例9如图11-8所示,有一圆柱形均匀磁场,圆半径为R。现放置一长度为2R的直导线,导线的一 端是开怀刚好在磁场边缘,处于磁场内的导线长度为R。若磁场的磁感应强度以-=k(k为大于零的常 数)的速率变化,求在直导线上产生的电动势 分析虽然直导线AB不是闭合回路,但由于磁场在变化,在空间中产生涡旋电场,在涡旋电场力作 用下导线内有电荷运动和两端累积,形成感应电动势。圆柱形均匀磁场变化时的涡旋电场前面已经讲过。 此题可以用两种方法解。一种方法计算相对简单,用法拉第电磁感应定律E=如m求,但要先作辅助 导线,构成闭合回路第二种方法用电动势定义E=E·团求,此题中非静电性场强E为涡旋电场E 利用前面讲的E,分布,求导线AB上的积分。注意圆形磁场外面也有涡旋电场。 解法I用法拉第电磁感应定律求 连接OAOB构成一闭合回路△AOB。由几何关系可知∠AOB为直角, ∠OAB=∠AOC=x,∠BOC=∠OBC 闭合回路中有磁场部分面积S 分为△BOC和扇形COD两部分,则 ,=-xRX VR+aR =(3+2a)=A (3+z 则Δ4OB中包围的磁通量 d=BS=(3+L) 产生的电动势 d R2 =(√3+3)k dt 0AOB边由于在半径方向上,由=E,其上每一段d和E始终垂直,所以Ea1=6B=0 则EA==(3+)kR2,由楞次定律判断方向为由B→A 解法Ⅱ用电动势定义=E,求,圆柱形均匀磁场以边=k变化时,其祸旋电场E分布为例 9 如图 11-8 所示，有一圆柱形均匀磁场，圆半径为 R。现放置一长度为 2R 的直导线，导线的一 端是开怀刚好在磁场边缘，处于磁场内的导线长度为 R。若磁场的磁感应强度以 k k dt dB  ( 为大于零的常 数）的速率变化，求在直导线上产生的电动势。 分析 虽然直导线 AB 不是闭合回路，但由于磁场在变化，在空间中产生涡旋电场，在涡旋电场力作 用下导线内有电荷运动和两端累积，形成感应电动势。圆柱形均匀磁场变化时的涡旋电场前面已经讲过。 此题可以用两种方法解。一种方法计算相对简单，用法拉第电磁感应定律 dt d m i     求，但要先作辅助 导线，构成闭合回路。第二种方法用电动势定义    l i k E dl    求，此题中非静电性场强 Ek  为涡旋电场 Er  ， 利用前面讲的 Er  分布，求导线 AB 上的积分。注意圆形磁场外面也有涡旋电场。 解法Ⅰ 用法拉第电磁感应定律求. 连接 OA,OB 构成一闭合回路 AOB 。由几何关系可知 AOB 为直角， 6  OAB  AOC  ， 3  BOC  OBC  。 闭合回路中有磁场部分面积 1 S 分为 BOC 和扇形 COD 两部分，则 ) 3 ( 3 4 ( 3 2 ) 2 4 1 2 3 2 1 2 2 2 1            R R S R R R 。 则 AOB 中包围的磁通量 B R m B S ) 3 ( 3 4 2 1       。 产生的电动势 k R dt R dB dt d m ) 3 ( 3 4 ) 3 ( 3 4 2 2            。 OA，OB 边由于在半径方向上，由    l i r E dl    ，其上每一段 dl  和 Er  始终垂直，所以  OA   OB  0。 则 2 ) 3 ( 3 4 1 AB kR        ，由楞次定律判断方向为由 B→A。 解法Ⅱ 用电动势定义    L i r E dl    求。圆柱形均匀磁场以 k dt dB  变化时，其涡旋电场 Er  分布为： 图 11-8 Er  B R O h dl   r  A C D