2-2线性子空间 例R中过原点的平面x1-3x2+5x3=0上的全体起点在原点向量 W1={(x,x2,x3)|x1-3x2+5x3=0} 不过原点的平面x1-x2+2x3=1上的全体向量 W2={(x,x2,x)|x1-x2+2x3=1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的,而W2不封闭。 定义2.3设W是线性空间V(F)的非空子集,如果W对V中的运算也构成 域F上的线性空间,则称W为V的线性子空间(简称子空间)。 定理21线性空间V(F)的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W 对于V(F)的线性运算封闭。 证V(F)中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对W都成立 对数乘封闭,所以取λ=0和-1,即得 0a=0∈W,(-1)=-a∈W, 故W是V(F)的线性子空间 例1{0}是V的一个子空间,叫做零子空间;V本身也是V的一个子空间。 它们称为V的平凡子空间,V的其它子空间称为非平凡子空间。 例解空间S是R"的一个子空间。R[x]3是Rx]的一个子空间,R[x {ao+ax|a,a∈R}是Rx]的一个子空间。 例R的下列子集 W1={(x,y,z)|2x=3y=z W2={(x,y,z)|x+y+z= W1是R的一个子空间,而W2不是子空间 定义2.4设S是线性空间V(F)的非空子集,S中所有有限子集在域F上的 切线性组合所组成的V(F)的子集合,称为S的线性扩张,记作L(S),即 L(S)=(λα1+…+λa|λ,…,λ∈F,α,…,a∈S,keN} 定理2.2线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张L(S)是V中包含S的最小 子空间 证L(S)显然包含S。先证L(S)是V的一个子空间 设α,β∈S,则存在αn…,a;β1,,Bn∈S,使得 0=入1+22+…+aCn,β=uβ1+…+μa阝n 其中λ,λ2…,λ-;μ,…,μ∈F,于是 α+=(a1+a2+…+An+μuB1+…+μB1∈L(S) yλ∈F,也有 入a=λa1+λ入a2+…+入aa∈L(S) L(S)对加法和数乘封闭,是V的一个子空间。 设W是V中包含S的任一子空间,则对任意的
2-2 线性子空间 例 R 3中过原点的平面 x1 −3 x2 + 5x3 = 0 上的全体起点在原点向量 W1 = {(x1, x2, x3) x1 −3 x2 + 5x3 = 0} 不过原点的平面 x1 − x2 + 2x3 = 1 上的全体向量 W2 = {(x1, x2, x3) x1 − x2 + 2x3 = 1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的，而 W2不封闭。 定义 2.3 设 W 是线性空间 V(F)的非空子集，如果 W 对 V 中的运算也构成 域 F 上的线性空间，则称 W 为 V 的线性子空间(简称子空间)。 定理 2.1 线性空间 V(F)的非空子集 W 为 V 的子空间的充分必要条件是 W 对于 V(F)的线性运算封闭。 证 V(F)中数乘满足的 4 条性质及加法的交换律与结合律对 W 都成立。W 对数乘封闭，所以取 = 0 和 −1，即得 0 = 0 W , (−1) = − W , 故 W 是 V(F)的线性子空间。 例 1 {0}是 V 的一个子空间，叫做零子空间；V 本身也是 V 的一个子空间。 它们称为 V 的平凡子空间，V 的其它子空间称为非平凡子空间。 例 解空间 S 是 R n的一个子空间。 R[x]3是 R[x] 的一个子空间， R[x]2 ={a0 +a1xa0,a1R}是 R[x]3的一个子空间。 例 R 3的下列子集 W1 ={(x,y,z)2x=3y=z}, W2 ={(x,y,z)x+y+z=1 } W1是 R 3的一个子空间，而 W2不是子空间。 定义 2.4 设 S 是线性空间 V(F)的非空子集，S 中所有有限子集在域 F 上的 一切线性组合所组成的 V(F)的子集合，称为 S 的线性扩张，记作 L(S)，即 L(S)={11++kk1,,kF, 1,,kS, kN } 定理 2.2 线性空间 V(F)的非空子集 S 的线性扩张 L(S)是 V 中包含 S 的最小 子空间。 证 L(S)显然包含 S。先证 L(S)是 V 的一个子空间。 设 ,S，则存在 1,, m,；1,, n S，使得 =11+22 ++ mm ， =11 + + nn 其中1, 2,,r ; 1,, n F，于是 +=11+22 ++ mm+11 + + nn L(S) F, 也有 = 11+22 ++ mm L(S) L(S)对加法和数乘封闭，是 V 的一个子空间。 设 W 是 V 中包含 S 的任一子空间，则对任意的
=入1a1+入2a2+…+λaa∈L(S) 由于α,a2,…,an∈ScW,所以a∈W,从而LS)cW。因此L(S)是V中包含S的最 小子空间 称L(S)是由S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果S是有限子集{(,a,…, an},就称L(a,2:…,a)是由向量组{a,a2,…,aa}“张成”的子空间。 相反的问题:对一个代数结构(线性空间)是否能找到在所给运算下“扩张” 成这个结构的一组元素,当然这种元素越少越好。如用红、黄、蓝三种颜料按 定比例混合可以配成各种颜色的颜料,所以红、黄、蓝三种颜料可以“张成”各 种颜料为元素组成的集合A 定义25V(F)称为有限维线性空间,如果V中存在一个有限子集S,使得 L(S)=V:否则,称为无穷维线性空间 例5R是一个实数域上的有限维线性空间,因为R中存在有限子集S={ ,es},其中e={1,0,0},e2={0,1,0},e3={0,0,1}.使得L(S)=R。事实上,显 然有L(S)cR:又R中任一向量 α=(a,a,a)=aen+ae2+aea∈L(S) 所以RcL(S),因此L(S)=R。 例6R[xJ也是一个实数域上的有限维线性空间。有限子集S={1,x,x}, 使得L(S)=R[x] 同理,R[x]也是实数域上的一个有限维线性空间。而全体实系数多项色构成 的线性空间R区x则是实数域上的一个无穷维线性空间,因为它不存在一个有限子 集S,使得L(S)=R|x]。 有限维的线性空间是指存在有限个元素能张成这个空间,但有限个元集“至 少”要多少个?如R是3个;R"是n个。 如果B={α.a2…,an}使得L(B)=W,可否去掉B中一部份元素,使余下 的元素仍可张成W呢? 2-3线性相关性 R中的几何背景 若三个非零向量α,α2∝3共面(起点皆 在原点,则至少有一个向量可由另两个 向量线性表示(例如a3可由a2a2线性表 示),这等价于:存在不全为零的数入,A2λ3使入a1+02+03=0成立。这时如 果W=L(α,a,a),则W中任一向量也可由a,a2线性表示,从而a,2也可张成 W,即W=L(αx,a2)。若∝,a2,a3不共面(如R中基本向量e,e,e),则任一个向 量都不能由另两个向量线性表示,即只有入1=入2=3=0,才使λ1a1+λ202+303= 0。这表明a,2,a3中缺少任一个都不能张成W=L(x,a2,a3)
=11 + 22 ++ mm L(S) 由于1, 2, …, m SW，所以W，从而 L(S)W。因此 L(S)是 V 中包含 S 的最 小子空间。 称 L(S)是由 S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果 S 是有限子集{1, 2, …, m }, 就称 L(1, 2,…, m)是由向量组{1, 2, …, m }“张成”的子空间。 相反的问题：对一个代数结构（线性空间）是否能找到在所给运算下“扩张” 成这个结构的一组元素，当然这种元素越少越好。如用红、黄、蓝三种颜料按一 定比例混合可以配成各种颜色的颜料，所以红、黄、蓝三种颜料可以“张成”各 种颜料为元素组成的集合 A。 定义 2.5 V(F)称为有限维线性空间，如果 V 中存在一个有限子集 S，使得 L(S) = V；否则, 称为无穷维线性空间。 例 5 R 3是一个实数域上的有限维线性空间，因为 R 3中存在有限子集 S = {e1, e2, e3}，其中 e1={1,0,0}, e2 = {0, 1, 0}, e3 ={0, 0, 1}, 使得 L(S) = R3。事实上，显 然有 L(S) R 3；又 R 3中任一向量 = (a1, a2, a3) = a1e1+ a2e2 + a3e3L(S). 所以 R 3 L(S)，因此 L(S) = R 3。 例 6 R[x]3也是一个实数域上的有限维线性空间。有限子集 S = {1, x, x2 }， 使得 L(S) = R[x]3。 同理, R[x]n也是实数域上的一个有限维线性空间。而全体实系数多项色构成 的线性空间 R[x]则是实数域上的一个无穷维线性空间，因为它不存在一个有限子 集 S, 使得 L(S) = R[x]。 有限维的线性空间是指存在有限个元素能张成这个空间，但有限个元集“至 少”要多少个？如 R 3是 3 个；R n是 n 个。 如果 B = {1, 2,…,n}使得 L(B) = W，可否去掉 B 中一部份元素，使余下 的元素仍可张成 W 呢？ 2-3 线性相关性 R 3中的几何背景： 若三个非零向量1, 2, 3 共面 (起点皆 在原点，则至少有一个向量可由另两个 向量线性表示(例如3 可由1, 2 线性表 示)，这等价于：存在不全为零的数1, 2, 3使11 +22 + 33 = 0 成立。这时如 果 W=L(1, 2, 3)，则 W 中任一向量也可由1, 2线性表示，从而1, 2也可张成 W, 即 W = L(1, 2)。若1, 2, 3不共面(如 R 3中基本向量 e1, e2, e3)，则任一个向 量都不能由另两个向量线性表示，即只有1 = 2 = 3 = 0，才使11 +22 + 33 = 0。这表明1, 2, 3中缺少任一个都不能张成 W = L(1, 2, 3)。 3 2 2 3 3 2 1
图2-1 图2-2 定义2.6设V(F)是一个线性空间,a,α2…,aa∈V,如果存在不全为零的7 ∈F,使 入1a1+入22+…+λa=0 成立,则称∝,2,…,a线性相关,否则线性无关。 线性无关,即“没有不全为零的λ,λ2…,∈F,使得(2-5)式成立”,也就是 “对任何不全为零的λ,λ2…,∈F,(2-5)式都不成立”,这等价于“如果(2-5) 式成立,则λ,2…,必须全为零”,即“仅当λ,2…^全为零时,才使(2-5) 式成立”。 线性相关性:向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量a,a2…,an(m≥2)线性相关的等价定义是:若α,a2…,aa中有一个向 量可由其余向量在域F上线性表示,则称α,a2…,a线性相关。 定理2.3V(F)中的向量组a22…n(m22)线性相关的充分必要条件是 α,2…n中有一个向量可由其余向量在域F上线性表示。 证必要性:设α,ax2…,Ox线性相关,则存在不全为零的λ,^2…,λ∈F,使 得 入1a1+入2C aL.=0 为表述简便,不妨设λ1≠0,于是 a1=-入22-…-1-入an 充分性:若α,Q2…,an中的一个向量 μ-1C-1 则 uax+…+H-10-1-a+pax1+…+Haa=0 其中μ,…,μ,-1,μ#,…,μ不全为零,得证
图 2-1 图 2-2 定义 2.6 设 V(F)是一个线性空间，1, 2,, mV, 如果存在不全为零的1, 2,…, mF,使 11 + 22 ++ mm = 0 (2-5) 成立，则称1, 2,, m线性相关，否则线性无关。 线性无关，即“没有不全为零的1, 2,,mF, 使得(2-5)式成立”，也就是 “对任何不全为零的1, 2,,mF, (2-5)式都不成立”，这等价于“如果(2-5) 式成立，则1, 2,,m 必须全为零”，即“仅当1, 2,,m 全为零时，才使(2-5) 式成立”。 线性相关性：向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量1, 2,, m(m 2)线性相关的等价定义是：若1, 2,, m中有一个向 量可由其余向量在域 F 上线性表示，则称1, 2,, m线性相关。 定理 2.3 V(F)中的向量组1,2,,m(m2)线性相关的充分必要条件是 1,2,,m中有一个向量可由其余向量在域 F 上线性表示。 证 必要性：设1, 2,, m线性相关，则存在不全为零的1, 2,,mF, 使 得 11 + 22 + + mm = 0 为表述简便，不妨设 1 0 , 于是 1= −1 −1 22 − − 1 −1 mm 充分性：若1, 2,, m中的一个向量 j = 11 ++ j−1j−1 + j+1j+1 ++ mm 则 11 ++ j−1j−1 − j + j+1j+1 ++ mm = 0 其中1,, j−1, −1, j+1,, m不全为零，得证。 1 1 O O
定理2.3的等价命题α1,ax2…,a(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示 例1R中的e,ea,…,en是线性无关的,其中e=(0,…,0,1,0,…0)是第i个 分量为1,其余分量全为零的向量。因为,由 λe1+λ2e2+…+λea=0 必有λ1=入2 例2线性空间中向量a线性相关的充分必要条件是a为零向量。 例3含零向量的任何向量组{0,a,,…,a-}都线性相关。因为彐λ≠0使 入0+0 0an=0 例4判别R中向量组{a1,a2,ax3和{B,B2B3}的线性相关性,其中 (1,0,-1); 阝1=(1,-3,1) 阝2=( β3=(1,1,3 解a=01-02,∝1,a2,a3线性相关。 对β,β2β3,按定义判别。设 β1+x2B2+x3B3= 3,1)+x2(-1,2,-2)+x3(1,1,3)=(0,0,0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组 万一+与=0 -2+3 这个方程组只有零解x1=x2=x3=0。即只有全为零的x,x2,X3才使成立,故 β,βB2,B3线性无关。 般若β=(a1,b,c1),β2=(a2,b,c2),B3=(a,b3,c3),则β,B2B3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a1+a2与+a31=0 +b2巧+b3百 +c+ 有非零解(只有零解)。由此得R中任何4个向量,R"中任何n+1个向量都线 性相关。 例5p(x)=1+x,p(x)=1-x,p(x)=x+x2是线性无关的。因为设
定理 2.3 的等价命题 1, 2,, m(m 2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示。 例 1 R n中的 e1, e2,, en 是线性无关的, 其中 ei =(0,, 0, 1, 0,,0)是第 i 个 分量为 1，其余分量全为零的向量。因为，由 1e1 + 2e2 ++ mem = 0 即 (1, 2,, n) =(0,0,,0) 必有 1 = 2 == n = 0. 例2 线性空间中向量 线性相关的充分必要条件是 为零向量。 例 3 含零向量的任何向量组{0, 1, 2,, m}都线性相关。因为 使 0 + 0 1 + 02 ++ 0 n = 0. 例 4 判别 R 3中向量组{1, 2, 3}和{1, 2,3}的线性相关性, 其中 1 = (1, 1, 0) , 2 = (0, 1, 1) , 3= (1, 0, −1) ; 1 = (1, −3, 1) , 2 =(−1, 2, −2) , 3 =(1, 1, 3). 解 3=1−2, 1, 2, 3线性相关。 对 1, 2, 3，按定义判别。 设 x1 1 + x2 2 + x3 3 = 0 即 x1(1, −3, 1) + x2 (−1, 2, −2) + x3 (1, 1, 3) = (0, 0, 0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组: x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 2 0 2 3 0 − + = − + + = − + = 这个方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0。 即只有全为零的 x1 , x2 , x3才使 成立，故 1, 2, 3线性无关。 一般若 1 = (a1 , b1 , c1 ) , 2 = (a2 , b2 , c2 ), 3 = (a3 , b3 , c3 ), 则1, 2, 3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a x a x a x b x b x b x c x c x c x 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0 0 0 + + = + + = + + = 有非零解（只有零解)。由此得 R 3中任何 4 个向量 , Rn中任何 n + 1 个向量都线 性相关。 例 5 p1(x) = 1+x, p2(x) = 1− x, p3(x) = x + x2 是线性无关的。因为设
+3(x+x2)=0(零多项式) 即 (1+2)+(1-+3)x+3x2=0 于是 (1+12)=0; 从而得1=λ2=A3=0。故p(x),p(x),p(x)线性无关 例6如果向量组{α,α2…,aa}线性无关,则其任一子集也线性无关:如果 向量组{a,a2,…,ah}线性相关,则任何包含它的向量组也线性相关 设{α,αx…α}线性无关,子集为{α,αx,…,ax},如果 入1a1+202+…+λk=0 则必有入1=2=…=k=0(否则有不全为零的λ1,λ2…λ,使 入a1+202+…+λk+00gx1+00k2+…+00n=0 成立,这与假设矛盾),所以{α1,a2…,4线性无关。 定理2.4若向量组{α,αx2…,a}线性无关,而向量组{β,a1a2…,a}线 性相关,则β可由α,α2,…,ax线性表示,且表示法唯 证{β,∝,2,…,a线性相关,存在不全为零的数量λ,λ,λ,…,λ使得 入阝+2x1+x2+…+2axn=0 其中λ必不等于零(如果λ=0,则由{α1,αx2…,a-}线性无关又得λ1,λ2…,λn 必全为零,与题设矛盾),于是 B=--a1-2x2-…-x 再证表示法唯一,设有两种表示法: 阝=ba+ba2+…+b β=c1tc22+…+caOn 于是 (b-c1)a+(b2-c2)x2+…+(bn-c)=0 而{αx,αx2…,∝h}线性无关,所以b-c=0.,即b=c(i=1,2,…,n),故β由a 2…,an的表示法唯
1 (1+x)+ 2 (1− x) + 3 ( x + x2 ) = 0 (零多项式) 即 (1 + 2 ) + (1 −2+3 ) x + 3 x 2 = 0 于是 (1 + 2 ) = 0; 1 −2+3 = 0; 3 = 0 从而得 1 = 2 = 3 = 0 。 故 p1(x) , p2(x), p3(x)线性无关 例 6 如果向量组{ 1, 2,, n}线性无关，则其任一子集也线性无关；如果 向量组{ 1, 2, … , n}线性相关，则任何包含它的向量组也线性相关。 设{ 1, 2,, n}线性无关，子集为{ 1, 2,, k},如果 11 + 22 ++ kk = 0 则必有1 = 2 ==k = 0 （否则有不全为零的 1 , 2 ,,k ,使 11 + 22 ++ kk + 0k+1 + 0k+2 ++ 0n = 0 成立，这与假设矛盾），所以{ 1, 2,, k}线性无关。 定理 2.4 若向量组{ 1, 2,, n}线性无关 , 而向量组{, 1, 2,, n}线 性相关 , 则 可由1, 2,, n线性表示，且表示法唯一。. 证 {, 1, 2,,n}线性相关，存在不全为零的数量 ,1, 2,,n使得 +11 + 22 ++ nn = 0 其中 必不等于零(如果 = 0,则由{ 1, 2,, n}线性无关又得 1 , 2 ,, n 必全为零，与题设矛盾), 于是 = − -1 11 − -1 22 −− -1 nn 再证表示法唯一，设有两种表示法： = b11+b22 ++bnn = c11+c22 ++cnn 于是 ( b1 − c1)1+(b2 − c2)2++(bn − cn)n=0 而{ 1, 2,, n}线性无关，所以 bi − ci = 0, 即 bi = ci ( i = 1, 2,, n ), 故由1, 2,, n的表示法唯一
推论如果{α,α2…,an}是R中线性无关的n个向量,则R"中任一个向量 a可由a,.2…、On线性表示,且表示法唯一。这是因为R"中任何n+1个向量都线性 相关 定理2.5设V(F)中向量组{β1,β2…,β、}的每个向量可由另一向量组{a1, x2…,a}线性表示。如果s>r,则{β,β2…,βB,}线性相关 R中的几何背景是什么? 证设B=∑a(其中入∈F,j=1,2,…S),又设 X1β1+x2β2+…+xβ=0 ∑xB=∑x∑4)=∑∑xx=0 (两个和号可以交换次序),上式α(i=1,2,…,n)的系数全为零,即 x=0, 式是关于x1,x2,…,x的齐次线性方程组,由于其方程个数r<s,因此必有非 零解,从而有不全为零的x1,x2,…,x使式成立,故{β,β2…,β}线性相关 定理2.5的等价命题如定理2.5所设,若{β1,B2…,B}线性无关,则ssr 2-4有限维线性空间的基和维数向量组的秩 线性空间ⅴ(F)L(α1,…)=L(β,…,B-), 两个子集B1={αn…,a}和B2={B1,…B}都线性无关,则由 阝∈V(F)=L a) 即得m≤n,再由 a;∈V(F)=L(β1,…,βa)i=1,…,n, 又得n≤m,从而m=n 定义2.7如果线性空间(F)的有限子集B={α14…}线性无关,且L(B)= V,则B称为V的一组基,并称n为V的维数(或说V是n维线性空间),记作 dimv=n
推论 如果{ 1, 2,, n}是 R n中线性无关的 n 个向量，则 R n中任一个向量 可由1,2,,n线性表示,且表示法唯一。这是因为 R n中任何 n+1 个向量都线性 相关。 定理 2.5 设 V(F)中向量组{1, 2,, s }的每个向量可由另一向量组{1, 2,, r}线性表示。如果 sr, 则{1, 2,, s }线性相关。 R 3中的几何背景是什么？ 证 设 i r i j ij = = 1 （其中ijF, j = 1, 2,,s), 又设 x1 1 + x2 2 ++ xs s = 0 即 i r i j s j ij r i ij i s j j j s j j x x x = = = = = = = 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = 0 (两个和号可以交换次序)，上式 i (i = 1, 2,, n)的系数全为零, 即 0, 1 = = j s j ij x i = 1,, r 式是关于 x1 , x2 ,,xs 的齐次线性方程组，由于其方程个数 r < s ,因此 必有非 零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,,xs使 式成立，故{1, 2,, s}线性相关。 定理 2.5 的等价命题 如定理 2.5 所设，若{1, 2,, s}线性无关, 则 sr. 2 - 4 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩 线性空间 V(F)=L(1,,n)=L(1,,m)， 两个子集 B1 = {1,,n} 和 B2 = {1,,n}都线性无关，则由 j V(F) = L(1,,n) j = 1,, m 即得 m n , 再由 i V(F) = L(1,,m) i = 1,,n , 又得 n m, 从而 m = n. 定义 2.7 如果线性空间 V(F)的有限子集 B = {1,,n}线性无关, 且 L(B) = V, 则 B 称为 V 的一组基，并称 n 为 V 的维数(或说 V 是 n 维线性空间)，记作 dimV = n
如果L(S)=V(S是V的有限子集),则S中最大的线性无关向量的个数就 是V的维数。 例R"的维数是n,称为n维向量空间,其中的向量称为n维向量。它的基 {e,e2…;en}叫做自然基。 R[x]是3维线性空间,B1={1,x,x}和B2={1+x,1-x,x+x2}都是R[x]3的 基,,R[x]是n维线性空间,B={1,x,x2…x”}是它的一组基,也叫自然基。 零子空间{0}的维数为零, 在n维线性空间V中,任何n+1个向量n,n2;…,n,都是线性相关的。任 何n个线性无关的向量组成的子集B'={β1…Ba}都是V的基,基并不唯一,但 任一组基所含向量的个数是唯一的。 定理2.6如果W是n维线性空间V的一个子空间,则W的基可以扩充为 V的基(即W的基可添加Ⅴ中若干向量成为V的基) 证归纳法:设W的基B1={α14…on},如果m=n,B1就是V的基.如果m <n,则必存在eV使{ax1…,nan}线性无关,不然的话,dmV<n,与假设 矛盾。如果m+1=n,定理已得证,如果,m+1<n,继续上述步骤,必存在α灬x…, an∈V,使{a…,α,α-l,…aa}线性无关,这就是V的基。 定义2.8设ScV(F),如果S中存在线性无关的向量组B={a,…a-}.且S 中每个向量可由B线性表示,则r叫做S的秩,记作秩(S)=r S是V(F)的子空间,秩(S)=r。→(S)=r (1)秩(S)=r,则S中任何r+1个向量都线性相关。因此S中任何线性无关 的向量组至多含r个向量,并把含r个线性无关向量的向量组称为S的极大线性 无关组。 (2)如果秩(S)=,B={αx,…,a-}是S的极大线性无关组,则L(S)=L(B),即 imL(S)=秩(S) (3)如果S,T是V(F)的两个有限子集,且S中每个向量可由T线性表示 则秩(S≤秩(D。 (4)如果S,T是V(F)的两个有限子集,则L(S)=L(T的充要条件是:S中每 个元素可由T线性表示,且T中每个元素也可由S线性表示(此时也称S与T是 等价向量组)。 证明结论(3) 证设S={a,…a}的极大线性无关组为Bs={a1,…,a}(秩(S)=p),T= B,…Bn}的极大线性无关组为B1={B1…B}(秩(T)=);。由于S中每个向量可由
如果 L(S) = V （S 是 V 的有限子集），则 S 中最大的线性无关向量的个数就 是 V 的维数。 例 R n的维数是 n, 称为 n 维向量空间，其中的向量称为 n 维向量。它的基 {e1,e2,, en}叫做自然基。 R[x]3是 3 维线性空间, B1 = {1, x ,x2 }和 B2 = {1 + x , 1−x , x + x2 }都是 R[x]3 的 基,. R[x]n是 n 维线性空间，B = {1, x, x2 ,,x n-1 }是它的一组基，也叫自然基。 零子空间{0}的维数为零， 在 n 维线性空间 V 中，任何 n + 1 个向量 1, 2,,n+1,都是线性相关的。任 何 n 个线性无关的向量组成的子集 B * = {1,,n}都是 V 的基，基并不唯一，但 任一组基所含向量的个数是唯一的。 定理 2.6 如果 W 是 n 维线性空间 V 的一个子空间， 则 W 的基可以扩充为 V 的基(即 W 的基可添加 V 中若干向量成为 V 的基)。 证 归纳法：设 W 的基 B1 = {1,,m}，如果 m = n , B1就是 V 的基. 如果 m < n，则必存在m+1V 使{1,,m, m+1}线性无关，不然的话， dimV < n , 与假设 矛盾。如果 m+1 = n , 定理已得证, 如果，m + 1 < n , 继续上述步骤，必存在m+2,, n V，使{1, , m ， m+1,,n }线性无关，这就是 V 的基。 定义 2.8 设 SV(F)，如果 S 中存在线性无关的向量组 B = {1, ,r}. 且 S 中每个向量可由 B 线性表示，则 r 叫做 S 的秩，记作秩(S) = r . S 是 V(F)的子空间，秩(S) = r。(S)=r (1) 秩(S) = r, 则 S 中任何 r + 1 个向量都线性相关。因此 S 中任何线性无关 的向量组至多含 r 个向量，并把含 r 个线性无关向量的向量组称为 S 的极大线性 无关组。 (2) 如果秩(S) = r, B = {1,, r}是 S 的极大线性无关组，则 L(S) = L(B), 即 dimL(S)=秩(S). (3) 如果 S, T 是 V(F)的两个有限子集，且 S 中每个向量可由 T 线性表示， 则秩(S)秩(T)。 (4) 如果 S, T 是 V(F)的两个有限子集，则 L(S) = L(T)的充要条件是: S 中每 个元素可由 T 线性表示, 且 T 中每个元素也可由 S 线性表示(此时也称 S 与 T 是 等价向量组)。 证明结论(3) 证 设 S = {1,,s}的极大线性无关组为 BS= { 1,,p}(秩(S) = p), T = {1,,t}的极大线性无关组为 BT = {1,,r}(秩(T) = r);。由于 S 中每个向量可由
T线性表示→由B线性表示,即得p≤r 例已知R的一个子集S={a,.2a2ax},其中 1=(1,1,0,1),a2=(0,1,2,4),3=(2,1,-2.-2),4=(0,1,1,1) 试求LS)的维数及其一组基B。 解求S的一个极大线性无关组, 法1:先考察∝1,α2如线性无关(不成比例):再考察α,a2a3如线性无 关,再考察a,α2a2a4;如α,a2a3线性相关,去掉α3,再考察α,a2,4;如此 继续下去,即可找到S的一个极大线性无关组 法2设 x1O1+x2Q2+x3O3+x404=0 (1) 得方程组 (2) 0x1+2x2-2x3+x4=0 4x2-2x3+x4=0 其增广矩阵为 l111;0 厅初等变换 02-21:0 020:0 (4) 0001:0 0000:0 (4)所对应的齐次线性方程组有非零解,所以α1,2,a3,1线性相关。由于(3) 中的系数矩阵的4个列向量分别是a1,a2,a2,a4,因此,如果去掉a3,考察a1,Q2, 4的线性相关性,设 xa1+x2Q2+x404=0 则由(5)所得的方程组的增广矩阵就是把(3)中第3列去掉的矩阵。用高斯消 元法解方程组 (5)得到的同解方程组对应的增广矩阵就是在矩阵(4)中去掉第3列,即 00:0 (6) 000:0 (6)所对应的方程组只有零解x=x2=x4=0,故α,a2,a4线性无关它就是S 的一个极大线性无关组。于是dmnL(S)=3,L(S)的一组基为{a1,a2,a4}
T 线性表示 由 BT线性表示，即得 p r . 例 已知 R 4 的一个子集 S = { 1,2, 3, 4}，其中 1 = (1, 1, 0, 1), 2 = (0, 1, 2, 4), 3 = (2, 1, −2. −2) , 4 = (0, 1, 1, 1). 试求 L(S)的维数及其一组基 B。 解 求 S 的一个极大线性无关组， 法 1: 先考察 1, 2, 如线性无关（不成比例）； 再考察 1, 2, 3, 如线性无 关，再考察1, 2, 3, 4 ；如1, 2, 3 线性相关，去掉 3, 再考察1, 2, 4 ；如此 继续下去，即可找到 S 的一个极大线性无关组。 法 2 设 x11 + x22 + x33 + x44 = 0 （1） 得方程组 + − + = + − + = + + + = + + + = 4 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （2） 其增广矩阵为 ⎯⎯⎯⎯→ − − 行初等变换 1 4 2 1 0 0 2 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 （3） − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 （4） （4）所对应的齐次线性方程组有非零解，所以1 ,2 ,3, 4 线性相关。由于（3） 中的系数矩阵的 4 个列向量分别是1 ,2 ,3, 4，因此，如果去掉 3，考察 1 ,2 , 4 的线性相关性，设 x11 +x22 +x44 = 0 （5） 则由（5）所得的方程组的增广矩阵就是把（3）中第 3 列去掉的矩阵。用高斯消 元法解方程组 （5）得到的同解方程组对应的增广矩阵就是在矩阵（4）中去掉第 3 列，即 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 （6） （6）所对应的方程组只有零解 x1 = x2 = x4 = 0, 故1 ,2 , 4 线性无关,它就是 S 的一个极大线性无关组。于是 dimL(S) = 3, L(S) 的一组基为{1 ,2 , 4 }
上述求S的一个极大线性无关组的方法是:把增广矩阵用高斯消元法(即对 矩阵作初等行变换)化为增广矩阵时,其中每一行第一个非零元1所在的列(第1 2,4列)所对应的列向量(即α1,a2,ax)就是S的一个极大线性无关组。 25向量的坐标 定义2.9设B={B,B2…,B3}是n维线性空间v(F)的一组基,如果V中元 素α表示为 a=a阝1+a2+…+an阝a 则其系数组a,a2…,a叫做α在基B下的坐标,记作a=a,a…,an),坐标是唯 确定的 元素的坐标是由所选的基决定的,同一元素在不同的基下一般有不同的坐 标;又基B的向量组是有序的,因此坐标c是有序数组,是F中的一个向量 给定了V(F)的一个基B,V中元素与F中的向量一一对应:而且保持元素间的 线性运算关系不变,即如果 β=(b,b2…,b 则 (α+β)=(a+b,a+b,…,an+ba)=aB+B (入)=(a,λa…,an)=λB n维线性空间V(F),都可以通过基和坐标,归结为研究n维向量空间F"。如 果F"=R",其元素(a,a,…,a)就是n维几何向量。有时把线性空间叫做向量空间 也就是合理了。 例1R中的向量α=(a,ax;…,a)是在自然基B=(e,e,…,en)下的坐标; R[x]中的p(x)=a+ax+ax2在自然基B=(1,x,x2)下的坐标(p(x)=(a,a,a) 例2R"有一组基B={β,β32…,Bn},其中 β1=(1,13…,1),β2=(0,1,…,1),…,Bn=(0,0,…,1) 试求α=(a,a2…,a)=ae+ae2+…+aen在基B下的坐标a 解设αB=(x,x2…,x),即 a=X1β1+xB2+…+xB1 于是
上述求 S 的一个极大线性无关组的方法是：把增广矩阵用高斯消元法(即对 矩阵作初等行变换)化为增广矩阵时，其中每一行第一个非零元 1 所在的列(第 1, 2, 4 列)所对应的列向量(即1 ,2 , 4)就是 S 的一个极大线性无关组。 2-5 向量的坐标 定义 2.9 设 B＝{1, 2,, n}是 n 维线性空间 V(F)的一组基，如果 V 中元 素表示为 =a11 + a22 ++ ann 则其系数组 a1, a2,, an叫做 在基 B 下的坐标，记作B =(a1, a2,, an )，坐标是唯 一确定的。 元素的坐标是由所选的基决定的，同一元素在不同的基下一般有不同的坐 标；又基 B 的向量组是有序的, 因此坐标 B是有序数组，是 F n中的一个向量。 给定了 V(F) 的一个基 B, V 中元素与 F n中的向量一一对应；而且保持元素间的 线性运算关系不变，即如果 B ＝(a1, a2,, an), B ＝(b1, b2,,bn), 则 (＋)B = (a1 + b1, a2 + b2 ,, an+bn ) = B +B , ()B = (a1, a2,, an) = B , n 维线性空间 V(F)，都可以通过基和坐标，归结为研究 n 维向量空间 F n。如 果 F n =R n，其元素(a1, a2,, an)就是 n 维几何向量。有时把线性空间叫做向量空间， 也就是合理了。 例 1 R n 中的向量 = (a1, a2, , an) 是在自然基 B= (e1, e2,, en)下的坐标; R[x]3中的 p(x) = a0+a1x + a2x 2 在自然基 B =(1, x, x2 )下的坐标(p(x))B= (a0, a1, a2 )。 例 2 R n 有一组基 B = {1, 2,, n}，其中 1 =(1, 1,,1), 2 = (0, 1,,1),, n = (0, 0,, 1), 试求 = (a1, a2,, an)= a1e1 + a2e2 ++ anen在基 B 下的坐标B 。 解 设B = (x1, x2,, xn)，即 = x11+x22 ++ xnn 于是
x1+x2=a2 x1+x2+…+xn=a 解这个方程组,得x1=a,x2=a2 ∴.,Xn=an-an-1 例3若Rx的基B=(1,x-1,(x-1),则容易证明p(x)=aax+ax2在 基B下的坐标为:(p(x)=( astata,a+2a,a2)
+ + + = + = = n an x x x x x a x a 1 2 1 2 2 1 1 解这个方程组，得 x1 = a1, x2 = a2 − a1, , xn = an−an-1 . 例 3 若 R[x]3的基 B ＝(1，x−1，(x−1) 2 ), 则容易证明:p(x) = a0+a1x + a2x 2 在 基 B 下的 坐标为: (p(x))B = ( a0+a1+a2, a1+2a2, a2 )