高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学
第一章 多元函数微分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平
第一章 多元函数微分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平
第一章多元函数微分学 本章学习要求 1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法 3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件 5.理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系
6.会求隐函数包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7.知道二元函数的泰勒公式形式。 8.知道n元函数的偏导数概念及其求法。 9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法 10.了解空间平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 1l.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12.理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题
第三节多元函数的导数 多元函数的偏导数是一元函数导数的推 广,其计算往往是借用一元函数的计算公式 和方法但实际计算往往较繁 在推广中有一些东西将起质的变化我 们通常介绍二元函数的情形,所得结果可 以推广到更高元的函数中,一般不会遇到 原则性问题
多元函数的偏导数是一元函数导数的推 广,其计算往往是借用一元函数的计算公式 和方法,但实际计算往往较繁. 在推广中有一些东西将起质的变化.我 们通常介绍二元函数的情形, 所得结果可 以推广到更高元的函数中, 一般不会遇到 原则性问题
工程和科学技术中.遇到的大部分 是多变量的问题,在处理时往往要知 道在其它变量不变.只有某一个变量变 化时,引起的事物反应 在物理和力学中,经常用到力和速 度的分解和合成,一般是将任意方向的 力或速度分解为平行于坐标轴方向的分 力或分速度
工程和科学技术中, 遇到的大部分 是多变量的问题, 在处理时往往需要知 道在其它变量不变, 只有某一个变量变 化时, 引起的事物反应 . 在物理和力学中, 经常用到力和速 度的分解和合成. 一般是将任意方向的 力或分速度 . 力或速度分解为平行于坐标轴方向的分
元函数f(x)=snax的导数 f(x, a)=sin ax 将函数表示为 含参数的形式 f(x)=acos ax f(x,a)= a coax用标示
一元函数 f (x) = sin ax 的导数 f (x) = a cos ax f (x, a) = sin ax f x a a ax x ( , ) = cos 将函数表示为 含参数的形式 用下标显示 是对 x 求导
f(x,y)= sIn yx将参数a接 成变量y f(x, y)=cos yx 如果x,y为自变量这就是二元函数 ∫(x,y)关于变量x的偏导数
一元函数 f (x) = sin ax 的导数 f (x) = a cos ax f (x, a) = sin ax f x a a ax x ( , ) = cos f (x, y) = sin yx f x y y yx x ( , ) = cos 如果 x , y 为自变量, 这就是二元函数 f (x , y) 关于变量 x 的偏导数. 将参数 a 换 成变量 y
偏增量和全增量 偏增量空间R2中固定y=,则称 X=(x,yo)-(x0,y) X=(x0+△x,y)-(x0,y0) 为变量X在点(x02y)处关于x的偏增量
一 . 偏增量和全增量 偏增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 X x y x y x = − 或 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 X x x y x y x = + − , 固定 y = y0 则称 ( , ) . 为变量 X 在点 x0 y0 处关于x的偏增量 : 空间 R 2中
偏增量和全增量 偏增量空间R2中:固定x=x0,则称 ,X=(x0,y)-(x0,y) △,X=(x0,y0+△y)-(x0,y0) 为变量X在点(x02y)处关于y的偏增量
一 . 偏增量和全增量 偏增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 X x y x y y = − 或 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 X x y y x y y = + − , 固定 x = x0 则称 ( , ) . 为变量 X 在点 x0 y0 处关于 y的偏增量 : 空间 R 2中