解(1)∫的矩阵A=-15-3(显见mnA≥2) rank4=2→det4=0→c=3 5-λ 4-λ4-0 (2)p()=-15-x-3=-15-λ-3 33- 33-A 4-元 16--3|=-(-4)4-9) λ1=0,2=4,3=9的特征向量依次为 P1=1P2=1,p=-1(两两正交) 正交矩阵Q=1/√61/2-1 正交变换x=Qy:标准形∫=0y2+4y2+9y2 (3)∫(x1,x2,x3)=1台4y2+9y3=1:表示椭圆柱面 例4设∫(x,x2,x)=x2Ax,A=-1c-3|,秩()=2,求c 解det4=9(c-1)2(c+2) rankA=2→det=0→c=1或者c=-2 c=1:A=-11-3→000,mnk4=1(舍去)5 解 (1) f 的矩阵           − − − − = c A 3 3 1 5 3 5 1 3 （显见 rankA 2 ） rankA = 2 detA = 0 c = 3 (2)          − − − − − − − = − − − − − − − = + 3 3 3 1 5 3 4 4 0 3 3 3 1 5 3 5 1 3 ( ) 1 2 r r ( 4)( 9) 3 6 3 1 6 3 4 0 0 2 1 = − − − − − − − − − = −       c c 1 = 0, 2 = 4, 3 = 9 的特征向量依次为          − = 2 1 1 p1 ,           = 0 1 1 p2 ,           = − 1 1 1 p3 （两两正交） 正交矩阵           − − = 2 6 0 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = 0 y1 + 4 y + 9 y (3) ( , , ) 1 4 9 1 2 3 2 f x1 x2 x3 =  y2 + y = ：表示椭圆柱面 例 4 设 f x x x x Ax T 1 2 3 ( , , ) = ,           − − − − = c c c A 3 3 9 1 3 1 3 , 秩 ( f ) = 2 , 求 c ． 解 det 9( 1) ( 2) 2 A = c − c + rankA= 2detA= 0 c = 1 或者 c = −2 c = 1 ：           − →           − − − − = 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3 3 9 1 1 3 1 1 3 行 A , rankA = 1 （舍去）