龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具,即随机微积分.还要介绍一种最常见的连 续状态连续时间的 Markov过程,称为扩散过程.由于这部分内容涉及较多的数学内容,要 真正表达清楚,测度论与概率基础等工具是必不可少的.这样就大大超出了本书大部分读者 现有的数学基础.因此,在本章中我们并不求给出一般的定义与定理的精确叙述,而是只从 些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓 3.Ito积分一对 Brown运动的积分 对于函数的研究,函数的微积分是其精髓.而对于一个随机过程的函数这样的特殊随机 函数而言,其微积分也具有同样的重要性.函数的微分与积分是一对互逆的运算.对于 初等函数,我们常从其导数入手,进而得到微分与积分:但是对非常复杂的一般函数,积分 却比导数更容易理解与处理,也易于作近似计算.因此,人们也常以积分作为微积分的核 心.在本节中,我们将考虑对 Brown运动的随机积分,作为随机微积分的核心 对 Brown运动的积分与其特殊性 对 Brown运动的积分的特殊性 设在概率空间(,,P)上有 Brown运动{B}(B,=B1()O∈9)及另一个轨道(样 本函数)连续的随机过程Φ=Φ,(O)(回忆起它是依赖于参数的随机变量族,在O固定 时,Φ(o)作为t的函数,即为随机过程Φ,的一个样本函数,或轨道).我们能不能对于 固定的O,定义样本函数Φ()对于 Brown运动的样本函数B,(O)的积分 Φ,()dB(o)为积分和的极限呢?更具体地,如果我们考虑区间[a,b]的一组划分 a=10”<…<1)=b,△n= max-(-1m)→0 J(a)=∑Φ灬()B=2(0)-Bn() 那么能否定义∫Φ,o)B()为mn,Jn(o)呢?如果lmn,J()对每一个o都 存在,那么很自然地,这个极限就该是Φ,对B1的积分,但是不幸的是,一般 lim J() 并不存在,关于这一点,我们将在下面说明 另一方面,如果我们不要求lmnn,Jn(o)对每一个o都存在,而把
343 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具, 即随机微积分. 还要介绍一种最常见的连 续状态连续时间的 Markov 过程, 称为扩散过程. 由于这部分内容涉及较多的数学内容, 要 真正表达清楚，测度论与概率基础等工具是必不可少的. 这样就大大超出了本书大部分读者 现有的数学基础. 因此，在本章中我们并不求给出一般的定义与定理的精确叙述，而是只从 一些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓. 3. Ito 积分 － 对 Brown 运动的积分 对于函数的研究，函数的微积分是其精髓．而对于一个随机过程的函数这样的特殊随机 函数而言, 其微积分也具有同样的重要性. 函数的微分与积分是一对互逆的运算. 对于 初等函数，我们常从其导数入手，进而得到微分与积分；但是对非常复杂的一般函数，积分 却比导数更容易理解与处理，也易于作近似计算. 因此，人们也常以积分作为微积分的核 心. 在本节中, 我们将考虑对 Brown 运动的随机积分, 作为随机微积分的核心. 3. 1 对 Brown 运动的积分与其特殊性 对 Brown 运动的积分的特殊性 设在概率空间(W, F, P) 上有 Brown 运动{ } Bt ( Bt = Bt (w),w Î W )及另一个轨道(样 本函数)连续的随机过程 (w) Ft =Ft D (回忆起它是依赖于参数 t 的随机变量族, 在w 固定 时, (w) Ft 作为 t 的函数, 即为随机过程 Ft 的一个样本函数, 或轨道). 我们能不能对于 固定的 w , 定义样本函数 F (w) t 对 于 Brown 运动的样本函数 (w) Bt 的积分 (w) (w) t t b a F dB ò 为积分和的极限呢 ? 更具体地，如果我们考虑区间[a, b]的一组划分: a t t b n l n n = < < = ( ) ( ) 0 L , max ( ) 0 ( ) ( ) D = 0£ £ -1 +1 - ® D n k n n k l k t t n , 令 ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 1 ( ) 1 0 w w w n w k n k n k n t t t l k J n = F B - B å + - = , (12. 24) 那么能否定义 (w) (w) t t b a F dB ò 为lim (w) n n J ®¥ 呢 ? 如果 lim (w) n n J ®¥ 对每一个ω都 存在，那么很自然地，这个极限就该是Ft 对 Bt 的积分，但是不幸的是，一般lim (w) n n J ®¥ 并不存在, 关于这一点, 我们将在下面说明. 另一方面 , 如果我们不要求 lim (w) n n J ®¥ 对每一个 ω 都存在 ， 而 把
Jn=Jn(ω)O∈Ω视为随机变量,而且把“极限〃的含义要求得弱一些:如果随机过程 Φ;只依赖 Brown运动的过去{B:l≤l},即Φ,为(B,)可知的,则可以证明随机列Jn是 按概率收敛的.Ito就把这个概率收敛的极限随机变量,定义为随机过程Φ,对Brow运动 B,的积分.这就是Ito积分的基本思想即若对于任意E>0有 lm m P(J(o-no)ba)=0, 则我们就定义 Φ,(o)dB,(o)=n(o) 并把它简记为∫aB=n,或更简单地记为∫MB 需要指出:和数Jn在每个小区间(,t(]上,我们需要限定取作为@在此小区 间上的近似,而不能象在普通函数的积分中那样,可以取Φ在此小区间上任意的一点的值为 近似其原因是:这里相应于普通积分中的差分的项是:AB,=B2-B,它们是随机 变量.虽然mn+△AB(O)=0,但是对于不同的ω,它们趋于0的速度很不一致,而粗 略地说,平均地有(△B)2~E(△B()=△1().也就是说,平均地△BC趋于0的速度 为√△rm),它大地慢于M.从而在区间(),门上取不同的点作为中的近似,所得 的近似和之间的差别是不可忽略的 定义(命题)12.44(Ito(随机)积分的定义) 若随机过程Φ,是(B)可知的,且 E|Φ,(o) (12.25) 则对于区间[0,7]的任意一组划分 0 =t(n) =T,△n= max osks 和数 J=∑Φm(B 必然按概率收敛到某个随机变量,则这个极限随机变量就定义为」Φ(O)dB,称为|to积
344 = Î W D J n J n (w),w 视为随机变量, 而且把 ”极限” 的含义要求得弱一些: 如果随机过程 Φt 只依赖 Brown 运动的过去{B : u t} u £ ，即Φt 为( ) Bt 可知的, 则可以证明随机列 n J 是 按概率收敛的. Ito 就把这个概率收敛的极限随机变量, 定义为随机过程Φt 对 Brown 运动 Bt 的积分. 这就是 Ito 积分的基本思想. 即若对于任意e > 0有 lim n®¥ P(| J n (w) -h(w) |> e ) = 0, 则我们就定义 D F = ò (w) (w) t t b a dB η(ω)． 并把它简记为 F = ò t b a (t)dB h , 或更简单地记为 dB b a ò F . 需要指出：和数 n J 在每个小区间( , ] ( ) (n ) k n k t t 上，我们需要限定取Φ (n) k t 作为Φ在此小区 间上的近似，而不能象在普通函数的积分中那样, 可以取Φ在此小区间上任意的一点的值为 近似. 其原因是：这里相应于普通积分中的差分的项是: ( ) ( ) 1 ( ) n k n k n k t t t DB = B - B + , 它们是随机 变量. 虽然lim ( ) 0 ( ) ®¥ D w = n n Bk ，但是对于不同的ω，它们趋于 0 的速度很不一致，而粗 略地说, 平均地有 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ~ ( ) n k n k n k DB E DB = Dt . 也就是说，平均地ΔB (n) k 趋于 0 的速度 为 (n ) k Dt , 它大大地慢于 (n ) k Dt . 从而在区间 ( , ] ( ) (n ) k n k t t 上取不同的点作为Φ的近似, 所得 的近似和之间的差别是不可忽略的. 定义（命题）１２.４４ （Ito(随机)积分的定义） 若随机过程Ft 是( ) Bt 可知的, 且 ò E Ft dt < ¥ T 2 0 | (w)| , (12. 25) 则对于区间[0,T ]的任意一组划分: t t T n l n n = < < = ( ) ( ) 0 0 L , max ( ) 0 ( ) ( ) D = 0£ £ -1 +1 - ® D n k n n k l k t t n , 和数 = åF - + ( ( ) ( ) ) 1 ( ) n k n k n k n t t t J B B 必然按概率收敛到某个随机变量, 则这个极限随机变量就定义为 t T (t)dB 0 ò F , 称为 Ito 积
分. 例12.45我们有 b dB B 这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处,是这里多了-t.下面我们来推导这一结 论,记AB=B-Bm),则 Jn=∑Bn(B2-Bn) 1∑12fnB2-2B12]=∑MBn)2-(△B) B2-∑(△Bn)2=B2-ln 而由 Brown运动的性质,我们有 E E(△B)=3(△")2 E(n-)2=∑E(AB)-△=∑EABn)-(△M) ∑(△)s△∑M"=2△,→0,(m 这说明 E|Jn-(B2-)12→0 用 Chebyshev不等式,便得J概率收敛到(B2-1) [注]以上论证实际上证明了以下的命题 命题12.46 ∑(△B)2-1|2→0 类似的推理可以证明下面的命题. 命题12.46 E∑f(BmM△B)2-f(B,)h→0 [注]如果我们在例12.45的积分和中,用B代替BA。,并记 Hn=∑ B.△B 那么 345
345 分. 例１２．４５ 我们有 B dB B t s s t t 2 1 2 1 2 0 = - ò . 这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处，是这里多了 t 2 1 . 下面我们来推导这一结 论. 记 ( ) ( ) 1 ( ) n k n k n k t t t DB = B - B + , 则 = å - + k t t t n n k n k n k J B (B ( ) B ( ) ) 1 ( ) = å - + k t t t n k n k n k [2B B 2B ] 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) = å D - D k t t n k n k [ (B ) ( B ) ] 2 1 2 2 ( ) ( ) = 2 2 ( ) 2 1 2 1 - å D ( ) k t t n k B B t n = B - I D 2 2 1 . 而由 Brown 运动的性质, 我们有 2 t EI n = , 4 ( ) 2 ( ( ) ) 3( ) n t k E B n t k D = D , 2 2 ( ) 2 [( ) ] 4 1 ) 2 ( ( ) n k t k n E B t t E I n k - = å D - D [( ) ( ) ] 4 1 4 ( ) 2 ( ) n k t k E B n t k = å D - D ( ) 2 ( ) 2 1 n k k = å Dt £ D åD = D ® k n n n k T t 0 2 2 1 ( ) , (n ® ¥) . 这说明 ) | 0 2 2 1 | ( - 2 - 2® t E J n Bt . 用 Chebyshev 不等式, 便得 n J 概率收敛到 ( ) 2 1 2 B t t - . [注] 以上论证实际上证明了以下的命题: 命题１２．４６ | ( ) | 0 2 2 E å DB ( ) - t ® k t n k . 类似的推理可以证明下面的命题. 命题１２.４６＇ | ( )( ) ( ) | 0 2 0 2 E å f B ( ) DB ( ) - ò f Bt dt ® T k t t n k n k . ［注］ 如果我们在例 12.45 的积分和中, 用 ( ) 1 n k t B + 代替 (n) k t B . 并记 =å D + k t t n n k n k H B ( ) B ( ) 1 . 那么
∑(2B ∑[AB2)+(△B)2]=+∑(△B) 于是有 E|Hn-(B2+)2→0 用 Chebyshev不等式,立得Hn按概率收敛到(B2+1) 特别地,我们有 B.+ ∑ B2|2 [注](B)可知的随机过程Φ,的可积条件(12.25)还可以减弱 定义12.47( Stratonovich(随机)积分)若∫为连续可微函数,则 f(Bm)+f(Ba) △Ba 的概率极限,称为 Stratonovich积分,记为∫f(B,)odB,又若5是一个(B,)可知 的连续随机过程,那么,类似地定义」f(5)odB 用与上面类似的推理,可以得到 Stratonovich积分与Ito积分的如下关系: 了(B)B=(8,AB+」(B (12.26) 但是f(,)20MB+2厂(地,在2段中,我们将给出其正确的 形式) 例12.48 B.。dB=-B2 例12.49如果函数∫有原函数F,则用积分和可以直接验证 I f(B,odB,=F(B,)-F(Bo) 346
346 å + + = - k t t t n n k n k n k H (2B 2B B ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 = å D + D = +å D + k t n k t t n k n k n k B B J B 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 . 于是有 ) | 0 2 2 1 | ( - 2 + 2® t E Hn Bt . 用 Chebyshev 不等式, 立得Hn 按概率收敛到 ( ) 2 1 2 B t t + . 特别地, 我们有 å D + + k t t t n k n k n k B B B E ( ) ( ) 1 ( ) 2 | | 0 2 - 1 Bt 2 2® . [注] ( ) Bt 可知的随机过程Ft 的可积条件(12. 25)还可以减弱. 定义１２.４７ （Stratonovich(随机)积分） 若 f 为连续可微函数, 则 å D + + k t t t n k n k n k B f B f B ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 的概率极限, 称为 Stratonowich 积分, 记为 t t T f (B )o dB 0 ò . 又若 t x 是一个 (Bt ) - 可知 的连续随机过程, 那么, 类似地定义 t t T f ( )o dB 0 x ò . 用与上面类似的推理，可以得到 Stratonowich 积分与 Ito 积分的如下关系: s s t f (B )o dB 0 ò 2 1 ( ) 0 = + ò s s t f B dB f B ds s t '( ) 0 ò . (12. 26) (但是 s s t f ( )o dB 0 x ò 2 1 ( ) 0 ¹ + ò s s t f x dB f ds s t '( ) 0 x ò , 在3.2段中, 我们将给出其正确的 形式). 例１２．４８ 2 0 2 1 t t t t B dB = B ò o . 例１２．４９ 如果函数 f 有原函数 F , 则用积分和可以直接验证 ( ) ( ) ( ) 0 0 f Bt dBt F Bt F B t = - ò o
这个结果与普通微积分中的结果是一致的,而Ito积分就没有这样简单的形式.这是 Stratonovich积分的优点.但是Ito-随机积分在计算中有其更为方便的优点,它便于利用 鞅论作理论推导的工具.所以在很多情况下,数学家更喜欢使用Ito积分,而物理学家则更 喜欢 Stratonovich积分. Ito积分有下面的一些基本性质: (1)线性性质 (+v)dB=ΦdB+|vdB, (c)dB=cΦdB. (对于一个只依赖于Bn:u≤a的随机时间η,也有 b (n①)dB=ndB) (2)可加性:对a<b<C有(对于a<b,定义 op dB opdB) dB (3)对任意(B,)有界停时τ,假定τ≤T,则可以定义 ∫B=」Φ,1 (0. (DdB,, 此外,作为“随机的”积分,它还有性质: (4)零期望性与鞅性:在1变化时,随机过程{中,dB,}是(B)鞅(这是Bowm 运动是鞅的推广),且 (5)协方差与平方可积鞅性质:对任意0≤u<t有 E(中,dB.里4)=E∫中里,d)(这是Bm运动平方可积鞅的推广) 从而随机过程(中,dB,)2-「d也是(B)鞅 347
347 这个结果与普通微积分中的结果是一致的, 而 Ito 积分就没有这样简单的形式. 这是 Stratonowich 积分的优点. 但是 Ito-随机积分在计算中有其更为方便的优点, 它便于利用 鞅论作理论推导的工具. 所以在很多情况下，数学家更喜欢使用 Ito 积分，而物理学家则更 喜欢 Stratonovich 积分． Ito 积分有下面的一些基本性质： (1) 线性性质 ò t 0 (Φ＋Ψ)dB = ò t 0 ΦdB＋ ò t 0 ΨdB, ò t 0 ( c Φ)dB = c ò t 0 ΦdB. ( 对于一个只依赖于{B u :u≤a}的随机时间h , 也有 ò b a (h Φ)dB = h ò b a ΦdB)． (2) 可加性：对a < b < c有（对于a < b, 定义 ò b a ΦdB = ò b 0 ΦdB - ò a 0 ΦdB） ò c a ΦdB = ò b a ΦdB + ò c b ΦdB. （３）对任意( ) Bt 有界停时τ, 假定t £ T , 则可以定义 t t T dB I(0, ] (t)dB 0 0 t t ò F = ò F D . 此外, 作为“随机的”积分，它还有性质： （４）零期望性与鞅性: 在t 变化时, 随机过程{ } 0 s s t F dB ò 是( ) Bt 鞅 （这是 Brown 运动是鞅的推广），且 ( ) 0 0 F = ò s s t E dB . （５）协方差与平方可积鞅性质: 对任意0 £ u < t 有 ( ) ( ) ò F ò Y = òF Y t u s s s t u s s t u E dB ds E ds （这是 Brown 运动平方可积鞅的推广）， 从而随机过程( ) } 2 0 2 0 dB ds s t s s t ò F - ò F 也是( ) Bt 鞅
((1),(2),(3)直接得自定义.对(4)我们给出直观证明如下:让我们简单地使用记号 ={Bn:l≤t} 对于S<1,由随机过程Φ,是(B,)可知的,故 E(∫dB1|,)=∫,dB 再则,对于s≤l<lk+,我们有 E(AB4|2)=E[E(④4AB4|n),]=E,E(△B4|n) 对于k求和,再取极限便得 E{中dBn|,)=0 合起来就是 E(∫dB2,)=∫dB 这就直观地证明了(4).而这里的直观证明是利用了线性性质, Brown运动的性质,条件期望的性质,最 后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换.类似的考虑,可以得到(5)的直观证明.而性质(4)(5) 的严格证明要涉及测度论的许多知识,本书从略 (6)令 ∫nB.-J∫4 则M是(B1)鞅,称为to积分的指数鞅,它是 Brown运动的指数鞅的自然推广,我们将在下一段中用 Ito公式证明它 需要特别强调的是,性质(4)与(5)是使Ito积分比 Stratonovich积分更易于用 于随机分析的理论推导的原因. 3.2Ito公式一随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式 在普通函数微积分中,复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本 的公式.而在随机微积分中,我们也有一个对应的公式,虽然它比微积分中的公式复杂,但 是通过它仍然可以如在微积分中那样,把Ito积分方便地应用到许多问题中去 定义12.50(Ito过程) 设 5,=x+Φ,dB,+]平ds, 其中随机过程Φ2,出都是(B,)可知的,且对任意固定的o,都是t的连续函数,满足 348
348 （（１），（２），（３）直接得自定义. 对（４）我们给出直观证明如下: 让我们简单地使用记号 F t {B :u t} = u £ D . 对于 s < t , 由随机过程Ft 是( ) Bt 可知的, 故 { | 0 u u s E F dB ò F ) s u u s = F dB ò 0 . 再则, 对于 £ k < k+1 s t t , 我们有 ( | k k E Ft DBt F ) s [ ( | k k = E E Ft DBt F ) | k t F ] s [ ( | k k = E Ft E DBt F ) | k t F s ] = 0 . 对于k 求和, 再取极限便得 { | u u t s E F dB ò F s ) = 0. 合起来就是 { | 0 u u t E F dB ò F ) s u u s = F dB ò 0 . 这就直观地证明了（４）. 而这里的直观证明是利用了线性性质， Brown 运动的性质, 条件期望的性质, 最 后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换. 类似的考虑, 可以得到（5）的直观证明.而性质（４），（５） 的严格证明要涉及测度论的许多知识，本书从略. * （６） 令 dB ds t s t s s t M e 2 0 0 2 1 F - F ò ò = , (12. 27) 则 Mt 是( ) Bt 鞅, 称为 Ito 积分的指数鞅. 它是 Brown 运动的指数鞅的自然推广, 我们将在下一段中用 Ito 公式证明它. 需要特别强调的是, 性质（４）与（５）是使 Ito 积分比 Stratonovich 积分更易于用 于随机分析的理论推导的原因. 3. 2 Ito 公式—随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式 在普通函数微积分中，复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本 的公式． 而在随机微积分中，我们也有一个对应的公式，虽然它比微积分中的公式复杂, 但 是通过它仍然可以如在微积分中那样, 把 Ito 积分方便地应用到许多问题中去. 定义１２.５０ （Ito 过程） 设 x dB ds s t s s t t = + ò F + ò Y 0 0 x , 其中随机过程Ft Yt , 都是( ) Bt 可知的, 且对任意固定的ω，都是t 的连续函数， 满足
Ea ds E|平,|ds<,而」d理解为在O固定后的普通积分,则5称 为lto过程.它也可以记成如下的lto形式微分 + 设5是Ito过程.又二元实函数∫(,x)对x二阶光滑且对t一阶光滑.令n为复合得 到的随机过程n1=f(1,5,),则下面的Ito公式表明7也是一个Ito过程.也就是说, Ito过程对于这种光滑函数的复合运算是封闭的 我们先分析例12.35,它说明了B是一个Ito过程,且d(B2)=B,dB1+dt 于是对于∫(x)=x2,有d(B,)=d(B2)≠BdB1=f(B1)dB1·可见为了得到 d(B),仅用通常的微积分中的一阶展开∫(B,)dB是不够的,必须还补充以 (x)=1x2的Taym展开中的第二项r(B,MB)=(dB)2,它提供了d(4B2)中 的第二项dt.比较后可见有下面的引理 引理12.51 (dB,)2=dt,即dB1=(d) 它说明dB,是(d的)半阶无穷小(dh)2.从而对于Ito过程的复合函数f(t,,),在作微 分(即随机微分)的时候,必须把 Taylor展开应用到二阶 d(,)=f'(51)d,+f"(2,d,)2 (12 这才穷尽了半阶无穷小作出的的贡献.例12.35的结论可以一般化为下面的定理 定理12.2(lto公式,随机微分公式) 设5为Ito过程,即d1=Φ,dB+Hd.二元实函数∫(1,x)对x二阶光滑且对t 一阶光滑.那么,n=∫(t,5)也是Ito过程,而且有 dn,=d(151)+d2f(t,l,)=f'(t,5,)dm+fx(t,5,)d,+f"(td5)2 (f+f1+Φfx")d+fxΦ,dB, 其中 (ds)'=(, dB,+p, do)=d: dr (12.31) (理解与证明Io公式的核心是:(dB,)2=d,即dB1=(an)2,在严格的论证中它实际上
349 ò F < ¥ ¥ E ds s 2 0 , ò Y < ¥ ¥ E ds s | | 0 , 而 ds s t ò Y 0 理解为在w 固定后的普通积分, 则 t x 称 为 Ito 过程. 它也可以记成如下的 Ito 形式微分 d dB ds t = Fs s + Ys x . 设 t x 是 Ito 过程. 又二元实函数 f (t, x) 对 x 二阶光滑且对t 一阶光滑. 令ht 为复合得 到的随机过程 ( , ) t t h = f t x , 则下面的 Ito 公式表明ht 也是一个 Ito 过程. 也就是说, Ito 过程对于这种光滑函数的复合运算是封闭的. 我们先分析例 12.35， 它说明了 2 2 1 Bt 是一个 Ito 过程, 且 d B B dB dt t ) = t t + 2 1 ( 2 . 于是对于 2 2 1 f (x) = x , 有 t t t t t t df B d B ) B dB f '(B )dB 2 1 ( ) ( 2 = ¹ = . 可见为了得到 ( ) df Bt , 仅用通常的 微 积分中的一阶展开 Bt dBt f '( ) 是不够的 , 必须还 补充 以 2 2 1 f (x) = x 的 Taylor 展开中的第二项 2 ' '( )( ) 2 1 t t f B dB 2 ( ) t = dB , 它提供了 ) 2 1 ( 2 Bt d 中 的第二项 dt . 比较后可见有下面的引理. 引理１２.５１ dB dt t = 2 ( ) , 即 2 1 dB (dt) t = . (12. 28) 它说明dBt 是( dt 的)半阶无穷小 2 1 (dt) ． 从而对于 Ito 过程的复合函数 ( , ) t f t x , 在作微 分(即随机微分)的时候, 必须把 Taylor 展开应用到二阶: 2 ''( )( ) 2 1 ( ) '( ) t t t t t df x = f x dx + f x dx , (12. 29) 这才穷尽了半阶无穷小作出的的贡献. 例１２．３５的结论可以一般化为下面的定理. 定理 12.2（Ito 公式，随机微分公式） 设 t x 为 Ito 过程, 即 d dB dt t = Ft t + Yt x . 二元实函数 f (t, x) 对 x 二阶光滑且对t 一阶光滑. 那么, ht ( , ) t = f t x 也是 Ito 过程, 而且有 ( , ) 2 1 ( , ) 2 t t t dh = df t x + d f t x 2 ''( , )( ) 2 1 '( , ) '( , ) t t x t t xx t t = f t x dt + f t x dx + f t x dx t x t t xx x t t = f + f Y + F f '')dt + f 'F dB 2 1 ( ' ' 2 , (12. 30) 其中 = 2 ( ) t dx 2 ( dB dt) Ft t + Yt dt t 2 =F D . (12. 31) (理解与证明 Ito 公式的核心是: dB dt t = 2 ( ) , 即 2 1 dB (dt) t = ,在严格的论证中它实际上
将被关系E∑(△B)2-1|2→0所代替) Ito公式实际上就是用 Taylor公式对f(t,5,)作关于dt的一阶近似.它也就给出了 Ito公式的直观推导.而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具,本书中并不必要介 绍 推论12.52设51为Io过程:d1=ΦdB1+里dt.f(x)二阶光滑.那么, f(,)也是Ito过程,而且有 d(,)=d(,)+-d2(,)=f'(51)dl+f"'(5,)d5) (H+=Φ;厂)dt+f,dB (12.32) 注1设5为Ito过程:d5,=Φ,dB,+Hdt.f(x)二阶光滑.那么, f(,)dB.=](,)B.+2」f(s, 注2设,是 stratonovich型o过程5,=x+∫中,dB,+∫里(写成 d5,=Φ,odB2+dt),那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链 法则;即对于三阶可微的函数f(x)有d(1)=f(5,)od 定理12.53(多维Ito公式) 设,=(5,…,5),5、(i≤d)为Ito过程:dl=ΦdB1+甲dh f∫(t,x)为对x二阶光滑且对t一阶光滑.那么,n=∫(t,E,)也是Ito过程,而且有 dn,=d(t,5;)+-d2f(,) =f(M+∑f(,5,0+∑f5dp;) =+∑甲"+∑n"h+∑"B (12.33) 其中 d s(dE(=(dB,+p()((dB, +pods)=podt (12.34) 推论12.54(乘积公式)设5,1都是Ito过程,则 350
350 将被关系 | ( ) | 0 2 2 E å DB ( ) - t ® k t n k 所代替 ) . Ito 公式实际上就是用 Taylor 公式对 ( , ) t f t x 作关于dt 的一阶近似. 它也就给出了 Ito 公式的直观推导. 而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具, 本书中并不必要介 绍. 推论１２．５２ 设 t x 为 Ito 过程: d dB dt t = Ft t + Yt x . f (x) 二阶光滑. 那么, ( ) t f x 也是 Ito 过程, 而且有 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 t t t df x = df x + d f x 2 ' '( )( ) 2 1 '( ) t t t t = f x dx + f x dx t t x t t = f Y + F f ' ')dt + f 'F dB 2 1 ( ' 2 (12. 32) 注 1 设 t x 为 Ito 过程: d dB dt t = Ft t + Yt x . f (x) 二阶光滑. 那么, s s t f ( )o dB 0 x ò 2 1 ( ) 0 = + ò s s t f x dB f ds s s t ò '( )F 0 x 注 2 设 t x 是 Stratonovich 型的 Ito 过程 x dB ds s t s s t t = + ò F + ò Y 0 0 x o （写成 d dB dt t = Ft t + Yt x o ）, 那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链 法则； 即对于三阶可微的函数 f (x) 有 t t d t df (x ) = f '(x )o x . 定理１２．５３ (多维 Ito 公式) 设 ( , , ) (1) (d ) t t t x x L x r = , ,( ) ( ) i d i xt £ 为 Ito 过 程 : d dB dt i t t i t i t ( ) ( ) ( ) x = F + Y . f (t, x) r 为对 x r二阶光滑且对t 一阶光滑. 那么, ht ( , )t f t x r = 也是 Ito 过程, 而且有 ( , ) 2 1 ( , ) 2 t t t dh = df t x + d f t x ''( , )( ) 2 1 '( , ) '( , ) ( ) ( ) , 1 ( ) 1 j t i x x t t d i j i x t t d j f t t t dt f t d f t d d i i j x x x x x x r r å å = = = + + t i x t d i x x j t i t d i j i x t d i f t f f dt f dB i i j i ''] [ ' ] 2 1 [ ' ' ( ) 1 ( ) ( ) , 1 ( ) 1 = +å Y + å F F + å F = = = , (12. 33) 其中 = ( ) ( j) t i t dx dx ( ) ( ) ( ) dB dt i t t i Ft + Y ( ) ( ) ( ) dB dt j t t j Ft + Y dt j t i t ( ) ( ) =F F D . (12. 34) 推论１２．５４ （乘积公式） 设 t ht x , 都是 Ito 过程, 则
d(5n,)=5dm,+n,d51+(d5)dn2) 推论12.55(推广的Ito公式) 设5为Ito过程,g(x)为有界连续函数(显见g(5,)ds也是It过程).又若 ∫(t,x)是对x二阶光滑,且对t一阶光滑的实函数,h(x)一阶连续可微.那么 n,=h(g(5)ds)f(,5,)也是Io过程,而且有 dm,==((g(,)g)+g(,)() 证明用二维过程(5,「g(5,)d)的1to公式) 例12.56设,b是常数,Gaus过程n=e"mo+dje"dB,J,则有 dn, =-bn, dt +odB 证明令5,=m+可Je"dB,则n,=e5,对它用Ito公式便得到 dn, =e- ds, -be-s,dt =odB, -bn,dt [注]这里n,满足一个随机微分方程.(由它的定义还知道它是一个 Gauss马氏过程, 可以证明它就是参数为β=b,γ=,的oU过程.)这个随机微分方程最早出现于理论物 理中,称为 Langen in方程 例12.57设Φ,是有界的(即存在M>0,使得对于任意(1,O)有 Φ、(o)kM),且为(B,)可知的随机过程.又 Z=e",5=」ΦdB Φ2ds 那么,由Ito公式推出 dz =des =estd +es(dE,)
351 ( ) ( )( ) d t t td t td t d t dht x h = x h +h x + x . (12. 35) 推论１２. ５５ (推广的 Ito 公式) 设 t x 为 Ito 过程, g (x) 为有界连续函数（显见 g ds s t ( ) 0 x ò 也是 Ito 过程）. 又若 f (t, x) 是对 x 二阶光滑，且对 t 一阶光滑的实函数, h(x) 一阶连续可微. 那么, ht ( ( ) ) ( , ) 0 s t t h g x ds f t x ò = 也是 Ito 过程, 而且有 dht = = + ò f t h g ds g dt s t t t ( , ) '( ( ) ) ( ) 0 x x x ( ( ) ) ( , ) 0 s t t h g x ds df t x ò . (证明 用二维过程( , ( ) ) 0 g ds s t t x x ò 的 Ito 公式). 例１２．５６ 设s , b是常数，Gauss 过程 ò = + - t s bt bs t e e dB 0 0 h [h s ], 则有 dht = -bhtdt +sdBt . 证明 令 ò = + t s bs t e dB 0 x h0 s , 则 t bt t h e x - = . 对它用 Ito 公式便得到 d e d be dt t bt t bt t h x x - - = - dB b dt = s t - ht [注] 这里ht 满足一个随机微分方程.(由它的定义还知道它是一个 Gauss 马氏过程, 可以证明它就是参数为 b b 2 , 2 s b = g = 的 OU 过程.) 这个随机微分方程最早出现于理论物 理中，称为 Langevin 方程. 例 １２． ５７ 设 Ft 是有界的 （ 即存在 M > 0 ，使得对于任意 (t,w) 有 | Ft (w) |£ M ），且为( ) Bt 可知的随机过程. 又 Z e dB ds s t s s t t t t 2 0 0 2 1 = ,x = ò F - ò F x . 那么, 由 Ito 公式推出 2 ( ) 2 1 t t t dZ de e d e d t t t x x x x x = = +
e5(ddB1-Φ2d)+esΦ2d=ZΦ,dB 可见Z是随机微分方程 dZ=ZΦdB 满足初始条件 的解.事实上由下面的定理12.59知道此解是唯一的.又由于Z1作为Ito过程只含对 Brown 运动的随机积分项,由Ito积分的性质(4)得到Z1是(B;)鞅.这就顺便地证明了Ito积分 的指数鞅性质 例12.58(描述证券的 Black- Scholes模型) Black- Scholes用如下的随机微分方程(称为 Black- Scholes随机微分方程) ds, 5,(bdt +odB 的解ξ来描述证券价格的随机模型,其中bd+oB称为随机的收益变化率,常数b称为 平均收益率( Yield),常数σ称为波动率( olati ity).这个方程与例12.57中的 方程非常类似.我们容易用Ito公式直接验证 是Back- Scholes随机微分方程的解.当50=1时,这个解就是几何 Brown运动 从本章第4节中的定理,我们可以知道,在初始值ξ。给定的条件下,例1 例12.57与例12.58三个例子中的解,都是唯一的 Ito公式成立的范围可以更广,但是需要用测度论的语言.我们这里只能就特殊的情 况,把Ito公式的核心内容介绍给读者,使读者能领略随机微积分的概要.要完全地,严 格地懂得与掌握随机微积分,读者必须先掌握基本的测度论知识与方法. 4.随机微分方程与扩散过程简介 4.1随机微分方程 在例12.56与例12.57中,我们已经给出了两个特殊的随机微分方程 ,=-bn+odB1与dZ1=ZΦ,dB,,本段将介绍较为一般的随机微分方程 随机微分方程也称随机积分方程,是表达相当广的一类连续时间、连续状态的 Markoⅴ 过程的一个重要而方便的工具.随机微分方程的一般形式为 d51=b(t,5,d+o(t,51)dB (12.36) 它应该理解为其积分形式
352 t t t t t t t e dB dt e dt Z dB = t F - F + t F = F 2 2 2 1 ) 2 1 ( x x . 可见 Zt 是随机微分方程 dZt = ZtFtdBt 满足初始条件 Z0 = 1 的解. 事实上由下面的定理12.59知道此解是唯一的. 又由于 Zt 作为Ito过程只含对Brown 运动的随机积分项, 由 Ito 积分的性质(４)得到 Zt 是( ) Bt 鞅. 这就顺便地证明了 Ito 积分 的指数鞅性质. 例１２．５８ (描述证券的 Black-Scholes 模型) Black-Scholes 用如下的随机微分方程(称为 Black-Scholes 随机微分方程) ( ) d t t bdt sdBt x = x + 的解 t x 来描述证券价格的随机模型, 其中 bdt +sdBt 称为随机的收益变化率, 常数b 称为 平均收益率（Yield）, 常数s 称为波动率(Volatility). 这个方程与例１２．５７中的 方程非常类似. 我们容易用 Ito 公式直接验证 t b t B t e s s x x D - + = ) 2 ( 0 2 是 Black-Scholes 随机微分方程的解. 当x0 = 1时, 这个解就是几何 Brown 运动. 从本章第 4 节中的定理, 我们可以知道, 在初始值 0 x 给定的条件下, 例１２．５６， 例１２.５７与例１２．５８三个例子中的解, 都是唯一的. Ito 公式成立的范围可以更广，但是需要用测度论的语言. 我们这里只能就特殊的情 况，把 Ito 公式的核心内容介绍给读者， 使读者能领略随机微积分的概要. 要完全地，严 格地懂得与掌握随机微积分，读者必须先掌握基本的测度论知识与方法. 4. 随机微分方程与扩散过程简介 4. 1 随机微分方程 在例１２．５６与例１２．５７中, 我们已经给出了两个特殊的随机微分方程： dht = -bht +sdBt 与 dZt = ZtFtdBt . 本段将介绍较为一般的随机微分方程. 随机微分方程也称随机积分方程, 是表达相当广的一类连续时间、连续状态的 Markov 过程的一个重要而方便的工具. 随机微分方程的一般形式为 t t t dBt dx = b(t,x )dt +s(t,x ) . (12. 36) 它应该理解为其积分形式