高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十九讲微分中值定理 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十九讲 微分中值定理 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章一元函数的导数与微分 第五节微分中值定理 费马定理 二,罗尔中值定理 三,拉格朗日中值定理 四.柯西中值定理
第五节 微分中值定理 第四章 一元函数的导数与微分 一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理
费马定理 罗尔中值定理 微分中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理
费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 微分中值定理
导数与差商 函数导数的定义为 f()=lm f(x+△x)-f(x) Ax→>0 △ 即函数在点x处的导数等于∧X→>0时,函数 在点x处的差了(x+Ax)-f(x)的极限值 △x
x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 函数导数的定义为 即函数在点x 处的导数等于 x → 0 时, 函数 x f x x f x ( + ) − ( ) 在点 x 处的差商 的极限值. 导数与差商
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质.推出其整体的 或“大范围”性质.为此我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式 这些关系式称为“微分学中值定理” 这些中值定理的创建要归功于费马 拉格朗日、柯西等数学家
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家
首先,从直观上来看看 函数的差育与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事
导数与差商 点P处切线的斜率 yy=f(x)可微 k=f(o) B 相等! 割线AB的斜率: k f(x2)-f(x1) x XX
O x y 1 x 2 x y = f (x) 可微 A B P 0 x 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x k AB − − = 割线 的斜率： ( )0 k f x P = 点 处切线的斜率： 导数与差商 相等！
将割线作平行移动,那么它至少有一次会 达到这样的位置 在曲线上与割线距离最远的那一点尸处成 为切线,即在点尸处与曲线的切线重合 也就是说,至少存在一点5∈(x,x2),使得 f∫"(2) f(x2)-f(x1) 2 该命题就是微分中值定理
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x x f x f x f − − = 将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置： 在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. ( , ) , 1 2 也就是说, 至少存在一点 x x 使得 该命题就是微分中值定理
极值的定义 设f(x)在U(x)内有定义,若 f(x)≤f(x0)x∈U(x0) 则称f(x)为f(x)的极大值,x0为函数的极大点 f(x)≥f(x0)x∈U(x0), 则称f(x)为f(x)的极小值,x为函数的极小点
极值的定义 设 f (x) 在 U(x0 )内有定义, 若 U( ), ˆ ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ( ) ( ) , 则称 f x0 为 f x 的极大值U( ), ˆ ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ( ) ( ) , 则称 f x0 为 f x 的极小值 . x0为函数的极大点. x0为函数的极小点