高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第五讲常数项级数的概念和性质 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第五讲 常数项级数的概念和性质 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第二章数列的极限与常数项级数 本章学习要求 了解数列极限的概念,会用《ε-N》语言描述数列的 极限。正确理解￡和N的含义 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 念和性质。 ◆能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P一级数的敛散性
第二章 数列的极限与常数项级数 极限。正确理解 和 的含义。 了解数列极限的概念，会用《 》语言描述数列的 N N − 念和性质。 熟悉数列极限的性质和收敛准则。熟悉无穷小量的概 限运算法则计算数列的极限或简单的极限证明。 能熟练运用“放大不等式”法、“夹逼定理”以及极 件以及收敛级数的基本性质。 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 别法。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。 本章学习要求：
第二章数列的极限与常数项级教 第四节常教项级教的概念和性质 无穷级数的概念 二.级数收敛的必要条件 三,无穷级数的基本性质
第二章 数列的极限与常数项级数 第四节 常数项级数的概念和性质 一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
无穷级数的概念 1.无穷级数的定义 设有数列{ln}:1,u22…,ln2 则称表达式 =1+L2+…+Ln+ 为一个无穷级数.简称为级数 称仉为级数的一般项或通项
一.无穷级数的概念 1.无穷级数的定义 设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … = + ++ + + = n n un u1 u2 u 1 为一个无穷级数, 简称为级数. 称 un 为级数的一般项或通项. 则称表达式
若级数∑un的每一项n均为常数 则称该级数为常数项级数 若级数的每一项均为同一个变量的 函数:tn=l1(x)则称级数∑1(x)为函 n=1 数项级数
. , 1 则称该级数为常数项级数 若级数 的每一项 n 均为常数 n un u + = . : ( ), ( ) 1 数项级数 函数 则称级数 为函 若级数的每一项均为同一个变量的 + = = n n n n u u x u x
下列各式均为常数项级数 -+∷+ n2”24 n=1+2++n+ 1-1+1-1+…+(-1)”+ n=1 cos n= cos1+COS 2+.+cosn
下列各式均为常数项级数 ; 2 1 4 1 2 1 2 1 1 = + ++ + + = n n n 1 2 ; 1 = + ++ + + = n n n ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ; 1 1 − 1 = − + − ++ − − + + = − n n n cos cos1 cos 2 cos . 1 = + ++ + + = n n n 例1
例2 下列各式均为函数项级数 ∑(-1)xn=1-x+x2+…+(-1)x+ X∈ R ax=aax+ax +.+ax+ x|<1 sin nx=sinx+sin 2x+.+sin nx+ x∈R
下列各式均为函数项级数 ( 1) 1 ( 1) , 2 1 1 1 − 1 1 = − + ++ − − − + + = − − n n n n n x x x x x R. , 2 0 1 2 0 = + + ++ + + = n n n n n a x a a x a x a x | x | 1. sin sin sin 2 sin , 1 = + ++ + + = nx x x nx n x R. 例2
2.级数的敛散性定义 无穷级数n的前n项之和: n=∑uk=1+2+…+tn 称为级数的部分和 苦mSn=S存在,则称级数∑un收敛 n→> S称为级数的和:∑un=S
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 + n=1 un 的前 n 项之和： , 1 2 1 n n k Sn = uk = u + u + + u = 称为级数的部分和. 若 S S n n = → lim 存在, 则称级数 + n=1 n u 收敛. S 称为级数的和： . 1 u S n n = + =
若imSn不存在(包括为∞) n→)+ +oO 则称级数 发散
若 n n S →+ lim 不存在 ( 包括为 ) , + n=1 则称级数 un 发散
例3讨论等比级数∑的敛散性 解等比级数的部分和为: n-1 k-1 k=1 当公比|r|+00 n→)+0 此时等比级数收敛。其和为:S
讨论等比级数 的敛散性. + = − 1 1 n n ar 等比级数的部分和为： = = = − n k k Sn ar 1 1 当公比 | r | < 1 时, = − − = →+ →+ r a r S n n n n 1 (1 ) lim lim 此时等比级数收敛, 其和为： 。 1 r a S − = 解 = − − − r a ar r n 1 1 r a r n − − 1 (1 ) , 1 r a − 例3