1.用于生成较复杂的随机数: *实现对高维分布(或高维格点分布)兀取样,得到丌随机数 是实现重要度采样的一种方法.对∫(x)的重要性采样,就是取得 兀(=丌(x)= a f(x) -)随机数 lf() dy 2.实现高维积分(或项数极多的求和)的数值计算(典例是 Gibbs分布的各种泛函的 平均值的计算).对于∫(x)≥0,作以丌=丌(x)= A f(x) 为极限分布的 Markov链X f()dy 利用遍历定理可以由这个 Markov链的一条轨道,得到分布密度x(x)的估计,记为r(x).再 用作为积分/=∫/(x女的估计 丌(x) 3.用模拟方法估计最可几轨道.例如,如果模拟了100条轨道,那么就能以大概率推 断,最可几轨道就在这些轨道的邻近.当统计量的分布未知时,可以用模拟方法从频率估 计置信限 4.用被估参数的 Bayes分布(参见第9章)的取样,来估计参数 5.求复杂样本空间上函数的极值(模拟退火) 2.1 Gibbs采样法( Gibbs sampler) 1.用MCMC方法得到 Gibbs分布的样本与估计 Gibbs分布 在第6章中,我们考虑了在d维的N一格点集上的 Ising模型的 Gibbs分布 em(m,由于所涉及的状态空间(全体组态的集合)S=+1非常大(例 如,把一幅256×256个采样点的黑白图像看成一个组态,则d=2,N=256,S中有 236256(=2>260010809个元素),这就使得分母中的求和无法实际完成而MOMC 方法就是以通过构造一个以这个Gibs分布r;= 为不变分布的离散时间的 Markov链Xn(它就是 Glauber动力学中的连续时间的 Markov链的离散时间采样),作为模 拟计算的基点的.构造的 Markov链必须易于计算,所以我们要求它的概率转移速率只容许 在组态的一个格点上变动.这样的变动方式,称为Gibs方式,这种抽样方法称为Gibs采 样法,或者 Gibbs样本生成法这个 Markov链的不变分布正是此 Gibbs分布丌,我们还要 求此 Markov链的转移矩阵满足Pn—→1π.这就是说,要求Gibs分布是 Glauber 动力学的极限分布. 于是,当n大时,X的一个样本可以近似地认为取自Gibs分布的一个样本,即按此208 1. 用于生成较复杂的随机数： * 实现对高维分布（或高维格点分布）p 取样, 得到p 随机数. * 是实现重要度采样的一种方法. 对| f (x) |的重要性采样, 就是取得 p ( ò D = = f y dy f x x | ( )| | ( ) | p( ) )随机数. 2. 实现高维积分（或项数极多的求和）的数值计算（典例是 Gibbs 分布的各种泛函的 平均值的计算）. 对于 f (x) ³ 0 , 作以p ò D = = f y dy f x x ( ) ( ) p( ) 为极限分布的 Markov 链 Xn ， 利用遍历定理可以由这个 Markov 链的一条轨道，得到分布密度p (x) 的估计，记为 ( ) ^ p x ．再 用 ( ) ( ) ^ x f x p 作为积分 ò I = f (x)dx 的估计. 3. 用模拟方法估计最可几轨道. 例如, 如果模拟了 100 条轨道, 那么就能以大概率推 断, 最可几轨道就在这些轨道的邻近. 当统计量的分布未知时, 可以用模拟方法从频率估 计置信限. ４. 用被估参数的 Bayes 分布（参见第 9 章）的取样，来估计参数． ５. 求复杂样本空间上函数的极值(模拟退火). 2. 1 Gibbs 采样法 (Gibbs sampler) 1. 用 MCMC 方法得到 Gibbs 分布的样本与估计 Gibbs 分布 在第６章中，我们考虑了在 d 维的 N - 格点集上的 Ising 模型的 Gibbs 分布 åÎ - - = S H H e e h b h b x p x ( ) ( ) , 由于所涉及的状态空间 (全体组态的集合) N d S {1, , ) { 1,1} L = - 非常大 (例 如, 把一幅 256´ 256 个采样点的黑白图像看成一个组态, 则d = 2, N = 256 , S 中有 2 ( 2 2 10 ) 256 256 2 60000 18000 16 = > > ´ 个元素), 这就使得分母中的求和无法实际完成. 而 MCMC 方法就是以通过构造一个以这个 Gibbs 分布 åÎ - - = S H H e e h b h b x p x ( ) ( ) 为不变分布的离散时间的 Markov 链 Xn (它就是 Glauber 动力学中的连续时间的 Markov 链的离散时间采样), 作为模 拟计算的基点的． 构造的 Markov 链必须易于计算, 所以我们要求它的概率转移速率只容许 在组态的一个格点上变动．这样的变动方式, 称为 Gibbs 方式, 这种抽样方法称为 Gibbs 采 样法，或者 Gibbs 样本生成法. 这个 Markov 链的不变分布正是此 Gibbs 分布p , 我们还要 求此 Markov 链的转移矩阵满足 P n ¾n®¾¥® p T 1 . 这就是说, 要求 Gibbs 分布是 Glauber 动力学的极限分布. 于是, 当n 大时, Xn 的一个样本可以近似地认为取自 Gibbs 分布的一个样本, 即按此