Markov链沿任意一条轨道充分发展,就得到 Gibbs分布的近似取样. 再则,Gtbs分布的归一化常数(称为配分常数∑c1(),是一个巨大的求和,即 个”离散的”积分.用随机模拟法计算这个"离散的”积分的最佳随机数正服从 Gibbs分布 (即重要度采样).对于Gibs分布的取样,用通常的取舍原则常常并不可行.例如,分别取 C=1,h()=em5),而参考密度p0(5)为组态空间上的均匀分布,这时e)的值常常 小得超出计算精度,而求和变量ξ的范围是庞大的组态空间,这就导致求和无法实际计 算.所以需要用 Markov链 Monte carlo方法.用MCMC方法生成了以 Gibbs分布为极限分 布的 Markov链Xn以后,由遍历定理用 Markov链的一条轨道,可给出极限分布(Gibs分 布)的估计:对于充分大的N,可令 丌=(1(xx+1)+…l(X2) (8.8) -H(5) 再用e-(5)除以Gbs分布在ξ处的估计值 作为配分函数的估计.在理论上这个 估计应该与5的取法无关,但是,在实际计算中对多个不同的组态1分别估计此和数后, 再作平均常常能降低方差. 在第6章中,我们曾给出了用 Glauber动力学构造的两个不同的连续时间的 Markov链 (对应于两个不同的转移概率速率矩阵Q,它们都以Gibs分布π为极限分布,而且都是可 逆的 较为深入的理论研究表明,使用不可逆的,且以丌为不变分布的 Markov链作 Markov Monte carlo,会加快这个极限的收敛速度然而,在另一方面这种做法又会增加计算的复杂 程度.再则,为减少估计的方差而作的努力也常会增加计算时间.这就是说,在计算中,我 们会面临难以两全的抉择.在实际中如何采取折衷,既要看问题的性质,又要参考实践的经 验,没有统一的原则 用以完成MCMC采样操作的 Markov链,可构造如下: 在第6章中,对于d维有限格点上,由具有两个自旋的组态空间上的能量函数 H()=-22 n(x)n(y)-hEn(x) 可构造如下的转移概率速率 C(x,5),(n=5) (≠ξ的其它情形) (C(x,)的两种取法各为: (x,)=eP(H(H() (8.11)209 Markov 链沿任意一条轨道充分发展, 就得到 Gibbs 分布的近似取样. 再则，Gibbs 分布的归一化常数(称为配分常数) b (x ) h H S e - Î å , 是一个巨大的求和，即一 个”离散的”积分． 用随机模拟法计算这个＂离散的＂积分的最佳随机数正服从 Gibbs 分布 (即重要度采样)． 对于 Gibbs 分布的取样, 用通常的取舍原则常常并不可行．例如，分别取 C =1, ( ) ( ) b x x H h e - = , 而参考密度 ( ) 0 p x 为组态空间上的均匀分布，这时 bH (x ) e - 的值常常 小得超出计算精度, 而求和变量x 的范围是庞大的组态空间, 这就导致求和无法实际计 算．所以需要用 Markov 链 Monte Carlo 方法. 用 MCMC 方法生成了以 Gibbs 分布为极限分 布的 Markov 链 Xn 以后, 由遍历定理用 Markov 链的一条轨道, 可给出极限分布（Gibbs 分 布）的估计: 对于充分大的 N ，可令 ( ( ) ( )) 1 { } 1 { } 2 ^ N X N I X I N x x p x = + +L ， （８．８） 再用 bH (x ) e - 除以 Gibbs 分布在x 处的估计值 ^ ( ) x b x p H e - , 作为配分函数的估计．在理论上这个 估计应该与x 的取法无关. 但是, 在实际计算中对多个不同的组态 i x 分别估计此和数后， 再作平均常常能降低方差． 在第 6 章中, 我们曾给出了用 Glauber 动力学构造的两个不同的连续时间的 Markov 链 (对应于两个不同的转移概率速率矩阵 Q), 它们都以 Gibbs 分布p 为极限分布, 而且都是可 逆的. 较为深入的理论研究表明, 使用不可逆的, 且以p 为不变分布的 Markov 链作 Markov Monte Carlo, 会加快这个极限的收敛速度. 然而, 在另一方面这种做法又会增加计算的复杂 程度. 再则, 为减少估计的方差而作的努力也常会增加计算时间. 这就是说，在计算中，我 们会面临难以两全的抉择. 在实际中如何采取折衷，既要看问题的性质, 又要参考实践的经 验，没有统一的原则． 用以完成 MCMC 采样操作的 Markov 链，可构造如下： 在第 6 章中, 对于d 维有限格点上，由具有两个自旋的组态空间上的能量函数 = - å - å x y相邻 x H x y h x , ( ) ( ) ( ) 2 1 (h) h h h , (8. 9) 可构造如下的转移概率速率 î í ì ¹ = = h x的其它情形） x h x xh 0 ( ( , ), ( ) x C x q (8. 10) (C(x,x ) 的两种取法各为： ( ( ) ( )) ( , ) b x x x H H C x e - - = (8. 11) 或