《解析几何》 第二章 轨迹与方程

空间解加 主讲杨涤尘

空间解析几何 主讲 杨涤尘

第二章轨迹与方程 主要内容: 1、平面曲线的方程 2、曲面的方程 3、母线平行于坐标轴的柱面方程 4、空间曲线的方程

第二章 轨迹与方程 主要内容： 1、平面曲线的方程 2、曲面的方程 3、母线平行于坐标轴的柱面方程 4、空间曲线的方程

第一节一平面曲线的方程 曲线与方程 定义:当平面上取定了标架之后,如果一个方程与 条曲线有着关系 (1)满足方程的x,y)必是曲线上某一点的坐标; (2)曲线上任何一点的坐标(xy)满足这个方程; 则这个方程称为这条曲线的方程,这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为: F(xy)=0或y=fx)

第一节 平面曲线的方程 一、曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)

曲线的矢量式方程 例1、求圆心在原点,半径为R的圆的方程。 解:矢量式方程|OM|=R 普通方程x2+y2=R2 例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2),求满足条件 MA|MB=4的动点的轨迹。 解:矢量式方程MA-MB|=4 化为普通方程为xy=2(x+y≥2) 故曲线为 Xy=2

二、曲线的矢量式方程 例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 解：矢量式方程 |OM|=R 普通方程 x 2+y 2=R2 例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。 化为普通方程为 xy=2 (x+y2) 故曲线为 y o x xy=2 解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4

1、矢性函数 当动点按某种规律运动时,与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变(模与方向的改变),这样的径矢 称为变矢,记为r(t)。如果变数t(a≤t≤b)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值(模与方向)r(t),则称 r是变数t的矢性函数,记为r=r(t)(a≤t≤b) 2、矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{0;e1,e2},则矢性函数可 表示为 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(a≤t≤b) (1) 其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它们分别是变数t的函数

1、矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 称为变矢，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的矢性函数，记为r=r(t) (atb). 2、矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则矢性函数可 表示为 r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). （1） 其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数

3、矢量式参数方程 r(t)=x(t)e,+y(t)e2(astsb 若取(a≤t≤b)的一切可能值,由(1)表示的径矢r() 的终点总在一条曲线上;反之,在这条曲线上的任意 点,总对应着以它为终点的径矢,而这径矢可由t的某 值t(ast≤b)通过(1)完全确定,则称表达式(1)为 曲线的矢量式参数方程,其中t为参数 4、坐标式参数方程 曲线的参数方程常可以写成下列形式: ∫x=x( P(X(t,y(t) =y(t) (a≤t≤b) rla 称为曲线的坐标式参数方程。 B 0 (b) X

3、矢量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1） r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). 4、坐标式参数方程 曲线 的参数方程常可以写成下列形式： ( ) ( ) ( ) a t b y y t x x t        称为曲线的坐标式参数方程。 y x O r(t) r(a) r(b) A B P(x(t),y(t)) 的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某 一值t0 (at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为 曲线的矢量式参数方程，其中t为参数。 表示的径矢r(t)

5、直线的方程 已知直线通过定点M6(x,y0),且与非零矢量 v={X,Y共线,求直线的方程。 解:设M(x,y)为直线l上任意一点,并设0Mr,OM=0 则点M在上的充要条件为矢量MM与共线,即 MM+t(t为随M而定的实数) 又因为 MMEr-r 所以r0=t"故得的 (1)矢量式参数方程为r=0+tv(-<t<+∞ (2)矢量式参数方程为x=x0+X (2) y= yo +yt

已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量 v ={X,Y}共线，求直线l的方程。 解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即 M0M=tv (t为随M而定的实数） 又因为 M0M=r-r0 所以 r-r0=tv （1）矢量式参数方程为 r=r0+tv (＜t＜+) （2）矢量式参数方程为 (2) 0 0        y y Yt x x Xt 5、直线的方程 故得l的

注1:参数t的几何意义 当v是单位矢量时,t为点M与M之间距离。 事实上,M6|=ty|=|t 注2:直线的方向矢量: 与直线决线的非零矢量v称为直线的方向矢量 (3):直线的对称式方程 由直线的参数方程(2)中消去参数t可得: 对称式方程x y-yo Y (4)直线的一般方程和点法式方程 将对称式方程改写为 Ax+By+C=0 (3)

注1：参数t的几何意义： 当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。 事实上，|MM0|=|tv|=|t| 注2：直线的方向矢量： 与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。 （3）：直线的对称式方程 由直线的参数方程（2）中消去参数t可得： Y y y X x x 0  0   对称式方程 （4）直线的一般方程和点法式方程 将对称式方程改写为 Ax+By+c=0 (3)

其中A=Y,BX,C=(Yx0-80),方程(3)称为直线 的一般方程 反之,设(x0,y0)是(3)上一点,则 AXo+Byo+c=0 故(3)可改写为 A(X-Xo+B(y-y0)=0 (4) 或 X-x y=y B 可见系数A,B的几何意义是: 矢量q{B,-A}是直线(3)的一个方向矢量,而矢 量p={A,B}垂直于矢量q,从而垂直于直线(3),我 们称p={A,B为直线(3)的法矢量,而方程(4)称 为直线的点法式方程

其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线 的一般方程。 反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则 Ax0+By0+c=0 故（3）可改写为 A(x-x0)+B(y-y0)=0 （4） 或 A y y B x x     0 0 可见系数A，B的几何意义是： 矢量q={B,-A}是直线（3）的一个方向矢量，而矢 量p={A,B}垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我 们称p={A,B}为直线（3）的法矢量，而方程（4）称 为直线的点法式方程

∠6、两条直线相关位置的判定 给定两条直线 AIX+BY+C=0 L AX+B,y+C2=0 则0)4与相交台4B A B B (2)4|l2 ≠ AB. C (3)l与12重 (4)两直线的交角 coS∠(1,l)= A4+BB, ++E

6、两条直线相关位置的判定 给定两条直线 l1 : A1x+B1y+C1=0 l2 : A2x+B2y+C2=0 则 2 1 2 1 1 2 (1) B B A A l 与l 相交   2 1 2 1 2 1 1 2 (2) || C C B B A A l l    2 1 2 1 2 1 1 2 (3) C C B B A A l 与l 重合    （4）两直线的交角 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 cos ( , ) A B A B AA BB l l       