导数概念() 10定义 f(x)≈lim4y Ax→0△x ifxo+△x)-f(xo) △x→0 △x f(x)-f(xo) x→x0X-X (x)=lim f(x+△x)-fx) Ax→0 左导数f()=mf0+A)fx)=hmt=fxo) △x→0 △x x→X0 右导数f(x) f(xo+Ax)-f(o). lim f(x)-ix( Ax→0+ X→X0 ∴f(xo)=A←>f'(x0)=f4(xo)=A 可以证明: 可导→连续。即可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件
1 一、导数概念（ 0 0 ） 1 0 定义 x y f (x ) lim x 0 0 / = → 0 0 x x 0 0 x 0 x x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) lim 0 − − = + − = → → x f(x x) f(x) f (x) lim x 0 / + − = → 左导数 0 0 x x 0 0 x 0 / - x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 - − = + − = → → − 右导数 0 0 x x 0 0 x 0 / x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 − = + − = → + → + + ∴ f (x ) A f (x ) f (x0 ) A / 0 / 0 - / = = + = 可以证明： 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件
20导数的几何意义 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线 y XSIn ≠0 例1:讨论f(x) 在x=0处可导性 X=0 解: lim f(x)=lin 0=f(0) x→>0 x→)0 f(x)在ⅹ=0连续 f(x)-f(0) lim sin 不存在 ∴fx)在ⅹ=0不可导 例2:已知f(x0)存在 则lm f(x0+2h)-f(x0) 2f(x2) h lin f(x.-5h)-f(x)=-5f'(xo) lim ixo +3h)-fixo-)=lim f(xo+ 3h)-fixo)-fixo-h)-fi(xo) 4f(x0)
2 2 0 导数的几何意义 曲线 y = f(x) 在点 ( ) 0 y0 x , 处切线： ( )( ) 0 0 / y − y0 = f x x − x 例 1：讨论 = = 0 x 0 x 0 x 1 xsin f(x) 在 x=0 处可导性 解：∵ 0 f(0) x 1 lim f(x) lim xsin x 0 x 0 = = = → → f(x) 在 x = 0 连续 x 1 lim sin x - 0 f(x) -f(0) lim x→0 x→0 = 不存在 ∴ f(x) 在 x = 0 不可导 例 2：已知 f (x ) 0 / 存在 则 = + → h f(x 2h) - f(x ) lim 0 0 h 0 2f (x ) 0 / = − → h f(x 5h) - f(x ) lim 0 0 h 0 5f (x ) 0 / − h f(x h) - f(x ) h f(x 3h) - f(x ) lim h f(x 3h) - f(x - h) lim 0 0 0 0 h 0 0 0 h 0 − − + = + → → 4f (x )0 / =
例3:设函数f(x)可微, ay lim f (x+Ax)-f2(x)=2f(x)f(x) 例4:P63例25 设f( ax +b >0 为使fx)在x=X0处可导, 应如何选取常数a、b 解:首先f(x)必须在ⅹo连续 f(x)=lim x2 X→x0 lim f(x)=lim ax+b=axo+b ∵ax+b=x0 f(x)= lim fx)-fxo) = lim lim x+Xo=2Xo X→X0 fl(x)=lim f(x)-f(xo) lim ax+b X→x0 X→x0 lim (由①得) (x0)存在 a=2X 从而b=-X0
3 例 3：设函数 f(x) 可微， 则 = + → x f (x x) - f (x) lim 2 2 x 0 2f(x)f (x) / 例 4：P63 例 2-5 设 + = ax b x 0 x x x f(x) 0 2 为使 f(x) 在 x = x0 处可导， 应如何选取常数 a、b 解：首先 f(x) 必须在 x0连续 2 0 2 x x x x lim f(x) lim x x - 0 - 0 = = → → lim f(x) lim ax b ax0 b x x0 x x0 = + = + → + → + ∴ 2 b x0 ax + = ① 0 2 0 2 0 x x 0 x x / - x - x x x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 − = − = → − → − 0 0 x x lim x x 2x 0 = + = → − a x - x ax - ax lim x - x ax b - x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 x x 0 2 0 0 x x 0 x x / 0 0 0 = = + = − = + + + → → → + ∵ f (x ) 0 / 存在 ∴ 2x0 a = 从而 2 b = −x0 （由①得）
例5:f(x)=x(x-1)x-2)…(x-9),则f(0)=-9 f(x)-f(0) 0 (x-1)(x-2)……(x-9)=-9 例6:设x)在x=0领域内连续, f(x) x0√1+x-1 则f(O) f(0)=limf(x)=0(分母→0) f/(o= lim fix)-fto)=lim fix) lim f(X 2 →0√1+X
4 例 5： f(x) = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则 f (0) = / − 9! ∵ x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 / → = lim (x 1)(x 2) (x 9) 9 ! x 0 = − − − = − → 例 6：设 f(x) 在 x = 0 领域内连续， 2 1 x 1 f(x) lim x 0 = → + − ， 则 f (0) = / 1 ∵ f(0) lim f(x) 0 x 0 = = → （分母→0） ∴ x f(x) lim x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 x 0 / → → = = 1 2 1 2 x 1 x 1 1 x -1 f(x) lim x 0 = = + − + = →
例7:设函数f(1+x)=af(x) 且f(O)=b(a,b≠0), 问f(1)存在否? 解:f(1)=mnf(1+△x)-f1) imat(△x)-atoe △x→0 △x Ax→ △x f(△x)-f(0) Ax→0 △x
5 例 7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 f (0) b / = (a , b ≠0)， 问 f (1) / 存在否? 解： c x af( x)- af(0) lim x f(1 x)-f(1) f (1) lim x 0 x 0 / = + = → → af (0) ab x f( x) -f(0) lim a / x 0 = = = →
导数的求法 10显函数导数 求一个显函数的导数需解决: ①基本初等函数导数(P) ②导数四则运算法则(P); ③复合函数与反函数求导法则(P)。 定理 u=o(x)在X有导数 y=f(u)在对应点u有导数, dt 则复合函数y=f[ox)在X处也有导数, y dy du 例1:y=xsn(x2+)求y A: y=sin(2x2+1)+x4x cos(2x2+1)
6 二、导数的求法 1 0 显函数导数 求一个显函数的导数需解决： ①基本初等函数导数(P64); ②导数四则运算法则(P65); ③复合函数与反函数求导法则(P66)。 定理： u = (x) 在 X 有导数 dx du ， y = f(u) 在对应点 u 有导数 du dy ， 则复合函数 y = f(x) 在 X 处也有导数， f (u) (x) dx du du dy dx dy / / = = 。 例 1： y xsin(2x 1) 2 = + 求 / y 解： y sin(2x 1) x 4x cos (2x 1) / 2 2 = + + +
例2:y=hl 求 解:y 2 + 例 arct√x求 解: ctg 例4 求 arct 解 a 1+ 例5:y=hn3(2x+)求y 解:y=3h2(2x+1
7 例 2 ： 2 y = ln 1 + x 求 / y 解： ( ) 2 ln 1 x 21 y = + 2 2 / 1 xx 1 x 2x 21 y + = + = 例 3 ： y = arctg x 求 / y 解： 2 x 1 1 x 1 y / + = 例 4 ： x1 arctg y = a 求 / y 解： x1 arctg 2 2 2 x1 arctg / a 1 x lna x1 x1 1 1 y a lna + = − − + = 例 5 ： y ln (2x 1 ) 3 = + 求 / y 解： ( ) 2x 1 2 y 3ln 2x 1 / 2 + = +
例6:y=yx+yx+ 求 解 2 x+vx x 例7:y=x3)求 解:y=em (+ 例 8: y=a +x +bx 求 解:y= a Ina·bhb+abx2-1+bxhb
8 例 6： y = x + x + x 求 / y 解： + + + + + = 2 x 1 1 2 x x 1 1 2 x x x 1 y / 例 7： sinx y = x 求 / y 解： sinx lnx y e = = + cosx lnx x sinx y x / sinx 例 8： x b a b a x y = a + x + b 求 / y 解： / b x b a 1 x a 1 y a lna b lnb a x b lnb ax x b a − − = + +
例9:y=h2求y Vex +1 解 In 高阶导数、二阶: lim (x0+△x)-f(x0) =x0Ax→>0 (x)-f(x0) 例 (x)=nx求 解 dy dflezx de de =lne 2e 4 先讲微分(后页)
9 例 9： e 1 e y ln 2x 2x + = 求 / y 解： ( ) ln(e 1) 2 1 lne ln e 1 x 2 1 y 2x 2x 2x = − + = − + 2x 2x 2x / 1 e 1 e 1 2e 2 1 y 1- + = + = 高阶导数、二阶： ( ) ( ) x f x x f x lim dx x x d y 0 / 0 / x 0 0 2 2 + − = = → ( ) ( ) 0 0 / / x x x x f x f x lim 0 − − = → 例 10： ( ) 2x y = f e ， f (x) lnx / = 求 dx dy 解： ( ) dx de de df e dx dy 2x 2x 2x = ( ) / 2x 2x = f e 2e 2x 2x = lne 2e 2x = 4xe 先讲微分（后页）
20隐函数导数参数方程导数 如方程Fx,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求 导,注意y=y( 例10:求下列隐函数的导数 (1)设yix-cos(x-y)=0求 解:方程两边对x求导 y'sinx+ycosx+sin(x-y).(1-y=0 ycoSx+ sin( (2)设y=y(x)是由方程e+h-,=0所确定的隐函数 X十 求y(0) 解:由原方程知当x=0时,y 方程两边对x求导。 0,将 代入得
10 2 0 隐函数导数参数方程导数 如方程 F(x，y)=0 确定了 y=y(x)，只需方程两边对 x 求 导，注意 y=y(x) 例 10：求下列隐函数的导数 （1）设 ysinx − cos(x − y) = 0 求 / y 解： 方程两边对 x 求导， y sinx ycosx sin(x y) (1 y ) 0 / / + + − − = ( ) sin(x y) sinx ycosx sin x y y / − − + − = （2）设 y = y(x) 是由方程 0 x 1 y e ln xy = + + 所确定的隐函数， 求 y (0) / 解： 由原方程知当 x=0 时， e 1 y = ， 方程两边对 x 求导。 ( ) 0 1 x 1 y y e y xy / xy / = + + + − ，将 x=0， e 1 y = 代入得： ey (0) 1 0 e 1 / + − = ∴ ( ) = − e 1 1 e 1 y 0 /
