2.矩阵表达式：Ar=6,其中，x=(任1,2，…，工n)T,b=(b,b2,…,bm)T(2.2) 3.向量表达式：令A=(a1,a2,…,n),则x101+x2a2+…+xnan=b.(2.3) 如果n维列向量=(Q,c2,…,m)T满足方程组Ar=b,即A=b,则称是Az=b的一个解向量 b≠0时，(2.1)-(2.3)称为非齐次线性方程组：b=0时，(2.1)(2.3)称为齐次线性方程组：齐次线性方程组 也称为对应的非齐次线性方程组的导出组. 解得存在性及有解时解的个数定理 定理1设A为m×n矩阵，则线性方程组Ax=b ()无解的充分必要条件是r(A)<r(A,): (间)有唯一解的充分必要条件是r(4)=r(4,b)=m 曲有无穷多解的充分必要条件是r(4=r(4,)<n, 定理2设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组A缸=0 位只有零解的充分必要条件是(A)=n (回)有非零解的充分必要条件是r(4)=)<n 分析设r(A)=r,不妨设增广矩阵AA,)的行最简形为 10 0b1 1-r 01…0b2…b2n-r d2 (4,)→A 00.1 4 00·…00 0 d+1 、00 000 0 (句若r(4)<r(4,6),则A中的d,+1=1,可得矛盾方程组0=1，故方程组无解： ()若r(A)=r(A,b)=r=n,则A中的d+1=0(或d,+1不出现，且b,都不出现，得同解方程组 [n=d ro=da ,故方程组有唯一解 ()若r(4)=(A,)=r<n,则A中的dr+1=0(或d,+1不出现，可得同解方程组 E1=-011Em41-·，一01，n-r和十d1 r2=-b21工r+1-··-a2.n-rtn+2 2.4 r--b ,+d 令自由未知量x, ,得方程2.1)的含n r个参数的解 h. 5 2. › Là™: Ax = b,Ÿ•ßx = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (b1, b2, · · · , bm) T (2.2) 3. ï˛Là™: -A = (α1, α2, · · · , αn),Kx1α1 + x2α2 + · · · + xnαn = b. (2.3) XJnëï˛ξ = (c1, c2, · · · , cn) T˜vêß|Ax = b,=Aξ = b , K°ξ¥Ax = bòá)ï˛. b 6= 0û, (2.1)-(2.3)°èö‡gÇ5êß|; b = 0û,(2.1)-(2.3)°è‡gÇ5êß|;‡gÇ5êß| è°èÈAö‡gÇ5êß|—|. )359k)û)áͽn ½n1 Aèm × n› , KÇ5êß|Ax = b (i) Ã)ø©7á^á¥r(A) < r(A, b); (ii) kçò)ø©7á^á¥r(A) = r(A, b) = n; (iii) kðı)ø©7á^á¥r(A) = r(A, b) < n. ½n2 Aèm × n› , K‡gÇ5êß|Ax = 0 (i) êk")ø©7á^á¥r(A) = n; (ii) kö")ø©7á^á¥r(A) =) < n. ©¤ r(A) = r,ÿîO2› A(A, b)1Å{/è (A, b) → Ae   1 0 · · · 0 b11 · · · b1,n−r d1 0 1 · · · 0 b21 · · · b2,n−r d2 . . . . . . . . . . . . · · · . . . . . . 0 0 · · · 1 br1 · · · br,n−r dr 0 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 0 0 0 0   (i) er(A) < r(A, b), KAe•dr+1 = 1,ågÒêß|0 = 1, êß|Ã);  (ii) er(A) = r(A, b) = r = n,KAe•dr+1 = 0(½dr+1ÿ—y,Öbij—ÿ—y, ”)êß|   x1 = d1 x2 = d2 · · · xn = dn , êß|kçò). (iii) er(A) = r(A, b) =  r < n,KAe•dr+1 = 0(½dr+1ÿ—y, å”)êß|   x1 = −b11xr+1 − · · · − b1,n−rxn + d1 x2 = −b21xr+1 − · · · − a2,n−rxn + d2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2.4) xr = −br1xr+1 − · · · − br,n−rxn + dr  -gdô˛xr+1 = c1, · · · , xn = cn−r,êß(2.1)¹n − ráÎÍ)  x1 . . . x2 xr+1 . . . xn   =   −b11c1 − · · · − b1,n−rcn−r + d1 . . . −br1c1 − · · · − br,n−rcn−r + dr c1 . . . cn−r   = c1   −b11 . . . −br1 1 . . . 0   + · · · + cn−r   −b1,n−r . . . −br,n−r 0 . . . 1   +   d1 . . . dr 0 . . . 0   5