1=2=1的两个正交的特征向量P1=1,P2=-1 A3=10的特征向量p3=2 04/3√21/3 正交矩阵Q=V√2-1322/3 1/1/32-2/3 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+10y2 例2f(x1,…,x:)=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4 用正交变换化f(x1,x2,x3,x)为标准形. 解∫的矩阵A 1-101 A的特征多项式q(4)=(A-1)3(+3) 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ=A: 1/√201 Q 2222 1/20-1/ l/2 A l/2 01 1/2 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+y2-3y2 例3f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx2-2x1x2+6x1x3-6x2x3,秩(厂)=2 (1)求c;(2)用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形; (3)f(x1,x2,x3)=1表示那类二次曲面?4 1 = 2 = 1 的两个正交的特征向量           = 1 1 0 1 p ,           = − 1 1 4 p2  3 = 10 的特征向量           − = 2 2 1 p3 正交矩阵           − = − 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + y + 10 y 例 2 1 4 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 2 3 2 2 4 2 3 4 f (x ,  , x ) = x x + x x − x x − x x + x x + x x 用正交变换化 ( , , , ) x1 x2 x3 x4 f 为标准形． 解 f 的矩阵             − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 3) 3   =  −  + 求正交矩阵 Q 和对角矩阵  , 使得 Q AQ =  T ：               − − − − = 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 Q ,             − = 3 1 1 1  正交变换 x = Q y ：标准形 2 4 2 3 2 2 2 f = y1 + y + y − 3 y 例 3 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + 5x + c x − 2x x + 6x x − 6x x ,秩 ( f ) = 2． (1) 求 c ； (2) 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形； (3) f (x1 , x2 , x3 ) = 1 表示那类二次曲面？