高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第18讲 函数的微分

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十八讲函数的微分 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十八讲 函数的微分 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限

第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限

第四章一元函数的导数与微分 第四节函数的微分 函数的微分 二,微分的运算法则 三,二阶微分 四.微分在近似计算中的应用 五,微分在误差佔计中的应用

第四节 函数的微分 第四章 一元函数的导数与微分 一. 函数的微分 三. 二阶微分 二. 微分的运算法则 四. 微分在近似计算中的应用 五.微分在误差估计中的应用

回忆复合函教求导法则中的一个定理 若y=f(x)在点x处有(有跟)导数,则 △y=f"(x0)△x+O(△x) △y≈f(x)△x 现在反过来想一想: 若在x0点处y=f(x)的增量Ay可以 表示为一个线性函数与一个高级无穷小量 之和的形式小=+0(V)(Vx→>0) 那么,我们自然要问A=?

( ) o( ) 0 y = f  x x + x 若 y = f (x) 在点 x0 处有(有限)导数, 则 y  f (x )x 0 现在反过来想一想： 若在 x0 点处 y = f (x) 的增量 y 可以 表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量 之和的形式 y = Ax + o(x) ( x → 0 ) 回忆复合函数求导法则中的一个定理 那么, 我们自然要问A = ?

△ +0(4x △x △x A=lim ∫(x) Ax→>0△x

x x A x y   = +   o( )  x y A x    =  →0 lim ( ) 0 = f  x

就是说,在点x处若可用关于自变量的增 量Δκ的线性函数逼近函数的増量Δν时 其关系式一定是 y=f'(xo)△x+o(△x) 我们称f(x0x(或AAx)为函数在点x0处 增量的线性主部.通常将它记为 微 dy=f(xo)△x(dy=AAx)

就是说, 在点 x0 处若可用关于自变量的增 量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时, 其关系式一定是 y = f (x0 )x + o(x) 我们称 f (x0 )x (或 Ax) 为函数在点x0处 增量的线性主部, 通常将它记为 dy = f (x0 微 )x ( dy =Ax ). 分

函数的微分 将以上的讨论归纳一下 可得出什么结论?

一. 函数的微分 将以上的讨论归纳一下, 可得出什么结论?

1.微分的概念 设y=f(x)在U(x)有定义,给x以增量 △x,且x+△x∈U(x0)。 如果函数相应的增量可表示为 △y=A△x+o(△x) 则称Ay的线性主部为f(x)在点x处的微分, 记为d=AAx,其中,A叫微分系数 此时,称∫(x)在点x处可微

1.微分的概念 y =Ax + o(x) 此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微。 设 y = f (x) 在 U(x0 ) 有定义, 给 x0 以增量 x , 且 x0+x  U(x0 ) 。 如果函数相应的增量可表示为 则称 y 的线性主部为f (x)在点 x0 处的微分, 记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数

2.可微与可导的关系 定理 f(x)在点x处可微<→f(x)在点x处可导 A=f(o)

2.可微与可导的关系 定理 ( ). ( ) ( ) , 0 0 0 A f x f x x f x x =   且 在点 处可微 在点 处可导

也就是说,∫(x)在点x处的可微性与 可导性是等价的,且f(x)在点x处可微 △y=f'(x0)x+0(△Ax) dy=r"(xo)△x

y = f (x0 )x + o(x) dy = f (x0 )x 也就是说, f (x) 在点 x0 处的可微性与 可导性是等价的, 且 f (x) 在点 x0 处可微, 则