(2)A合同于B→B合同于A:(C-)B(C-)=A (3)A合同于B,B合同于S→A合同于S 定理3A合同于B→mnkA= rankB 证CAC=B→ rankB=mank(CAC)≤ ranka (C-)B(C-)=A→ ranka=rank(C+)B(C-≤ rankB 故 rankA= rankB §62化二次型为标准形 1.正交变换法 设A实对称特征值为λ1,42,…,凡n,则存在正交矩阵Q,使得 作正交变换x=Qy,可得 f=x Ax=(0y)'A(0y)=y(2 A0)y=y 4y λy2+λ2y2+…+λny2 例1f(x1,x2,x3)=2x2+5x2+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3 用正交变换化∫(x1,x2,x3)为标准形 解∫的矩阵 2-4 A的特征多项式g()=-(元-1)2(2-10)3 (2) A 合同于 B  B 合同于 A ： C B C = A − − ( ) ( ) 1 T 1 (3) A 合同于 B , B 合同于 S  A 合同于 S 定理 3 A 合同于 B  rankA = rankB． 证 C AC = B T rankB rank (C AC) rankA T  =  C B C = A − − ( ) ( ) 1 T 1 rankA rank[(C ) B(C )] rankB 1 T 1  =  − − 故 rankA = rankB． §6.2 化二次型为标准形 1．正交变换法 设 Ann 实对称, 特征值为    n , , , 1 2  , 则存在正交矩阵 Q , 使得           = = n Q AQ     1 T 作正交变换 x = Q y , 可得 f x Ax Q y A Q y y Q AQ y y  y T T T T T = = ( ) ( ) = ( ) = 2 2 2 2 2 1 1 n n =  y +  y ++  y 例 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 f 的矩阵           − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 10) 2   = −  −  −