龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第17章 Poisson随机分析简介与典型的点过程 1.非时齐的 Poisson过程与非时齐的复合 Poisson过程与特征泛函 1.1数值函数对 Poisson过程的积分 定义17.1设N是一个强度为的 Poisson过程,对应的更新流为{n}, Tn=tn-rn1~Exp2.定义[0,∞)上的函数f(1)关于N,的积分为 ∫(s)dN ∑fr,)(N,≥D) (17.1) (N1=0) 在t给定时,它是一个随机变量其含义为∫(s)在到时刻t为止的指数流上的函数值之和 如果把∫(s)看成在时刻s发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻t为止,由指数流描 述的事故流所付出的总代价.由定义显见有1dN,=N 1.2 Poisson过程的特征泛函 定义172对于 Poisson过程N,及定义在[Q,刀]上的函数f(),我们把f(s)N的 特征函数在1处的值记为Φ(f),即 于是对于给定一个函数∫,就有一个数Φ(∫)与之对应,这种从函数∫到(的映射称 为泛函,又因为此泛函是通过 Poisson过程的积分生成的,所以称为 Poisson过程的特征泛 例17.3当f(s)≡9·lon(s)时, Poisson过程的特征泛函就简化为 Poisson过程在时 刻的特征函数Ee…,而当f()=91loan()+92:l()时,特征泛函就简化为 Poisson过程在时刻1与时刻t2的联合特征函数Ee+M 设1<l2≤T.那么利用 Poisson过程的独立增量性与时齐性,对于
449 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 17 章 Poisson 随机分析简介与典型的点过程 1. 非时齐的 Poisson 过程与非时齐的复合 Poisson 过程与特征泛函 １．１ 数值函数对 Poisson 过程的积分 定义 17. 1 设Nt 是一个强度为l 的 Poisson 过程, 对应的更新流为{ }n t , l Tn = t n - t n-1 ~ Exp ． 定义[0,¥) 上的函数 f (t) 关于 Nt 的积分为 ï î ï í ì = ³ = å ò = 0 ( 0) ( ) ( 1)) ( ) 1 0 t n t N n s t N f N f s dN t t . (17. 1) 在t 给定时, 它是一个随机变量, 其含义为 f (s) 在到时刻t 为止的指数流上的函数值之和． 如果把 f (s) 看成在时刻 s 发生事故的代价, 那么这个积分就表示到时刻t 为止, 由指数流描 述的事故流所付出的总代价．由定义显见有 s t t ò １dN = N 0 ． １．２ Poisson 过程的特征泛函 定义 17.2 对于 Poisson 过程Nt 及定义在[0,T ]上的函数 f (t) , 我们把 s T f (s)dN 0 ò 的 特征函数在 1 处的值记为 ( f ) FN ，即 s T i f s dN N ( f Ee ( ) 0 ) ò F = ． 于是对于给定一个函数 f , 就有一个数 ( f ) FN 与之对应, 这种从函数 f 到F( f ) 的映射称 为泛函, 又因为此泛函是通过 Poisson 过程的积分生成的, 所以称为 Poisson 过程的特征泛 函． 例 17． 3 当 ( ) ( ) [0, ] f s I s t º J × 时, Poisson 过程的特征泛函就简化为 Poisson 过程在时 刻t 的特征函数 Nt i Ee q × ． 而当 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 (0 ] 1 2 f t I t I t t t ºJ × +J × 时, 特征泛函就简化为 Poisson 过程在时刻 1 t 与时刻 2 t 的联合特征函数 ( ) 2 2 1 1 Nt Nt i Ee q × +J ． 设t 1 < t 2 £ T . 那么利用 Poisson 过程的独立增量性与时齐性, 对于
f(1)=91·lon1(1)+92·o1(D),我们得到 d(=c(91·lp.1+92 再复杂一些对于0=10<1<…<≤T,及f()=∑cL,1(t),我们类似地可以 得到 这个公式对于任意连续函数,甚至更为一般的函数,可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确.于是我们得到如下的定理 定理17.4 Poisson过程的特征泛函的表达公式为 此定理是 Poisson随机变量的特征函数的自然推广 1.3非时齐 Poisson过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson过程N,它是非时齐的独立增量过程.它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数λ,而是一个依赖于时间的函数A(1),称 为非时齐的 Poisson过程的强度函数.即对于s<t,随机增量N1-N,服从参数为 λ(un)dlu的 Poisson分布.据此可以通过 Poisson分布,对非时齐的 Poisson过程作随机模 设N是一个强度为(1)的非时齐的 Poisson过程它是一种记录”事故”的计数过程 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为0=o<1<…<n<…它们间仍 由等式 {N≥n}={rn≤l 相联系.与时齐的 Poisson过程相比,{rn}不再是更新流(稍后将证明它是 Markov 定理17.5前n个发生时刻(r1…,rn)的联合分布密度gn(3,Sn)的表达式
450 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 ( , ] 1 1 2 f t I t I t t t t =J × +J × , 我们得到 F( f) = ( 1 × [0, ] + 2 × ( , ] ) = 1 1 2 t t t F J I J I ( ( ) 2 1 2 1 1 Nt Nt Nt i Ee q × +q - 2 2 2 1 1 t Nt t i N i Ee Ee - × = q q ( 1) 1 1 - = J l i t e e ( )( 1) 2 2 - 1 - J l i t t e e ` e dt t t t t I t I 1 i[ T e ( 1) ( )] ] 2 , 1 2 ( ( ) ] 1 [ 0 , 0 - + ò = q q l e dt if t T e ( 1) ( ) 0 - ò = l . 再复杂一些, 对于0 = t 0 < t 1 <L < t n £ T , 及 ( ) ( ) ( , ] 1 0 1 f t c I t k k k t t n k å + - = = , 我们类似地可以 得到 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l ． 这个公式对于任意连续函数, 甚至更为一般的函数, 可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确. 于是我们得到如下的定理. 定理 17. 4 Poisson 过程的特征泛函的表达公式为 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l . (17. 2) 此定理是 Poisson 随机变量的特征函数的自然推广. １．３ 非时齐 Poisson 过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson 过程Nt , 它是非时齐的独立增量过程．它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数l , 而是一个依赖于时间的函数l(t) , 称 为非时齐的 Poisson 过程的强度函数．即对于s < t , 随机增量Nt - Ns 服从参数为 u du t s l( ) ò 的 Poisson 分布．据此可以通过 Poisson 分布, 对非时齐的 Poisson 过程作随机模 拟． 设 Nt 是一个强度为l(t) 的非时齐的 Poisson 过程, 它是一种记录 ”事故” 的计数过程, 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为 0 = t 0 < t 1 < L < t n < L. 它们间仍 由等式 {N n} { t} t ³ = t n £ 相联系．与时齐的 Poisson 过程相比，{ }n t 不再是更新流 (稍后将证明它是 Markov 链)． 定理 17. ５ 前n 个发生时刻( , , ) 1 n t L t 的联合分布密度 ( , , ) 1 , , 1 n g s s t L t n L 的表达式 为
-∫(a)d 证明仿照时齐的 Poisson过程的情形便得 推论17.6发生时刻列{τn}是状态连续的非时齐的 Markov链. 证明在已知(τ1,…,Tn)=(S1…,Sn)的条件下,随机变量rn4的条件分布密度为 a(u)du a(s,ve 它只与τn的取值Sn有关 推论17.7在已知(τ1…,n)=(S1…,Sn)的条件下,第n+1个随机间隔 Tn1=rn+1-rn的条件分布密度为 g (|s13…,Sn)=λ(sn1) 定理17.8时刻t时的计数N与发生时刻的联合分布(注意这是混合型的随机向量) P(N1=n,r1≤S1,…,τn≤Sn)关于(s1…,Sn)的密度(称为 Poisson过程的样本分布)为 P,a…xs.(n,S,…,Sn)=[4(s1)…1(Sn)ns.<,m0+lmle·(17.5) 证明利用条件概率 P(N =nT ,Tn=Sn)=P(N1-N,=0) 及定理17.5即得 非时齐的 Poisson过程的时齐随机分流定理仍然成立即如果将强度函数为A(1)的非时 齐的 Poisson过程N的发生的各个事故以概率p和1-p与N独立地分别归入第1类和第 2类,那么,第1类发生时刻列是一个强度函数为p(1)的非时齐 Poisson过程N的事件发 生时刻列 同样,非时齐的 Poisson过程的非时齐分流定理也是成立的 定理17.9设n12…,nn是独立同分布的随机变量,其分布密度为
451 {0 } ( ) , , 1 1 1 0 1 ( , , ) ( ) ( ) n n s n s s u du n n g s s s s e I £ = ．（１７．５） 证明 利用条件概率 ( | , , ) t 1 1 n n P N = n t = s L t = s u du t s t n s n P N N e ( ) ( 0) l ò = - = = - 及定理 17. ５ 即得． 】 非时齐的 Poisson 过程的时齐随机分流定理仍然成立, 即如果将强度函数为l(t) 的非时 齐的 Poisson 过程Nt 的发生的各个事故以概率 p 和1- p 与 Nt 独立地分别归入第 1 类和第 2 类, 那么, 第 1 类发生时刻列是一个强度函数为 pl(t) 的非时齐 Poisson 过程 (1) Nt 的事件发 生时刻列． 同样, 非时齐的 Poisson 过程的非时齐分流定理也是成立的． 定理 17. ９ 设h hn , , 1 L 是独立同分布的随机变量, 其分布密度为
A(1) o=() (17.6) A(u)du 那么,在N=n的条件下,发生时刻(r1…,xn)的条件分布与(n,…,n’)同分布,其中 nh,…nn是n1,…,nn按由小到大排列后的次序随机变量列:n10) 的非时齐的 Poisson过程来建模.它模拟了放射强度的衰变情况.而在核医疗中使用的光脉 冲序列通常用强度为 A(,y,a1,…an,B1…B)=y+∑a,e(ak,B,y>0) 的非时齐的 Poisson过程来模拟并建模,而调幅,调相与调频为∫m的脉冲光源则可以分别 用强度为 λ(1,y,a,B)=y+aB|S(1)|2 a(t,r, a,B)=y+aS(t-B)l a(t, r, a,B, m)=y+a(1+ mcos[2T( +B)r]( mk1) 的非时齐的 Poisson过程模拟 1.4数值函数对非时齐 Poisson过程的积分及非时齐的 Poisson过程的特征泛函 我们仍可以定义[O∞)上的数值函数f()关于非时齐 Poisson过程N,的积分为 f(rn)(N≥1) (17.7) (N1=0) 同样,在t给定时它是一个随机变量.如果把∫(s)看成在时刻S发生事故所付出的代价,那 么这个随机积分仍表达到时刻t为止,由此非时齐的 Poisson过程所描述的事故流所付出的 总代价 定义17.11非时齐的 Poisson过程的特征泛函仍定义为
452 ( ) ( ) ) [0, ) 0 I t u du (t t ¥ ò l l ． （１７．６） 那么, 在Nt = n的条件下, 发生时刻( , , ) 1 n t L t 的条件分布与 , , ) * * 1 n (h L h 同分布, 其中 * * 1 , , h L hn 是h hn , , 1 L 按由小到大排列后的次序随机变量列: * * h1 0) - × l a b a a b b t t e 的非时齐的 Poisson 过程来建模．它模拟了放射强度的衰变情况. 而在核医疗中使用的光脉 冲序列通常用强度为 ( , , , , , , , ) , , 0) 1 1 1 = + > - = l g a a b b g å a a b g b k k t i n k n n t e ( L L i 的非时齐的 Poisson 过程来模拟并建模. 而调幅, 调相与调频为 m f 的脉冲光源则可以分别 用强度为 2 l(t,g ,a, b ) = g +ab | S(t) | , 2 l(t,g ,a, b ) = g +a | S(t - b ) | 与 (t, , , ,m) = + (1+ mcos[2 ( f + )t]) (| m |< 1) l g a b g a p m b 的非时齐的 Poisson 过程模拟. １．４ 数值函数对非时齐 Poisson 过程的积分及非时齐的 Poisson 过程的特征泛函 我们仍可以定义[0,¥) 上的数值函数 f (t) 关于非时齐 Poisson 过程Nt 的积分为 ï î ï í ì = ³ = å ò = 0 ( 0) ( ) ( 1)) ( ) 1 0 t n t N n s t N f N f s dN t t ． （１７．７） 同样, 在t 给定时它是一个随机变量．如果把 f (s) 看成在时刻 s 发生事故所付出的代价, 那 么这个随机积分仍表达到时刻t 为止, 由此非时齐的 Poisson 过程所描述的事故流所付出的 总代价． 定义 17．１１ 非时齐的 Poisson 过程的特征泛函仍定义为 (f ) F N t T i f t dN Ee ( ) 0 ò = ．
特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广.由 于在s0时 4mMn∑mn,-a InA(u)dN P (17.9) [注]在用例17.10的参数模型建模时,需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数.而使(17.9)取得最大值的参数作为估计,就是最大似然估计 推论17.13 E(/(S)dN, )=/(s)X(s)ds (1 10) Var( f(s)dN,)= f(s)2(s)ds (17.11 证明由定理17.9,利用对称性,我们得到
453 特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广． 由 于在 s 0 时 u t t k Nt k t Nt t u du u du u dN N t n p N e e ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) , , , 1 0 1 0 0 1 ( , , , ) l l t l l t t t t ò ò = ò å = - + - + L = L ． （１７．９） ［注］ 在用例１７.１０的参数模型建模时，需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数．而使（１７．９）取得最大值的参数作为估计，就是最大似然估计． 推论 １７．１３ ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN = f s s ds t ( ) ( ) 0 l ò ， （１７．１０） = ò ( ( ) ) 0 s t Var f s dN f s s ds t ( ) ( ) 2 0 l ò ． （１７．１１） 证明 由定理１７．９, 利用对称性, 我们得到
∑Ef(r)|N,=川]=E∑f(m)=E(∑f(m)=∑E/(m) =nl f(u) (17.12) 于是 E(f(sN,)=∑∑E(r)1M,=nP(N=n 此即(17.10).(17.11)的证明是类似的 注也可以用特征泛函Φx(9·)对9求一阶微商和二阶微商得到 命题17.14(非时齐的 Poisson过程的补偿函数)设N1是以A(1)为强度函数 的非时齐的isom过程,那么N,=N-「(s)d是鞅.A(s)d称为非时齐的 Poisson过程的补偿函数 定义17.15(对非时齐的 Poisson过程的随机积分)对于有界的(N,)可知的 随机过程,用与Ito积分类似地用积分和的极限,可以定义H关于鞅N,的随机积分, 以及关于N,的随机积分: p.dN 中(N,≥1) 关于鞅N的随机积分是Io积分的非时齐的 Poisson版本,而且有 里,Ny=「坐dN,+平,x(s) 关于时齐的 Poisson过程的随机积分有许多与lto积分相仿的性质. 命题17.16鞅Nt的特征泛函为
454 [ ( ) | ] ( ( )) ( ( )) ( ) 1 1 * 1 1 k n k k n k k n k k t n k å E f t N n E å f h E å f h å Ef h = = = = = = = = du s ds u n f u t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = ． （１７．１２） 于是 ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN [ ( ) | ] ( ) 0 1 E f k Nt n P Nt n n n k = å å = = = ¥ = t du s ds u EN f u t t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = = f u u du t ( ) ( ) 0 l ò ． 此即（１７．１０）．（１７．１１）的证明是类似的. 注 也可以用特征泛函 ( f ) N F J × 对J 求一阶微商和二阶微商得到． 命题１７．１４ （非时齐的 Poisson 过程的补偿函数） 设Nt 是以l(t) 为强度函数 的非时齐的 Poisson 过程，那么N N s ds t t t ( ) 0 ~ l ò = - D 是鞅． s ds t t ( ) 0 l ò D L = 称为非时齐的 Poisson 过程的补偿函数． 定义１７．１５ （对非时齐的 Poisson 过程的随机积分） 对于有界的 ) （Nt 可知的 随机过程Yt ，用与 Ito 积分类似地用积分和的极限，可以定义Yt 关于鞅 N t ~ 的随机积分， 以及关于 Nt 的随机积分： ï î ï í ì = Y ³ Y = å ò = 0 ( 0) ( 1)) 1 0 t t N n s s t N N dN n t t ． 关于鞅 N t ~ 的随机积分是 Ito 积分的非时齐的 Poisson 版本, 而且有 dN d N s ds s t s s t s s t ( ) 0 ~ 0 0 Y = Y + Y l ò ò ò 关于时齐的 Poisson 过程的随机积分有许多与 Ito 积分相仿的性质． 命题１７．１６ 鞅N t ~ 的特征泛函为
op ()=ee (17.13) 推论1 7 (1) E(Ns N,) (2)E(N1N2N) A(udu (3) E(N, N N, N,)=a(u)du+Cov(M ) COv(N, N,)+ COv(N,, N,) COv(N, N,) 明取f()=∑9lon1( ()记为o(9,…,94)·求 0q(00.00,),就得到(3).其它类似 [注]对于一般未必可微的递增函数A,,还可以推广定义以A,为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程N:非时齐的独立增量过程,且对于任意S<t,有N1-N,~ Poisson..此时仍有 与(17.8),(17.10),(17.11)与(17.12)相应的结论 1.5非时齐的复合 Poisson过程及其特征泛函 定义17.18设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机 变量序列F,=∑x称为非时齐的复合 Poisson过程{xm}称为赋值随机变量序列(或 标值序列) 可以证明非时齐的复合 Poisson过程是非时齐的独立增量过程 命题17.19非时齐的复合 Poisson过程Y在区间[0,7]上的特征泛函定义为 于是有 Φ1(O=e (17.15) 455
455 i f s d N e if s s ds N if s T s T f Ee e ( ) [ 1 ( )] ( ) ( ) 0 ~ 0 ~ ( ) D - - l ò = ò F = ．（１７．１３） 推论１７．１７ （１） E N N Cov N N u du s t s t ( s t ) ( , ) ( ) 0 ~ ~ l ò Ù = = ． （２） E N N N u du t t t ( t t t ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0 ~ ~ ~ l ò Ù Ù = ． （３） = + ò Ù Ù Ù E N N N N u du t t t t ( t t t t ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 0 ~ ~ ~ ~ l ( , ) 1 2 Cov Nt Nt ( , ) + 3 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 3 + Cov Nt Nt ( , ) + 2 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 4 Cov Nt Nt ( , ) 2 3 Cov Nt Nt ． 证 明 取 ( ) ( ) [0, ] 4 1 f t I t k i t k å J = = ． 将 ~ ( f ) N F 记 为 ( , , ) j J1 L J4 ． 求 (0,0,0,0,) 1 4 4 J J j ¶ ¶ ¶ L ，就得到（３）．其它类似． ［注］ 对于一般未必可微的递增函数 Lt ，还可以推广定义以 Lt 为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程 Nt ： 非时齐的独立增量过程， 且对于任意 s < t ，有 t s N N Poisson t - s ~ L -L ． 此时仍有 与（１７．８），（１７．１０），（１７．１１）与（１７．１２）相应的结论． １．５ 非时齐的复合 Poisson 过程及其特征泛函 定义１７.１８ 设Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机 变量序列． k N k Yt X t å= = 1 称为非时齐的复合 Poisson 过程．{ } X n 称为赋值随机变量序列（或 标值序列）． 可以证明非时齐的复合 Poisson 过程是非时齐的独立增量过程． 命题１７.１９ 非时齐的复合 Poisson 过程Yt 在区间[0,T ]上的特征泛函定义为 t T i f t dY Y f Ee ( ) 0 ( ) ò F = D ． （１７．１４） 于是有 FY ( f ) = f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò , （１７．１５）
其中q(9)是X1的特征函数:p(9)=Ee 证明与(17.12)类似地有 ∑f(mk)Xk =E∏o(f(n) p(f(u)2(u)du] a(udu) 于是由全期望公式得到 ik2∑ Φ,(f)=Ee f(TAX =PNr=0)+∑E(e IN=nP(N= n 「(x)dm a(u)du) f(u)(u)dul a(u)du) (u )du off(u))2(u)di flo((u-1)( 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的,所以命题17.19常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson过程 例17.20(非时齐的广义 Poisson过程) k 如果赋值随机变量具有离散分布Xn~ 则非时齐的复合 Poisson PI 过程称为非时齐的广义 Poisson过程.此时的特征泛函为 T ∑pe)-1)2()d Φy(f)=e (17.16) 2.与非时齐的复合 Poisson过程相系的 Poisson点过程 1将非时齐复合 Poisson过程表为非时齐 Poisson过程的积分(用时间积分表示) 利用对于非时齐的 Poisson过程的随机积分的定义,立得下述命题 命题17.21(非时齐的复合 Poisson过程的非时齐 Poisson积分表示) 设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机变量序列.而
456 其中j(J) 是 X1的特征函数: 1 ( ) i X Ee J j J = . 证明 与（１７．１２）类似地有 [ | ) ( ) 1 E e NT n i f k Xk NT k = å= t k k n k i f X Ee ( ) 1 å h = = [ ( ( )] 1 k n k E Õ j f h = = n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò = ． 于是由全期望公式得到 k k NT k iI k f X Y f Ee ( ) 1 { 1} ( ) å t F = == ³ ( 0) ( | ) ( ) ( ) 1 1 P N E e N n P N n T T i f X n T k k n k = = å = = + = å ¥ = t å ¥ = - + ò = 1 ( ) [1 0 n u du T e l n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò ] ! ( ( ) ) 0 n u du n T l ò u du f u u du T T e e ( ) ( ( )) ( ) 0 0 l j l ò ò = - f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò = ． 】 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的，所以命题１７.１９常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson 过程． 例１７.２０ （非时齐的广义 Poisson 过程） 如果赋值随机变量具有离散分布 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k n p p k X 1 ~ １ ，则非时齐的复合 Poisson 过程称为非时齐的广义 Poisson 过程. 此时的特征泛函为 FY ( f ) = p e u du if u k k k T e [ 1]) ( ) ( ) 1 0 å - l ò ¥ = ． （１７．１６） ２．与非时齐的复合 Poisson 过程相系的 Poisson 点过程 ２．１ 将非时齐复合 Poisson 过程表为非时齐 Poisson 过程的积分（用时间积分表示） 利用对于非时齐的 Poisson 过程的随机积分的定义，立得下述命题. 命题１７．２１ （非时齐的复合 Poisson 过程的非时齐 Poisson 积分表示） 设 Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机变量序列．而
Y=∑X是非时齐的复合 Poisson过程,则它有以下的积分表示式 Y=」xdN (17.17) 其中 0(其它) 于是非时齐的复合 Poisson过程的特征泛函也可以写为 了「x,dN,jo((a)4Da)dm (17.15)′ 2.2将非时齐复合 Poisson过程表为 Poisson点过程的积分(用空间积分表示) 我们先讨论简单的情形.对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson过程X=∑X X 将过程在时刻t以前取值v的累计次数记为 PI Pk N({v)=集合{,=ν:S≤l中的元素个数 (17.18) 对于固定的值v,N({v)可以看成对于非时齐的 Poisson过程N,的分流.由随机分流定 理可知,M({vk}是强度函数为P()的非时齐 Poisson过程 由非时齐的复合 Poisson过程的定义,直观地可以看出,对于v=V,…,Vkp…, N,({v)是一系列相互独立的非时齐的 Poisson过程.而且有 Y=∑v2N(v} (17.19) 又因为 Poisson过程序列{N,({v)}(v=v1,…,V…)与空间的取值点列{v1…,vk…} 相系,所以称{N,({v)}为 Poisson点过程. Poisson点过程的概念要比 Poisson过程更复 杂,它包含时空两个参数(t,v),而且对于不同的v,作为时间t的随机过程是相互独立的 表达式(17.19)的直观含义是,如果把非时齐的复合 Poisson过程Y看成在时 刻I的总的随机积累,那么它是时刻t前取大小不同的固定值的随机积累的总和 这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson过程Y,即随机变量X不必局限于 取离散值,而是可以取任意值(甚至可取负值)的情形.这时Y,也可以取任何的值.它在时 刻t前取值于区间(a,b]的次数,是一个随机过程,记之为N,(a,b)(因为H当且仅当在
457 k N k Yt X t å= = 1 是非时齐的复合 Poisson 过程，则它有以下的积分表示式 s s t Yt X dN ~ 0 ò = ， （１７．１７） 其中 î í ì = = ) ( ) ~ ０ （其它 n n s X s X t ．于是非时齐的复合 Poisson 过程的特征泛函也可以写为 t t T i X dN Ee ~ 0 ò = f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò ． （１７．１５）＇ ２．２ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 Poisson 点过程的积分（用空间积分表示） 我们先讨论简单的情形．对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson 过程 k N k Yt X t å= = 1 . 设 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k k n p p v v X 1 1 ~ ．将过程在时刻t 以前取值v 的累计次数记为 Nt ({v}) =集合{Y v : s t} s = £ 中的元素个数. (17. 18） 对于固定的值v ， N ({v}) t 可以看成对于非时齐的 Poisson 过程 Nt 的分流．由随机分流定 理可知, ({ }) t k N v 是强度函数为 p (t) kl 的非时齐 Poisson 过程． 由非时齐的复合 Poisson 过程的定义，直观地可以看出，对于v = v1 ,L, vk ,L ， {N ({v})} t 是一系列相互独立的非时齐的 Poisson 过程．而且有 ({ }) k t k k t Y = å v N v ． （１７．１９） 又因为 Poisson 过程序列{N ({v})} t （v = v1 ,L, vk ,L）与空间的取值点列{ , , , } v1 L vk L 相系，所以称{N ({v})} t 为 Poisson 点过程．Poisson 点过程的概念要比 Poisson 过程更复 杂，它包含时空两个参数(t,v)，而且对于不同的v ，作为时间t 的随机过程是相互独立的． 表达式（１７．１９）的直观含义是，如果把非时齐的复合 Poisson 过程Yt 看成在时 刻t 的总的随机积累，那么它是时刻t 前取大小不同的固定值的随机积累的总和． 这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson 过程Yt , 即随机变量 Xk 不必局限于 取离散值, 而是可以取任意值(甚至可取负值)的情形．这时Yt 也可以取任何的值．它在时 刻t 前取值于区间(a, b]的次数，是一个随机过程，记之为 N ((a,b]) t （因为Yt 当且仅当在
此非时齐的 Poisson过程N,的事件列τn上跳跃,所以这个次数是一个有限的(但是随机的) 数).它们满足 (P.1)由随机分流定理,M(a,b])是强度为P(X∈(a,b])A(1)的非时齐的 olsson 过程 (P.2)由随机分流定理,若区间(a2,b,](=1,…,m)两两补交,则随机过程 N,(a2,b,])(=1,…,m)是相互独立的 (P.3)对于a<b<c有可加性:N,(a,b])+N,(b,c])=N,(a,c] 再记 N(v)=N(-∞,v]) (17.20) 注意这里的记号N,(v)与前面定义的记号M({v)的含义是不同的 我们将它叙述为如下的略广一些(不仅仅限于非时齐的复合 Poisson过程)的定义, 定义17.22依赖于实数值ν的,正整值随机过程族{N(ν):≥0-∞<ν<∞}, 称为 Poisson点过程,如果对于N,(a,b])=N,(b)-N(a)满足以上的条件(P.2),(P.3), 以及如下的(P.1) (P.1)′存在单调递增函数F(y),使F(-∞)=0且N,(a,b])是强度为 [F(b)-F(a)(1)的非时齐的 Poisson过程 此时F(v)()称为 Poisson点过程的补偿函数 例17.23由非时齐的复合 Poisson过程所定义的随机过程族 N,(v):1≥0-∞<V<∞},是 Poisson点过程,其中N,(v)表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻t前取值于区间(-∞,y的次数 易见此 Poisson点过程的补偿函数是Fx(v)A(),其中Fx是Xn的分布函数.即 N:(v)=N,(v)-Fx(v)()是(N)鞅 一般地,若 Poisson点过程的补偿函数F(v)(m)满足F(∞)-F(-∞)=C<∞,则存 在以C(1)为强度函数的非时齐的 Poisson过程,及对应于赋值随机变量xn的分布函数为 Fx.(v)=F(v)的非时齐的复合 Poisson过程,使此 Poisson点过程由此非时齐的复合 458
458 此非时齐的 Poisson 过程Nt 的事件列 n t 上跳跃，所以这个次数是一个有限的（但是随机的） 数）．它们满足 （P．１）由随机分流定理， N ((a,b]) t 是强度为 P(X Î (a,b])l(t) 的非时齐的 Poisson 过程． （P．２）由随机分流定理，若区间 (a ,b ] (i 1, ,m) i i = L 两两补交，则随机过程 N ((a ,b ]) (i 1, ,m) t i i = L 是相互独立的． （P．３） 对于a < b < c有可加性： N ((a,b]) N ((b, c]) N ((a,c]) t + t = t ． 再记 N (v) N (( ,v]) t = t -¥ D ． （１７．２０） 注意 这里的记号N (v) t 与前面定义的记号 N ({v}) t 的含义是不同的. 我们将它叙述为如下的略广一些（不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程）的定义. 定义１７．２２ 依赖于实数值v 的,正整值随机过程族{N (v) : t ³ 0,-¥ < v < ¥} t ， 称为 Poisson 点过程，如果对于N ((a,b]) N (b) N (a) t = t - t D 满足以上的条件（P.2），（P.3）， 以及如下的(P.1)’: （ P.1 ）＇ 存在单调递增函数 F(v) ， 使 F(-¥) = 0 且 N ((a,b]) t 是强度为 [F(b) - F(a)]l(t)的非时齐的 Poisson 过程． 此时 F(v)l(t) 称为 Poisson 点过程的补偿函数． 例 １ ７ ． ２ ３ 由非时齐的 复 合 Poisson 过程所定义的随机过程族 {N (v) : t ³ 0,-¥ < v < ¥} t ，是 Poisson 点过程，其中 N (v) t 表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻t 前取值于区间(-¥, v] 的次数． 易见此 Poisson 点过程的补偿函数是 F (v) (t) X l ，其中 FX 是 Xn 的分布函数．即 ( ) ( ) ( ) ( ) ~ N v N v F v t t X t = - l 是( ) Nt 鞅． 一般地，若 Poisson 点过程的补偿函数 F(v)l(t) 满足 F(¥) - F(-¥) = C < ¥ ，则存 在以Cl(t) 为强度函数的非时齐的 Poisson 过程,及对应于赋值随机变量 Xn 的分布函数为 ( ) 1 ( ) F v C F v def Xn = 的非时齐的复合 Poisson 过程，使此 Poisson 点过程由此非时齐的复合