2-2线性子空间 例R中过原点的平面x1-3x2+5x3=0上的全体起点在原点向量 W1={(x,x2,x3)|x1-3x2+5x3=0} 不过原点的平面x1-x2+2x3=1上的全体向量 W2={(x,x2,x)|x1-x2+2x3=1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的,而W2不封闭。 定义2.3设W是线性空间V(F)的非空子集,如果W对V中的运算也构成 域F上的线性空间,则称W为V的线性子空间(简称子空间)。 定理21线性空间V(F)的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W 对于V(F)的线性运算封闭。 证V(F)中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对W都成立 对数乘封闭,所以取λ=0和-1,即得 0a=0∈W,(-1)=-a∈W, 故W是V(F)的线性子空间 例1{0}是V的一个子空间,叫做零子空间;V本身也是V的一个子空间。 它们称为V的平凡子空间,V的其它子空间称为非平凡子空间。 例解空间S是R"的一个子空间。R[x]3是Rx]的一个子空间,R[x {ao+ax|a,a∈R}是Rx]的一个子空间。 例R的下列子集 W1={(x,y,z)|2x=3y=z W2={(x,y,z)|x+y+z= W1是R的一个子空间,而W2不是子空间 定义2.4设S是线性空间V(F)的非空子集,S中所有有限子集在域F上的 切线性组合所组成的V(F)的子集合,称为S的线性扩张,记作L(S),即 L(S)=(λα1+…+λa|λ,…,λ∈F,α,…,a∈S,keN} 定理2.2线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张L(S)是V中包含S的最小 子空间 证L(S)显然包含S。先证L(S)是V的一个子空间 设α,β∈S,则存在αn…,a;β1,,Bn∈S,使得 0=入1+22+…+aCn,β=uβ1+…+μa阝n 其中λ,λ2…,λ-;μ,…,μ∈F,于是 α+=(a1+a2+…+An+μuB1+…+μB1∈L(S) yλ∈F,也有 入a=λa1+λ入a2+…+入aa∈L(S) L(S)对加法和数乘封闭,是V的一个子空间。 设W是V中包含S的任一子空间,则对任意的2-2 线性子空间 例 R 3中过原点的平面 x1 −3 x2 + 5x3 = 0 上的全体起点在原点向量 W1 = {(x1, x2, x3)  x1 −3 x2 + 5x3 = 0} 不过原点的平面 x1 − x2 + 2x3 = 1 上的全体向量 W2 = {(x1, x2, x3)  x1 − x2 + 2x3 = 1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的，而 W2不封闭。 定义 2.3 设 W 是线性空间 V(F)的非空子集，如果 W 对 V 中的运算也构成 域 F 上的线性空间，则称 W 为 V 的线性子空间(简称子空间)。 定理 2.1 线性空间 V(F)的非空子集 W 为 V 的子空间的充分必要条件是 W 对于 V(F)的线性运算封闭。 证 V(F)中数乘满足的 4 条性质及加法的交换律与结合律对 W 都成立。W 对数乘封闭，所以取 = 0 和 −1，即得 0 = 0 W , (−1) = −  W , 故 W 是 V(F)的线性子空间。 例 1 {0}是 V 的一个子空间，叫做零子空间；V 本身也是 V 的一个子空间。 它们称为 V 的平凡子空间，V 的其它子空间称为非平凡子空间。 例 解空间 S 是 R n的一个子空间。 R[x]3是 R[x] 的一个子空间， R[x]2 ={a0 +a1xa0,a1R}是 R[x]3的一个子空间。 例 R 3的下列子集 W1 ={(x,y,z)2x=3y=z}, W2 ={(x,y,z)x+y+z=1 } W1是 R 3的一个子空间，而 W2不是子空间。 定义 2.4 设 S 是线性空间 V(F)的非空子集，S 中所有有限子集在域 F 上的 一切线性组合所组成的 V(F)的子集合，称为 S 的线性扩张，记作 L(S)，即 L(S)={11++kk1,,kF, 1,,kS, kN } 定理 2.2 线性空间 V(F)的非空子集 S 的线性扩张 L(S)是 V 中包含 S 的最小 子空间。 证 L(S)显然包含 S。先证 L(S)是 V 的一个子空间。 设 ,S，则存在 1,, m,；1,, n  S，使得 =11+22 ++ mm ，  =11 +  + nn 其中1, 2,,r ; 1,, n F，于是 +=11+22 ++ mm+11 +  + nn L(S)   F, 也有  = 11+22 ++ mm L(S) L(S)对加法和数乘封闭，是 V 的一个子空间。 设 W 是 V 中包含 S 的任一子空间，则对任意的