湖南大学：《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性变换

端六换 第一节嗟变换的概念 第二节能些变换和想库 第三节特死值与特弧向 第四节线咝变换的不变子间家与核 BACK

第一节 线性变换的概念 第二节 线性变换和矩阵 第三节 特征值与特征向量 第四节 线性变换的不变子空间,象与核

、变换的概禽 O幾变换的他质 线性变换的 BACK

一、线性变换的概念 二、线性变换的性质 *三、线性变换的运算

51线性变换的概念 线性变换的概念 定义1 设a是向量空间V到其自身的一个映射,如果σ满足: 1)o(a+B)=σ(a)+o(B) 2)σ(ka)=k(a) 其中a,B为V中任意向量,k为任意实数 则称σ是V的一个线性变换.(a)称为a在a下的象,也可记为aa σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算 注:(1)向量空间中变换的写法 σ:(x,y)→(x+y,x-y),(x,y)∈R2 σ(x,y)=(x+y,x-y),(x,y)∈R2 (a+=σ(a)+o(B), a(ka)=kσ(a) 可简写成O(ka+k2B)=ko(a)+k2O(B) ‖第六章线变换

定义1 一、线性变换的概念 设  是向量空间 V 到 其自身的一个映射，如果  满足: 1) (  +  ) =  (  ) +  (  ), 2)  ( k ) = k (  ). 其中 ,  为V 中任意向量，k 为任意实数  有上面的性质也说成  保持向量的线性运算. 则称  是 V 的一个线性变换.  () 称为  在  下的象，也可记为  . §1 线性变换的概念 (1) 向量空间中变换的写法  : ( x, y) → ( x + y, x − y ), (x, y)  R2  ( x, y) = (x + y, x − y), ( x, y)  R2 注： (2) ( ) ( ) ( ). 可简写成  k1α+ k2β = k1 α + k2  β  ( + ) =  () +  ( ),  (k) = k  (  ). 第六章 线性变换

例 R3中σ(x,y,z)=(x,y,0)是线性变换 E事实上,设a=(x,y,21),B=(xn,2) (a+B)=a(x1+x2,y+y2,x1+z2) (x1+x2,y1+y2,0) (x1,y1,O)+(x2,y2,0) (x,y, 3) o(a)+o(). (ka)=o(kx1,kyi, k=1) (x,y,0) (kx1,kyl, 0) k( o(a 故σ(x,y,z)=(x,y,0)是R3中线性变换,称之为R3中向xOy面的投影变换 ‖第六章线变换

例 1 R3 中  ( x, y, z) = (x, y, 0) 是线性变换. 事实上, 设  = ( x1 , y1 , z1 ) ,  =( x2 , y2 , z2 )  ( +  ) =  ( x1+ x2 , y1 + y2 , z1+ z2 ) = ( x1+ x2 , y1 + y2 , 0 ) = ( x1 , y1 , 0) + ( x2 , y2 , 0) =  ( ) +  (  ). 证  (k ) =  (k x1 , k y1 , kz1 ) = ( k x1 , k y1 , 0 ) = k (x1 , y1 , 0 ) = k  (  ). 故  ( x, y, z) = (x, y, 0) 是 R3 中线性变换，称之为 R3 中向 xOy 面的投影变换. x y z ( x, y, z) (x, y, 0) 0 第六章 线性变换 上一页

例2 在R2中,设0≤( x cose-ysin6, sine+yos) 则a是R2的一个线性变换 称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换 (x,y) E事实上,由 ((x,y)+(x1,y1)=a(x+x1,y+y1) =[(x+1)Coe-(2+小)9(x+x1)2+(小+)coeQ (co2 0 x. 6+)Co28)+(xI c020-N 20 x 20+) co2o) =Q(x:)+Q(x2) Q(Y(x))=Q(Yxy)小) (yCo20-2 0 21 0+Yco20) ￥(xco2-2mx29+CoO29) =a(x) 故σ是线性变换 ‖第六章线变换

例 2 在 R2 中，设 0 ≤  < 2 , 令  ：(x, y)→ (x cos − ysin, xsin + ycos ) 则  是 R2 的一个线性变换. 称线性变换  是绕原点按逆时针方向旋转  角的旋转变换. x y ( x, y) 0 事实上，由   ( (x, y)+(x1 , y1 ))= (x+x1 , y+y1 ) [( )cos ( )sin ,( )sin ( )cos )] = x + x1  − y + y1  x + x1  + y + y1  = (x cos − y sin , x sin  + y cos ) ( , ) ( , ). 1 1 = x y + x y ( cos sin , sin cos ) + x1  − y1  x1  + y1  证  (k(x, y)) =  (kx, ky) = (k xcos − k ysin , k xsin  + k ycos ) = k(x cos − y sin , x sin  + y cos ) = k (x, y). 故  是线性变换. 第六章 线性变换 上一页

例3 向量空间中 T:a→a,ya∈p 0,a∈p 显然κ、σ都是线性变换.分别称为恒等变换和零变换,恒等变换记为Ⅰ, 零变换记为0,即 (a)=a,0(a)=0. 例4 R2中σ(x,y)=(xy,0),σ是否是线性变换? 例5 下列变换: or a. a an 2(a1,a2,…,an)→(a1,a2,ay,…,an-1,0) G3:(a1,a2,…,an)→k(a1,a2a3,…,an) olai. a ba,∑ba a 其中(a1,a2…,a)是任一n维向量,b为取定实数,=1,…,n,则a1, a2,G3,O4都是R的线性变换 ‖第六章线变换

例 4 例 3 向量空间 V 中:  ：→ ， V  ：→ 0， V 显然 、 都是线性变换. 分别称为恒等变换和零变换，恒等变换记为I ， 零变换记为0，即 I () = , 0() = 0. R2 中 ( x, y) = (x y, 0),  是否是线性变换? 例 5 下列变换： 1 :(a1 , a2 , …, an ) → (a1 , 0, 0, …, 0); 2 :(a1 , a2 , …, an ) → (a1 , a2 , a3 , …, an−1 , 0); 3 :(a1 , a2 , …, an ) → k(a1 , a2 , a3 , …, an ); 4 :(a1 , a2 , …, an ) → ( , , , ). 1 1 2 1  1   = = = n j nj j n j j j j n j b ja b a  b a 其中(a1 , a2 , …, an ) 是任一 n 维向量，bij 为取定实数 i, j=1, …, n, 则 1 , 2 , 3 , 4 都是 Rn 的线性变换. 第六章 线性变换 上一页 解答

51线性变换的概念 二、线性变换的性质 (1)a(0)=0,a( (a) (2)G(k1a1+k2a2+…+k,a)=k1o(a1)+k2o(a2)+…+ko(a) (3)若a1,a2,a线性相关,则a(a1),a(a2),,a(a,)也线性相关 ‖第六章线变换

二、线性变换的性质 (1)  ( 0 ) = 0,  ( −  ) = − ( ). (2) ( ) 1 1 2 2 s s  kα + kα ++ kα ( ) ( ) ( ); 1 1 2 2 s s = k  α + k  α ++ k  α (3) 若1 , 2 , …, s 线性相关，则  (1 ),  ( 2 ), …,  ( s )也线性相关. §1 线性变换的概念 第六章 线性变换

线性变换的矩 O每原的坐标变换公 O三、用一线变换在不届藻下的繩 BACK

一、线性变换的矩阵 二、象与原象的坐标变换公式 三、同一线性变换在不同基下的矩阵

§2线性变换和矩阵 、线性变换的矩阵 设T是一个n维向量空间,a1,a2,,.axn是V的一组基对于V的一个线性 变换σ,G(a1),o(a2),,o(a)是V中的n个向量,它们能由V的基线性表出 设 o(a1=ana+ a2la2+.ana o(a2)=a12a1+a22C2+…an2an, o(an=anata (a(a1),a(a2)…,a(an)=(a1,a2…,an)|a1a2…a2 ‖第六章线哄变换

§2 线性变换和矩阵 一、线性变换的矩阵 设 V 是一个 n 维向量空间, 1 , 2 , …, n 是 V 的一组基. 对于 V 的一个线性 变换，  (1 ),  (2 ), …,  (n )是 V 中的 n 个向量，它们能由 V 的基线性表出. (1)  (1 ) = a111+ a212 + … an1n ,  (2 ) = a121+ a222 + … an2n , ……………  (n ) = a1n1+ a2n2 + … annn , = ( 1 ,  2 , …,  n ( (1 ),  (2 ), …,  (n )) )               n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 A 设 第六章 线性变换

(G(a1),(a2),…,(an))=(a1,a2,…,an)4 称矩阵A为线性变换σ在基a1,a2,…,an下的矩阵 o(a1,a2,…,an)=(a(a1),G(a2),…,a(an)) 则有a(a1,a2,…,axn)=(a1,a2,…,axn)A 因此,取定V的一组基后,对于V的线性变换a有唯一确定的n阶方阵A 与它对应 在给定基下 对应 例1 R中恒等变换/(a)=a在每一组基下的矩阵为n阶单位阵 R中零变换0(a)=0在任意基下的矩阵为零矩阵 例 R中线性变换σ(a)=ka,k∈R.σ在每一组基下的矩阵为数量矩阵kEn 称线性变换a(a)=ka(k∈R)为位似变换 ‖第六章线变换

( (1 ),  (2 ), …,  (n ) ) = (1 , 2 , …, n )A. 称矩阵 A 为线性变换  在基1, 2, …, n 下的矩阵. 记  (1 , 2 , …, n ) = ( (1 ),  (2 ), …,  (n ) ) 则有  (1 , 2 , …, n ) = (1 , 2 , …, n )A 因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性变换  有唯一确定的 n 阶方阵 A 与它对应.  A 在给定基下 一一对应 例 2 例 1 Rn 中恒等变换 I () =  在每一组基下的矩阵为 n 阶单位阵. Rn 中零变换0() = 0 在任意基下的矩阵为零矩阵. Rn 中线性变换  () = k, k R.  在每一组基下的矩阵为数量矩阵 k En . 称线性变换 () = k (k R )为位似变换 . 第六章 线性变换 上一页