教学内容 函数项级数的一般概念 1.定义:设u4(x)a2(x)…ln(x)…是定义在IcR上的函数,则 ln(x)=l1(x)+l2(x)+…+u(x)+…称为定义在区间/上的(函数项)无穷级 数 例如级数∑x"=1+x+x2+ 2收敛点与收敛域:如果x∈1,数项级数∑un(x)收敛,则称x为级数 今1(x)的收敛点,否则称为发散点函数项级数∑un(x)的所有收敛点的全体 称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域 3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=l1(x)+l2(x)+…+ln(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和sn(x),lmsn(x)=s(x) 余项rn(x)=(x)-Sn(x) imz(x)=0(x在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上是数项级数的收敛问题 例1求级数(-1)(y的收敛域 n 1+x 解由达朗贝尔判别法 u+(x) n→0 u, (x) n+11+x1+x ()当n<1,→+对>1即x>0x<-2时,原级数绝对收敛 1+ 当+对 >1→1+x<1即-2<x<O时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2 22 教 学 内 容 一、函数项级数的一般概念 1. 定 义 : 设 u1 (x),u2 (x), ,un (x), 是定义在 I  R 上的函数 , 则  = + ++ +  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x n n n 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级 数. 1 , 2 0  = + + +  = x x x n 例如级数 n 2. 收敛点与收敛域: 如果 x  I 0 , 数项级数   =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称 0 x 为级数 ( ) 1 u x n  n  = 的收敛点, 否则称为发散点.函数项级数 ( ) 1 u x n  n  = 的所有收敛点的全体 称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域. 3.和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 s(x) ,称 s(x) 为函数项级数的和函数. s(x) = u1 (x) +u2 (x) ++un (x) + (定义域是?) 函数项级数的部分和 s (x), n lim s (x) s(x) n n = → 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 → r x n n (x 在收敛域上) 注意 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 例 1 求级数 n n n x ) 1 1 ( ( 1) + −  的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n +  + = 1 1 1 ( ) 1 1 →  + → n x 1, 1 1 (1)  + x 当  1+ x 1, 即x  0或x  −2时, 原级数绝对收敛. 1, 1 1 (2)  + x 当  1+ x 1,即−2  x  0时, 原级数发散. (3) 当|1+ x |=1,  x = 0或x = −2