
证(1)记S=∑,G=∑v k=1 k=1 0≤ln≤vn(n=1,2, ∴0≤S≤Gn 若∑,收则部分和Gn有界 从而的部分和S也有界 故级数〉u,收敛 n=1
记 , 1 = = n k Sn uk , 1 = = n k n k G v 0 un vn (n = 1, 2, …) 0 Sn Gn 证 (1) , , 1 若 收敛 则部分和 n 有界 n vn G + = , 1 从而 的部分和 n 也有界 n un S + = . 1 故级数 收敛 + n= un