高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第十七讲高阶导数 脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十七讲 高阶导数 脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分 了解n阶导数的概念,会求常见函数的n阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限
第四章一元函数的导数与微分 第三节高阶导数 高阶导数的概念 二.高阶导数的运算法则 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
第三节 高阶导数 第四章 一元函数的导数与微分 一. 高阶导数的概念 二. 高阶导数的运算法则 三. 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
高阶导数的概念 例‖( sinx)=cosx,(cosx)=-sinx 是Sinx连续求两次导数的结果 称为函数sinx的二阶导数记为 (sinx)=((sinx)=(cos x)=-sinx 般说来,如果函数f(x)的号函数f(x)仍然 可导,则称∫(x)的导数为原来函数f(x)的二 阶导数,记为f"(x)=(f(x))
一. 高阶导数的概念 例 (sin x) = cos x, (cos x) = −sin x, 是sin x 连续求两次导数的结果 . 称为函数sin x的二阶导数, 记为 (sinx) = ((sinx)) = (cos x) = −sin x 一般说来, 如果函数 f (x)的导函数 f (x)仍然 可导, 则称 f (x)的导数为原来函数 f (x)的二 阶导数, 记为 f (x) = ( f (x))
推而广之 设∫(x)的n-1阶导数存在,它仍是x的函数, 若它可导,则称它的导数为原来数的n阶导数 n阶导数的记号为 f(x),y d”f(x)d dx dx f((x)=(f(m(x) (n-1) d"f(x)dd"f(x) dy d d dx dx dx dx" dx dx
推而广之: 设 f (x)的n −1阶导数存在, 它仍是 x 的函数, 若它可导, 则称它的导数为原来函数的n 阶导数. n阶导数的记号为: . d d , d d ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x y x f x f x y ( ) ( ( )) , ( ) ( 1) = − f x f x n n , d d ( ) d d d d ( ) 1 1 − − = n n n n x f x x x f x , d d d d d d 1 1 − − = n n n n x y x x y ( ) , ( ) ( 1) = n n− y y
桉照一阶导数的极限形式.有 n)=f(n(x)=lim f(n-(x+Ax)-fmn-(x) △x->0 △x 和 m X-x
按照一阶导数的极限形式, 有 x f x x f x y f x n n x n n + − = = − − → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( ) ( ) 0 0 ( 1) ( 1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 x x f x f x y f x n n x x n x x n − − = = − − → = 和
个函数的导函数不一定再可导.也不一定连 续.如果函数f(x)在区间Ⅰ上有直到n阶的导数 f()(x),且f((x)仍是连续的(此时低于n阶的导 数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可号 记为f(x)∈C"(I)或f(x)∈C"n 如果f(x)在区间Ⅰ上的任意阶的高阶导数均存 在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为 f(x)∈C()或∫(x)∈C
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n) (x) , 且 f (n) ( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 ( ) (I) ( ) . n n f x C 或 f x C 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为 ( ) (I) ( ) . f x C 或 f x C
例1求幂函数y=x",n∈Z的高阶导数 解y=(x")=nxn1 (y)=(nx)=n(n-1)x =(y")=m(n-1)(n-2)x”3 y)=(y1-)y=m(n-1)(n-2)…(m-k+1)x (1≤k≤n)
1 ( ) − = = n n y x nx 1 2 ( ) ( ) ( 1) − − = = = − n n y y nx n n x 3 ( ) ( 1)( 2) − = = − − n y y n n n x ………………………… k k n k y y n n n n k x − − = ( ) = ( −1)( − 2) ( − +1) ( ) ( 1) 求幂函数 , 的高阶导数. + y = x n Z n (1 k n) 解 例1
注意,当k=n时 7(-1)(n-2)…3·2·1=n! 从而,当k≥n+1时,(x"))=0 综上所述 (x")()=m(n-1)…(n-k+1)xnk(1≤k≤n) (x")()=0 (k≥n+1)
注意, 当 k = n 时 ( ) ( 1)( 2) 3 2 1 ! ( ) x n n n n n n = − − = 综上所述： , 1 , ( ) 0. ( ) + = n k 从而 当 k n 时 x n k n k x n n n k x − ( ) = ( −1) ( − +1) ( ) (1 k n) ( ) 0 ( ) = n k x ( k n +1)
例2￥=(+p)甲即音新 解当1<k<n时 (ax+b)”) n(n-1)-(n-k+1(ax+6)m-k.ak 当k≥n+1时, ,(k) y 0
( ) ( ) (( ) ) k n k y = ax + b 求 ( ) 的高阶导数. n y = ax + b 当 1 k n 时, n k k = n n − n − k + ax +b a − ( 1)( 1)( ) 当 k n +1 时, 0 ( ) = k y 解例2