第七章平稳过程 71定义与例子 定义711:随机过程X(),t∈T称为严平稳过程( (strictly stationary process)z对任 意n及t1<l2<…<Ln∈T,任意h,随机向量(x(1)…X(n)与 (x(1+h)…X(tn+h)有相同的联合分布。 严平稳过程是用有限维分布定义的,故该过程可能连均值函数都不存在。若 严平稳过程还是二阶矩过程,则其均值函数山(1)=m为常数,相关函数 R(s,1)=E(s)X(1)=EX(0)X(-1)只与S-1有关,协方差函数也仅与s-1有关。 定义72:随机过程X(),t∈T称为宽平稳过程( wide sense stationary process)若 它是一个二阶矩过程且满足 1)均值函数山()=m为常数; 2)协方差函数I(s1)=E[X(s)-m][(-m]或相关函数 R(S,1)=EY(s)X(1)仅依赖于s-t。 宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程,就是指宽平稳过程 例71.1:En,n=0,±1,+2,…为零均值的方差为σ2的独立同分布随机变量序列,令 Xn=∑5n,则Xn是一个平稳序列。因为EXn=0, EX X a2C∑66nm),m≤K-1 n+阴 0,m≥K. 例71.2:设N()为强度A的 Poisson过程,令X()=N(+1)-N(t),t≥0,则X(l) 是平稳过程,均值函数为()=2,m(s={(--1-1 0 由于平稳过程的相关函数R(s,1)和协方差函数r(s,1)只依赖与时间差s-t
第七章 平稳过程 7.1 定义与例子 定义 7.1.1：随机过程 称为严平稳过程(strictly stationary process)若对任 意 及 X (t),t ∈T n t1 − − − ≤ Γ = 0, 1 (1 ), 1 ( , ) s t s t s t s t λ 。 由于平稳过程的相关函数 R(s,t) 和协方差函数Γ(s,t) 只依赖与时间差 s − t ， 1
令r=s-t,则相关函数和协方差函数实际上只是r的函数,分别记为R(r)和 r(r)。 72相关函数(协方差函数 相关函数(协方差函数)基本性质: 1)R(0)≥0; 2)R(-x)=R(x); 3)R(r)≤R(O); R(r)是非负定的,即对任意n,a1,=1…,n为复数及l1=1…n有 ∑∑aaR(,-1)≥0 定理72:设H(1)为平稳过程,则以下等价: 1)X(1)均方连续; 2)(1)在t=0处均方连续; 3)相关函数R(r)(或协方差函数)连续 4)相关函数R()(或协方差函数)在r=0处连续。 证明:用 Schwarz不等式及注意到EX(+h)-X()2=2RO)-Rh)-R-b)。 定理722:设Ⅺ(1)为平稳过程,则()p次均方可微台R(r)在r=0处2p次可 微。若以下导数存在,有EXP(s)X(()=(-1)°RP(r)=(-1)R(Pq(s-1) 73相关函数的谱分解 定理73.1:1).设Xn,n=0,±1±2…为平稳序列,则相关函数R(n)可以表示为 R(n)=emd(m),其中F(w)为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差
令τ = s − t ，则相关函数和协方差函数实际上只是τ 的函数，分别记为 R(τ ) 和 Γ(τ )。 7.2 相关函数(协方差函数) 相关函数(协方差函数)基本性质： 1) R(0) ≥ 0； 2) ； _______ R(−τ ) = R(τ ) 3) R(τ ) ≤ R(0)； 4) R(τ ) 是非负定的，即对任意 n ， ai ,i = 1,L,n 为复数及 ti ,i = 1,Ln 有 ( ) 0 1 1 ∑∑ − ≥ = = n j n i i j i j a a R t t 。 定理 7.2.1：设 X (t)为平稳过程，则以下等价： 1) X (t)均方连续； 2) X (t)在t = 0处均方连续； 3) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)连续； 4) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)在τ = 0处连续。 证明：用 Schwarz 不等式及注意到 ( ) ( ) 2 (0) ( ) ( ) 2 E X t + h − X t = R − R h − R −h 。 定理 7.2.2：设 X (t)为平稳过程，则 X (t) p 次均方可微⇔ R(τ ) 在τ = 0处 次可 微。若以下导数存在，有 。 2 p ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( ) ( 1) τ ( ( ) _________ ( ) ( ) EX s X t R R s t p q q p q q p q = − = − − + + 7.3 相关函数的谱分解 定理 7.3.1：1). 设 X n ,n = 0,±1,±2,L为平稳序列，则相关函数 可以表示为 ，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 R(n) ∫ − = π π R(n) e dF(w) jnw F(w) 2
是唯一的;特别若X是实的平稳序列,则R(m)= cos mvdF(m 2).设X()-00,则相关函数
是唯一的；特别若 X n 是实的平稳序列，则 。 ∫ = π 0 1 R(n) cos nwdF (w) 2). 设 X (t),−∞ + = ρ π ρ ρ w f w ，则相关函数 3
R(r)=emf()hp=e叫。 例734:已知相关函数为R(r)=e叫,p>0,则功率谱密度 f(w) e r(r)dr= 丌(p2+w2) 74平稳过程的谱分解 定理741:1).设X(n),n=0,±1…为零均值的平稳序列,则 X(n)=emds(w) 其中5(),w∈[-x,r]为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对-z≤m1<v2≤,Em2)-5(m)2=F(m2)-F(m),其中F(m) 即为谱函数 2).设X()-<1<∞为零均值的均方连续的平稳过程,则 X()=「emd(w) 其中5().-∞<w<∞为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对w1<m2,E(n2)-5(w)2=F(mn2)-F(n),其中F()即为谱 函数 75各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均,这种性质称为各态历经性 ( ergodicity),也称为遍历性。设X(l)-∞<t<∞为实的平稳过程,EY(t)=m, 相关函数为R(r),协方差函数为r(r)。 定义751:若lim「X()d=m,则称均值具有遍历性;若 T→∞2T imn「X(+r)X()d=R),则称相关函数具有遍历性 T→∞2
τ ρ τ τ − ∞ −∞ = = ∫ R e f w dw e j w ( ) ( ) 。 例 7.3.4 ：已知相关函数为 ( ) = , > 0 − τ ρ ρ τ R e ，则功率谱密度 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 w f w e R d jw + = = ∫ ∞ −∞ − π ρ ρ τ τ π τ 。 7.4 平稳过程的谱分解 定理 7.4.1：1). 设 X (n),n = 0,±1,L为零均值的平稳序列，则 ∫ − = π π X (n) e dξ (w) jnw 其中ξ (w),w∈[−π ,π ]为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对−π ≤ w1 < w2 ≤ π ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱函数。 F(w) 2). 设 X (t),−∞ < t < ∞ 为零均值的均方连续的平稳过程，则 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 其中ξ (w),−∞ < w < ∞ 为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对 w1 < w2 ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱 函数。 F(w) 7.5 各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均，这种性质称为各态历经性 (ergodicity)，也称为遍历性。设 X (t),−∞ < t < ∞ 为实的平稳过程， ， 相关函数为 EX (t) = m R(τ ) ，协方差函数为Γ(τ )。 定 义 7.5.1 ： 若 X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ，则称 均值具有遍历性 ； 若 ( ) ( ) ( ) 2 1 lim X t τ X t dt R τ T T T T + = ∫ − →∞ ，则称相关函数具有遍历性。 4
定理75:设Ⅺ(l)-∞<1<∞为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性, 即2J￥(n)t=m白谱函数F(川)在w=0处连续台协方差函数满足 证明:不妨设m=0,否则考虑随机过程X(1)-m,此时r(r)=R(x)。由于 X(1) 因此 ( dt edhd5()=「Φ;(w)dl5(n) 2T sint 其中Φr() imΦr(v) jo.w≠0 l,w=0 由于 X(odr= (w)dF(w) i127Jx(n)d=lm[@()F()=F(0+)-F(O) 因此imE「X()d=0→F()在w=0处连续。 2T 由于r()=R(r dF(w) jr(rdr=T Sem dF(wdt=J oT jen"dt ldF(ow)= a, (w)dF(w) 故 limr(r)dr=lim pr (w)dF(w)=F(0+)-F(O 因此 ima r(r)dr=0Fm)在m=0处连续
定理 7.5.1：设 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性， 即 X (t),−∞ < t < ∞ X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ 谱函数 F(w) 在 w = 0 处连续 ⇔ 协方差函数满足 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ 。 证明：不妨设m = 0，否则考虑随机过程 X (t) − m，此时Γ(τ ) = R(τ )。由于 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 因此， ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt d w w d w T e d w dt T X t dt T T T T jwt T T jtw T T ξ ξ ξ ， 其中 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = 1, 0 , 0 sin ( ) w w wT wT T w ， 。由于 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = →∞ 1, 0 0, 0 lim ( ) w w T w T ∫ ∫ ∞ − −∞ ( ) = Φ ( ) ( ) 2 1 2 2 X t dt w dF w T E T T T 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim 2 2 X t dt w dF w F F T E T T T T T = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ 因此 ( ) 0 2 1 lim 2 = ∫ − →∞ T T T X t dt T E ⇔ F(w)在w = 0处连续。 由于 ∫ ， ∞ −∞ Γ( ) = R( ) = e dF(w) jτw τ τ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Γ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt dF w w dF w T e dF w dt T d T T T T jwt T T jtw T T τ τ 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim d w dF w F F T T T T T T Γ = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ τ τ 因此 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ ⇔ F(w)在w = 0处连续。 5
定理752:设Y()-∞<1<∞为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性 即limx(t)d= m s lim T(rdr=o ∫E[x(s)-mlx()-m 证明: -T-T 4]2JT(s-tdsdr T-T 令l=s-1,v=s+t, ( dt 11(r()dv 4722 8 r(udu T(u)(2T-1up)du (u)du 2T 因此lmnx(n)d →2T 0(2ry()dr=0。 类似的令Y(t)=X(+)X(1),考虑Y()的均值遍历就可以得到X(n)相关函数的 遍历性定理 定理73:相关函数具有遍历性台lmj(1-n(a)-R(r}=0,其中 B(u)=EX(+r+uX(t+uX(+r)X(o (由于上式涉及到4阶矩,一般很难验证,往往对X(1)还是正态过程时可以算出。 例751:X(1)=Asin(wt+O),b为-x,x]上的均匀分布,则X(t)为零均值平稳 过程,协方差函数r(x)=A2 cOS wi,由于 limIT(a)dr=im4 SInt T→∞2T T 故均值具有遍历性。 在对随时间连续变化的信号分析处理时,一般是获得一些离散的采样值。例 如每隔定长时间△对K(n)进行观测,获得X()在t=k的数值X(k△)。若采样点 过密,增加处理难度且一般花费大;过稀又可能失真,误差大。因此要选择合适
定理 7.5.2：设 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性， 即 X (t),−∞ < t < ∞ X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ ( ) 0 2 1 1 lim 2 0 ⎟Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T d T T τ τ τ 。 证明： [ ][ ] s t dsdt T E X s m X t m dsdt T X t dt m T E T T T T T T T T T T ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − = Γ − − = − − ( ) 4 1 ( ) ( ) 4 1 ( ) 2 1 2 2 2 令u = s − t,v = s + t ， ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ − = − − = Γ = Γ − − − − − − T T T T u T u T T T T u du T u T u T u du T u du dv T u dudv T X t dt m T E 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 ( )(2 ) 4 1 ( ) 8 1 ( ) 2 1 4 1 ( ) 2 1 因此 X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ ( ) 0 2 1 1 lim 2 0 ⎟Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T d T T τ τ τ 。 类似的令Y(t) = X (t +τ )X (t) ，考虑 的均值遍历就可以得到 相关函数的 遍历性定理。 Y(t) X (t) 定理 7.5.3：相关函数具有遍历性 ⇔ [ ( ) ( )] 0 2 1 1 lim 2 0 2 ⎟ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T B u R du T u T τ ，其中 B(u) = EX (t +τ + u)X (t + u)X (t +τ )X (t)。 (由于上式涉及到 4 阶矩，一般很难验证，往往对 X (t)还是正态过程时可以算出。) 例 7.5.1： X (t) = Asin(wt +θ )，θ 为[−π ,π ]上的均匀分布，则 为零均值平稳 过程，协方差函数 ，由于 X (t) (τ ) A coswτ 2 Γ = 0 sin ( ) lim 2 1 lim 2 Γ = = →∞ − →∞ ∫ wT A wT d T T T T T τ τ ， 故均值具有遍历性。 在对随时间连续变化的信号分析处理时，一般是获得一些离散的采样值。例 如每隔定长时间∆对 X (t)进行观测，获得 X (t)在t = k∆ 的数值 。若采样点 过密，增加处理难度且一般花费大；过稀又可能失真，误差大。因此要选择合适 X (k∆) 6
的间隔。 定理7.54:( Sampling Theoren)设X(r)-∞<t<∞为实的均方连续的平稳过程, 若谱函数F()满足∫F(m)=0,设4≈1,则X(O)=∑X(k)-A) 2B 证明:由谱分解 X(1)=「edl5() 考虑e的 Fourier变换em~∑ane 其中 「eme2h= 。因此由 Fourier级数理论 4TB 0=lim dF(w)=lim EX(O) 叫<2 2B 这表明X()=∑Xm)-4 (t-n△) 采样定理表明,当釆样时间间隔Δ≤(B为最高频率)时,采样值可以准确恢 2B 复X() 76线性时不变系统中的平稳过程 所谓系统,就是对于任何输入,按照一定规则产生输出的装置。 定义761:设系统L输入x(1),输出y(t)=Lx(t)。若对任何输入x1(n),x2(t)及任 意a,B,输出Lox1(1)+2()=ax:()+Px2(),则称系统L为一个线性系统 ( linear system):若对任意τ,Lx(t+r)=y(t+r),则称系统L为一个时不变系统 (time-invariant system) 引理7.6,1:设L为一个线性时不变系统,若输入x()=e厘,则输出 y()=Lem=H(mle,其中H(v)=Leml=y(0)
的间隔。 定理 7.5.4：(Sampling Theorem)设 X (t),−∞ < t < ∞ 为实的均方连续的平稳过程， 若谱函数 F(w)满足 ( ) 0 2 = ∫ w ≥ B dF w π ，设 2B 1 ∆ = ，则 ∑ ∞ =−∞ − ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ k t k t k X t X k ( ) sin ( ) ( ) ( ) π π 。 证明：由谱分解 ∫ < = w B jwt X t e d w π ξ 2 ( ) ( ) 考 虑 e jwt 的 Fourier 变 换 ∑ ∞ n=−∞ B w jn n jwt e a e 2 ~ , 其 中 ( ) sin ( ) 4 1 2 2 2 − ∆ ∆ − ∆ ∆ = = ∫ − − t n t n e e dw B a B B B w jn jwt n π π π π π 。因此由 Fourier 级数理论 2 2 2 2 2 0 lim ∫ ∑ ( ) lim ( ) ∑=− →∞ < =− →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − N n N n N w B N n N B w jn n jwt N B n e a e dF w E X t a X π 这表明 ∑ ∞ =−∞ − ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ n t n t n X t X n ( ) sin ( ) ( ) ( ) π π 。 采样定理表明，当采样时间间隔 2B 1 ∆ ≤ ( B 为最高频率)时，采样值可以准确恢 复 X (t)。 7.6 线性时不变系统中的平稳过程 所谓系统，就是对于任何输入，按照一定规则产生输出的装置。 定义 7.6.1：设系统 L 输入 x(t)，输出 y(t) = Lx(t) 。若对任何输入 及任 意 ( ), ( ) 1 2 x t x t α, β ，输出 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 L αx t + βx t = αLx t + βLx t ，则称系统 为一个线性系统 (linear system)；若对任意 L τ ，Lx(t +τ ) = y(t +τ ) ，则称系统 为一个时不变系统 (time-invariant system)。 L 引 理 7.6.1 ： 设 为一个线性时不变系统，若输入 ，则输出 ，其中 L jwt x(t) = e jwt jwt y(t) = Le = H(w)e ( ) (0) 0 H w Le y t jwt = = = 。 7
证明:对任意固定的r,y(t+)=Lemn)= e/ Le=emy(1)。令t=0, y(r)=emy(0)=H()em,由r的任意性即得y(t)=H(w)em。 设H()=H()le),则H(v)表征系统的振幅 ( amplitude.性,(n)表征 系统的相位( phase)特性,H()称为频率响应( frequency response)。设输入x()为 平方可积函数,即jx()dt<∞,则 x()=X(wje"" 其中x(n)=「x()ed为x()的 Fourier变换,称为x()的频谱 frequency spectra。将x()表为x()=im∑X()em△Mm,若L为一个连续的线性时 不变系统,则 y(o=Lx(0=Lim 2r <X(w*DeJw! AWk=lim X(w)Lem4△ X(w)H(w, )e/ Aw: 2r JY(w)H()e wch 由于mD2zJy(m)mhm,其中Y(m)=∫voc-为y(的频谱。故有频谱关 Y()=X()H() 若Joh,则由 Fourier分析MO)=Jm)h H()=「h()eat。则 y=Yow)e/"dt=_s X(w)H(w)edt x(s)e- H(w)e"dt 2 s!2兀 x d(w)erfl-sdt ds=x(s)h(t-s)
证明：对任意固定的τ ， 。令 ， ，由 ( ) ( ) ( ) y t Le e Le e y t jw t τ jwτ jwt jwτ +τ = = = + t = 0 τ τ τ jw jw y( ) = e y(0) = H(w)e τ 的任意性即得 y(t) = H(w)e jwt 。 设 ( ) ( ) ( ) j w H w H w e θ = ，则 H(w) 表征系统的振幅(amplitude)特性，θ (w) 表征 系统的相位(phase)特性， 称为频率响应(frequency response)。设输入 为 平方可积函数，即 H(w) x(t) < ∞ ∫ ∞ −∞ x t dt 2 ( ) ，则 ∫ ∞ −∞ x t = X w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π 其中 为 的 Fourier 变换，称为 的频谱(frequency spectral)。将 表为 ∫ ∞ −∞ − X w = x t e dt jwt ( ) ( ) x(t) x(t) x(t) = ∑ ∆ k k jw t x t X (wk )e k w 2 1 ( ) lim π ，若 为一个连续的线性时 不变系统，则 L ∑ ∫ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∆ = = = ∆ = ∆ X w H w e w X w H w e dw y t Lx t L X w e w X w Le w jwt k k jw t k k k k jw t k k k jw t k k k k ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 lim ( ) 2 1 ( ) lim 2 1 ( ) ( ) lim π π π π 由于 ∫ ∞ −∞ y t = Y w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π ，其中 为 的频谱。故有频谱关 系 ∫ ∞ −∞ − Y w = y t e dt jwt ( ) ( ) y(t) Y(w) = X (w)H(w) 若 < ∞ ∫ ∞ −∞ H w dw 2 ( ) ，则由 Fourier 分 析 ∫ ∞ −∞ h t = H w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π ， ∫ 。则 ∞ −∞ − H w = h t e dt jwt ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ − ∞ −∞ ∞ −∞ − ∞ −∞ ∞ −∞ ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = x s H w e dt ds x s h t s ds y t Y w e dt X w H w e dt x s e ds H w e dt jw t s jwt jwt jws jwt ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) π π π π 8
特别当输入为脉冲时,即x(t)=6(1),输出y(r)=h(1),称h)为冲激响应( impulse response) 例761:设输入输出满足差分方程∑by(-k)=∑ax(t-D),则频率响应为 ∑ae H() She 例762:设输入输出满足微分方程∑by“()=∑ax(),则频率响应为 ∑a(n) ∑b(m) 现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程X()-∞<1<∞,由 谱分解X()=Je~ad5(m),写成均方极限形式X()=lm∑em△52(,),因此 当L为一个连续的线性时不变系统时, Y()=Lx()=Lim∑em△5()=lim∑Lem△5x(m) imn∑H(m)e~m△2()=「H()emd5x() 这表明输出Y()仍为零均值的均方连续的平稳过程。设Y()本身的谱分解为 Y(=e"a2(m),因此51(m)=∫H()5x()+5。设X()的谱函数为F(, R (r)=Ey()Y(0)=E H(w)e/,(w)|H(w)ds (w) ( 设R()本身的谱分解为R(r)=edF(n),其中F()为Y(的谱函数,因
特别当输入为脉冲时，即 x(t) = δ (t)，输出 y(t) = h(t) ，称 为冲激响应(impulse response)。 h(t) 例 7.6.1：设输入输出满足差分方程 ∑ ∑ ，则频率响应为 = = − = − m l l n k k b y t k a x t l 0 0 ( ) ( ) ∑ ∑ = − = − = n k jkw k m l jlw l b e a e H w 0 0 ( ) 。 例 7.6.2：设输入输出满足微分方程 ∑ ∑ ，则频率响应为 = = = m l l l n k k k b y t a x t 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = = n k k k m l l l b jw a jw H w 0 0 ( ) ( ) ( ) 。 现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程 ，由 谱分解 ，写成均方极限形式 X (t),−∞ < t < ∞ ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) X jtw ξ = ∑ ∆ k X k jtw X (t) lim e k ξ (w )，因此 当 L 为一个连续的线性时不变系统时， ∑ ∫ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∆ = = = ∆ = ∆ lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) H w e w H w e d w Y t LX t L e w Le w X jtw k X k jtw k k X k jtw k X k jtw k k k ξ ξ ξ ξ 这表明输出 仍为零均值的均方连续的平稳过程。设 本身的谱分解为 ，因此 。设 的谱函数为 ， 则 Y(t) Y(t) ∫ ∞ −∞ Y(t) = e d (w) Y jtw ξ ξ = ξ + ξ ∫ −∞ w Y (w) H(u)d X (u) X (t) F (w) X ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ⋅ ∞ −∞ ∞ −∞ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ______________________ ______ H w e dF w R EY Y E H w e d w H w d w X jτ w X X jτ w Y τ τ ξ ξ 设 (τ ) RY 本身的谱分解为 ∫ ，其中 为 的谱函数，因 ∞ −∞ ⋅ R ( ) = e dF (w) Y jτ w Y τ F (w) Y Y(t) 9
此有F1(m)=JH()2dF2(m)+C。特别若X()的谱密度f(m)存在,则Y(O)的 谱密度f()存在且 fY()=H(w)x(w) 例76.3:设输入输出满足Y()+Y(m)=(1),现输入为零均值的平稳过程 X()-<1<∞,其相关函数为R(r)=e,求输出过程Y()的相关函数 R1(r) 由X()的相关函数可得谱密度为(m/=21 ,由系统输入输出关系的 丌4+ 频率响应(0)=~1 故输出Y(t)的谱密度为 fr(w)=H(w)/x(w) 丌(4+2)(1+w2) 所以 Rr(r)=|e/r(w)dw=(2e-T-e),r20 77平稳相关和互谱函数 当研究系统的随机输入输出时,要考虑两个平稳过程,研究它们的相互关系 定义771:平稳过程X(),-∞<1<∞与平稳过程Y(1),-0<1<∞称为平稳相关的, 如果对任意h有EX(s+h)(t+h)=EX(s)Y(t),s,t 当两个平稳随机过程X(t),Y()平稳相关时,它们互相关函数 Rx(S,1)=EX(s)Y()=Rx(s-1)依赖于时间差,用Rx()表示互相关函数。互 相关函数也有谱分解Rn()=edFx(),特别当F()绝对连续即可导时, Rn()=ef()hp,这里Fx()称为X()与Y()的互谱函数,f()称为 互谱密度。(此时互谱函数,互谱密度不一定为实函数)
此有 F w H u dF u C w Y = X + ∫ −∞ ( ) ( ) ( ) 2 。特别若 的谱密度 存在，则 的 谱密度 存在且 X (t) f (w) X Y(t) f (w) Y ( ) ( ) ( ) 2 fY w = H w f X w 例 7.6.3：设输入输出满足 Y ′(t) + Y(t) = X (t) ，现输入为零均值的平稳过程 X (t),−∞ < t < ∞ ，其相关函数为 ( ) , 2 τ τ − R = e X ，求输出过程 Y(t) 的相关函数 (τ ) RY 。 由 X (t)的相关函数可得谱密度为 2 4 2 1 ( ) w f w + = π ，由系统输入输出关系的 频率响应 jw H w + = 1 1 ( ) ，故输出Y(t)的谱密度为 (4 )(1 ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 w w fY w H w f X w + + = = π 所以 (2 ), 0 3 1 ( ) ( ) 2 = = − ≥ − − ∞ −∞ ⋅ ∫ τ τ τ τ Y jτ w Y R e f w dw e e 7.7 平稳相关和互谱函数 当研究系统的随机输入输出时，要考虑两个平稳过程，研究它们的相互关系。 定义 7.7.1：平稳过程 X (t),−∞ < t < ∞ 与平稳过程Y(t),−∞ < t < ∞称为平稳相关的， 如果对任意h 有 EX (s h ) Y (t h ) EX (s) Y (t) , s, t 。 __________ ______ + + = ∀ 当两个平稳随机过程 平稳相关时，它们 互相关函数 依赖于时间差，用 X (t),Y(t) ( , ) ( ) ( ) ( ) ______ R s t EX s Y t R s t XY = = XY − (τ ) RXY 表示互相关函数。互 相关函数也有谱分解 ，特别当 绝对连续即可导时， ，这里 称为 与 的互谱函数， 称为 互谱密度。(此时互谱函数，互谱密度不一定为实函数) ∫ ∞ −∞ ⋅ R ( ) = e dF (w) XY jτ w XY τ F (w) XY ∫ ∞ −∞ ⋅ R = e f XY w dw jτ w XY (τ ) ( ) F (w) XY X (t) Y(t) f (w) XY 10