高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十四讲函数项级数、幂级数 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十四讲 函数项级数、幂级数 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第三章函数的极限与连续性 本章学习要求: ■了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ和"ε-X'语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： ▪ 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ ε－X ”语言描 述函数的极限。 ▪ 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ▪ 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 ▪ 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法
第三章函数的极限与连续性 第六节幂级数 函数项级数 二,幂级数及其敛散性 幂级数的运算
第三章 函数的极限与连续性 第六节 幂 级 数 一. 函数项级数 二. 幂级数及其敛散性 三. 幂级数的运算
函数项级数 1.函数项级数的定义 设有一函数序列 L1(xX),2(x u (X n 其中,l1(x)(i=1,2,…)在区间1上有定义,则称 ∑u1(x)=41(x)+l2(x)+…l1(x)+ 为定义在区间1上的函数项级数
1. 函数项级数的定义 设有一函数序列 u1 (x), u2 (x), , un (x), 其中, u (x) (i 1, 2, ) 在区间 I 上有定义, 则称 i = = + ++ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x i n n 为定义在区间I 上的函数项级数. 一、函数项级数
函数项级数 ∑u1(x)=(x)+(x)+…+n(x)+ xXo∈ 0 ∑u1(x)就是一个常数项级数 1= 可以利用常数项级数的知识來处理函数项级数
( ) 1 0 就是一个常数项级数 + n= n u x = + ++ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x i n n 函数项级数 I x0 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数
2.函数项级数的敛散性 设有 ∑ L(x),x∈l. 若x0∈l时,∑n(x)收敛,则称x为∑n(x) 的收敛点 若x∈时,∑n1(x)发散,则称x为∑l(x) n=1 的发散点
2. 函数项级数的敛散性 , 若 x0 I 时 ( ) , 1 0 收敛 + n= n u x + =1 0 ( ) n n 则称 x 为 u x 的收敛点 . , 若 x0 I 时 ( ) , 1 0 发散 + n= n u x + =1 0 ( ) n n 则称 x 为 u x 的发散点 . ( ), . 1 u x x I n n + = 设有
∑un(x)的所有收敛点构成的集合称为 n=1 它的收敛域,记为D ∑u1(x)的所有发散点构成的合称为 n=1 它的发散域
( )的所有收敛点构成的集合称为 1 + n= n u x 它的收敛域, 记为 D . ( )的所有发散点构成的集合称为 1 + n= n u x 它的发散域
3.函数项级数的和函数 若x为∑n(x)的收敛点,则有 n=1 S(x)=∑n(x) 于是,在∑un(x)的收敛域D上,称函数 S(x)=∑l1(x)(x∈D) n=1 为函数项级数的和函数
若 为 ( )的收敛点, 则有 1 0 + n= n x u x 3. 函数项级数的和函数 + = = 1 0 0 ( ) ( ) n n S x u x 于是,在 ( )的收敛域 上,称函数 1 u x D n n + = ( ) ( ) ( ) 1 S x u x x D n = n + = 为函数项级数的和函数
称函数项级数的前n项之和为其部分和: u,(X k=1 不论级数在点x=x处是否收敛 均可写出其部分和 如果级数在点x=x0处收敛,则有 limS(o=s(o)
称函数项级数的前 n 项之和为其部分和： = = n k n k S x u x 1 ( ) ( ) 不论级数在点 0 x = x 处是否收敛, 均可写出其部分和. 如果级数在点 0 x = x 处收敛, 则有 lim ( ) ( ). 0 0 S x S x n n = →
4.函数项级数敛散性判别 可以适当地运用常数项级数的敛散性 判别法判别函数项级数的敛散性 特别注意比较判别法的应用
4. 函数项级数敛散性判别 可以适当地运用常数项级数的敛散性 判别法, 判别函数项级数的敛散性. 特别注意比较判别法的应用