第九章定积分 f(x)±g(x)|在[a,b]上也可积,又 M(x) f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)1 m(x)=f(x+g(x-lf(x-g(x, 且可积函数的和,差,数乘仍可积,所以M(x),m(x)在[a,b]上均可 7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足{(x)}≥m>0.证明 在[a,b]上也可积 证因f可积,对任给c>0,必存在某一分剖T使得∑a△x< m2e.设x,x是属于分割T的小区间△上的任意两点,则 1-1x=f(x)-f(x2 f(x) f(x) 用表示在△上的振幅则有≤所以 故在[a,b]上也可积 进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理98)中的 中值点∈(a,b) 证若m=M,则f(x)≡m,x∈[a,b],则可取为[a,b]上任意 点若m<M,此时必有 m(b-a)< f(x)dx< M(b-a) 若上述不等式任意一个取等号,例如若m(b-a)=|(x)dx,则 (f(x)-m)dx=0,而f(x)-m≥0,必有f(x)≡m,对x∈[a,b],矛 盾故E∈(a,b)