高等院校非数学类本科数学课程 大学数学() 元微积分学 第三十讲一元微积分的应用(六) 微积分在物理中的应用 脚本编写:刘楚中教案制作:刘楚中
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第七章常微分方程 本章学习要求: ■了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. ■了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利( Bernoulli)方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. ■会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. ■知道下列高阶方程的降阶法: "=f(x,y), y=f(,y), y=f(x) ■了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法 ■熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法 ■掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第七章 常微分方程 本章学习要求： n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. n知道下列高阶方程的降阶法： ( ). ( ) y f x n y f (x, y ), y f ( y, y ), n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法
第二节一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
d 变量代换d a,x+6,y+c dx a2x+b,y+ 齐次方程 可化为齐次方程的方程 变量代换 f(xg() 变量分离 d y dx dx+ p(x)y=o 变量可分离方程 一阶线性齐方程 常数变易 +P(x)y=9(x)y”变量代地+D(x)y=q(x) dx X 伯努利方程 阶线性非齐方程
( ) ( ) d d f x g y x y 变量可分离方程 x y f x y d d 齐次方程 2 2 2 1 1 1 d d a x b y c a x b y c f x y 可化为齐次方程的方程 ( ) 0 d d p x y x y 一阶线性齐方程 ( ) ( ) d d p x y q x x y 一阶线性非齐方程 n p x y q x y x y ( ) ( ) d d 伯努利方程
d 变量代换d a,x+6,y+c dx a2x+b,y+ 齐次方程 可化为齐次方程的方程 变量代换 d d f(x)g(y 变量分离 +P(x)y=0 d x dx 变量可分离方程 一阶线性齐方程 常数变易 +P(x)y=9(x)y”变量代地+D(x)y=q(x) dx X 伯努利方程 阶线性非齐方程
( ) ( ) d d f x g y x y 变量可分离方程 x y f x y d d 齐次方程 ( ) 0 d d p x y x y 一阶线性齐方程 ( ) ( ) d d p x y q x x y 一阶线性非齐方程 n p x y q x y x y ( ) ( ) d d 伯努利方程 ( ) ( ) d d f x g y x y 变量可分离方程 2 2 2 1 1 1 d d a x b y c a x b y c f x y 可化为齐次方程的方程
变量可分离方程 如果一阶微分方程可以化为下列形式: g(ydy=f(xdx 则称原方程为变量可分离的方程 运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解: g(y)dy=lf(x)dx 积分的结果y=y(x,C)就是原方程的通解。 其中C为积分后出现的任意常数。 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程, 称为分离变量法
一、变量可分离方程 如果一阶微分方程可以化为下列形式： g( y)d y f (x)d x 则称原方程为变量可分离的方程。 运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解： g( y)d y f (x)d x 其中C 为积分后出现的任意常数。 积分的结果 y y(x,C) 就是原方程的通解 。 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程， 称为分离变量法
例」求方程y=1计x的通解,并指出过点(x1)的特解。 解原方程即 d x 1+x 对上式两边积分,得原方程的通解 y= arctan x+C(-∞<x<+∞) 当x=x0时,y=y,故 arctan xo, 从而,过点(x02y)的特解为 y= yo arctan x-arctan xo o
例 解 ( , ) 1 1 求方程 2 的通解，并指出过点 x0 y0 的特解。 x y 原方程即 , 1 d d 2 x x y 对上式两边积分，得原方程的通解 y arctan x C ( x )。 当x x0 时，y y0，故 arctan C y0 x0， 从而，过点 (x0 , y0 )的特解为 arctan arctan y y0 x x0
例求解微分方程ay=,(y2-1 解当y2-1≠0时,该方程可化为变量分离的方程 2dy=dx, 对上式两边积分,得原方程的通解 =x+c 隐函数形式 y 经初等运算可得到原方程的通解为 1+ce (C=±e°) 你认为做完了没有?
例 解 ( 1) 2 1 d 求解微分方程 d y 2 。 x y 1 0 当y 2 时，该方程可化为变量 分离的方程 d 1 2d 2 x， y y 对上式两边积分，得原方程的通解 1 1 ln x C1。 y y 经初等运算可得到原方程的通解为 1 1 x 。 x Ce Ce y ( ) C1 C e
令y2-1=0,得出y=±1,代入原方程可知: y=±1也是原方程的解。 由于y=1对应于C=0;y=-1对应于C→+∞,所以, 原方程的解为 1+Ce y (C为任意常数)
1 0 1 令 y 2 ，得出 y ，代入原方程可知： y 1 也是原方程的解。 由于 y 1对应于 C 0；y 1对应于 C ，所以， 原方程的解为 1 1 x ， x Ce Ce y ( C 为任意常数)
例求方程(+y)x+yx-)dy=0的通解 解方程两边同除以(x-1)+y2),得 dx d X 1+y 两边同时积分,得 In x-1+In 1+y=In C, 即 x-1/y1+y2=C 因为只 求通解,所 以不必再讨 故所求通解为x= 论了。 你认为还需要讨论吗?为什么?
例 解 (1 )d ( 1)d 0 求方程 y 2 x y x y 的通解。 方程两边同除以 (x 1)(1 y 2 )，得 0 1 d 1 d 2 。 y y x x 两边同时积分，得 ln |1 | ln | | 2 1 ln | 1| x y 2 C ， | 1| 1 | | 即 x y 2 C 。 故所求通解为 1 1 2 。 y C x 因为只 求通解，所 以不必再讨 论了
