高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十讲一元微积分的应用G六 微积分在物理中的应用 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十讲 一元微积分的应用(六) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 微积分在物理中的应用
第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ■了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利( Bernoulli)方程和全微分 方程熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ■会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ■知道下列高阶方程的降阶法 "=f(x,y),y=f(,y), y=f(x) 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法 ■熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第七章 常微分方程 本章学习要求： ◼了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ◼了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ◼会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ◼知道下列高阶方程的降阶法： ( ). ( ) y f x n y = f (x, y ), y = f ( y, y ), = ◼了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. ◼熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. ◼掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第四节二阶常系数线性微分方程 高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 二阶常系数非齐线性微分方程的解
第四节 二阶常系数线性微分方程 一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论 n阶线性方程的一般形式为 +p1(x)yn)+…+pn1(x)y+pn(x)y=f(x)。 当f(x)=0时,称为n阶齐线性微分方程; 当f(xy=0时,称为n阶非齐线性微分方程 当p(x)(i=1,2…,n)均为常数时,称为常系数方程; 当p(x)(i=1,2,…,n)不全为常数时,称为变系数方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 y (n) + p x y n− ++ pn− x y + pn x y = f x 。 当 f (x) 0 时，称为 n 阶齐线性微分方程； 当 f (x) 0 时，称为 n 阶非齐线性微分方程； 当 p (x) (i 1, 2, ,n ) 均为常数时，称为常系数方程； i = 当 p (x) (i 1, 2, ,n ) 不全为常数时，称为变系数方程。 i =
二阶线性微分方程的一般形式为 y+p(x)y+g()y=f(x) 当f(x)=0时,方程称为齐方程 y"+p(x)y+q(x)y=0。 通常称(2)为(1)的相对应的齐方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论,所得结论可 自然推广至n阶线性方程中
二阶线性微分方程的一般形式为 y + p(x) y + q(x) y = f (x)。 当 f (x) 0 时，方程称为齐方程: y + p(x) y + q(x) y = 0。 (1) (2) 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 自然推广至 n 阶线性方程中
1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1)叠加原理 若y1(x)和y2(x)是二阶齐线性微分方程 y+p(x)y+q(xy=o 的解,则它们的线性组合 CV(x)+Cy2(x) 也是方程(2)的解,其中C、c2为任意常数(不一定相互独立) 你打算怎么证明这个原理?
1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1) 叠加原理 若 y1 (x)和 y2 (x) 是二阶齐线性微分方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，则它们的线性组合 ( ) ( ) 1 1 2 2 c y x + c y x 也是方程 (2) 的解， (2) ( ) 其中c1、c2为任意常数 不一定相互独立 。 你打算怎么证明这个原理？
证令yx)=cy(x)+c2y(x),代入方程(2)中,得 (C1y(x)+C2y2(x)"+p(x)(c1y(x)+c2y2(x) +q(x)(C1V1(x)+C,V2(x =(cy(x)+c2y2(x))+p(x)(c1y(x)+C2y2(x)) +q(x)(c1y1(x)+C2y2(x) G((x)+P(xy(x)+q(x)y,(x)) +c2(y2(x)+p(x)y2(x)+q(x)y2(x) =0+0=0 即y(x)=C1y(x)+c2y2(x)为方程(2)的解
证 ( ) ( ) ( ) (2) 令 y x = c1 y1 x + c2 y2 x ，代入方程 中，得 ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 1 1 2 2 c y x + c y x + p x c y x + c y x ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 + q x c y x + c y x ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 1 1 2 2 = c y x + c y x + p x c y x + c y x ( )( ( ) ( )) 1 1 2 2 + q x c y x + c y x ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 1 1 = c y x + p x y x + q x y x ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 2 2 2 + c y x + p x y x + q x y x = 0+0 = 0， ( ) ( ) ( ) (2) 即 y x = c1 y1 x + c2 y2 x 为方程 的解
推广 若y;(x)(i=1,2,…n)是n阶齐线性微分方程 +p(x)y/+…+pn1(x)y+p,(x)y=0(2) 的解,则它们的线性组合 v(x) ∑cJ(x) 也是方程(2)的解。 其中c(i=12,…n)为任意常数(不一定相互独立)
( ) 1 ( ) ( ) 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y p x y p x y p x y n n n n 若 y (x) (i 1, 2, .n ) 是 n 阶齐线性微分方程 i = 的解，则它们的线性组合 = = n i i i y x c y x 1 ( ) ( ) 也是方程 (2) 的解。 其中c (i 1, 2, ,n )为任意常数(不一定相互独立)。 i = (2) 推 广
在什么情况下,叠加所得可以成为方程(2)的通解?
在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？
(2)线性无关、线性相关 设函数y(x)y2(x)在区间/上有定义。 若存在不全为零的常数c1和c2,使得 C1y1(x)+C2y2(x)=0x∈/, 则称函数y(x)与y2(x)在区间Ⅰ上是线性相关的。 否则称函数y(x)与y2(x)在区间I上是线性无关的
(2) 线性无关、线性相关 ( ) ( ) 设函数 y1 x 、y2 x 在区间I 上有定义。 若存在不全为零的常数c1 和c2 ，使得 ( ) ( ) 0 c1 y1 x + c2 y2 x xI， ( ) ( ) 则称函数 y1 x 与 y2 x 在区间 I 上是线性相关的。 ( ) ( ) 否则称函数 y1 x 与 y2 x 在区间 I 上是线性无关的