线代辅导1 集合 P51-8(4)已知某班50个学生第一次考试有26人不及格,第二次考 试有21人不及格,又已知两次考试都及格的有17人.问:两次考试都 不及格的有多少人? 解法1设第一次考试不及格有|A|=26,第二次考试不及格有 B|=21,两次考试都及格的有A8=1两次考试都不及格的有 A⌒B|=|A|+|B|-|AB|=26+21450-17)=14 解法21AB1==3-列=3-++F 50-[24+29-17=14 8(6)’设某校足球队有队员22人,篮球队有队员10人,排球队有 队员12人,但参加三支球队的学生只有35人,其中有2人同时 参加三个队,问:同时只参加两个队的人数x=? 解足球队员|A|=2,篮球:|B|=10,排球:|C|=12, 35,A∩B∩C|=2 AUBC|=|A|+|B|+|C|-|A⌒B|-|BC|-|A⌒C|+ +A∩B⌒C|, x= AnB BnC|+ AnC -3 AnBnCl =22+10+12-4-35=5 8(7)在1到40之间的40个整数中,能被2,3,5任何一个整除的 数有几个? 答:(402]+[40/3H+1405])(4023+[4025}+[40/35])+[40235}=30 9.集的∪,∩⌒运算有消去律吗?(1)AUB=A∪C可得B=C吗? (2)A∩B=A∩C可得B=C吗?(3)已知扎∪B=AUC, A∩B=A∩C,证明:B=C 证法1B=BL(A∩B)=B(AC)=(B∪A(B∪C) C=C(A⌒CC(AB)=(CUA(C∪B)→B=C 法2x∈B→x∈AAB=A⌒C→x∈C orx∈BMA,x∈A∪B=A∪C→x∈C,所以BC vx∈C→x∈AnC=AB→x∈B orx∈CMA,ⅹ∈A∪C=A∪B→x∈B,所以CcB;→B=C 关系、序 P52-13下列集合中的关系是否是等价关系,若是,写出商集。 (1)实数集上定义关系:xR台x-y为无理数或0 解没有传递性,如a=2,b=2+π,c=3 (6)集合C={(a+bia,b∈R,a≠0}上定义关系 (a+b)Ra2+b2)4>0 解有自反性,对称性,传递性。C*/R={C1,C2}, C1={an+bia>0,b∈R}C2={a+b2ia2>0,b2∈R} P59补2在复数集C中,能否定义二元关系R使C成为全序集? 解定义(a+bi)R(abi)分a<a或al=a时b≤b→R是 反对称,是偏序关系,也是全序关系 补充题5.我们把A×A的一个子集R定义为A上的一个二元关
线代辅导 1 集合 P51-8(4) 已知某班 50 个学生第一次考试有 26 人不及格, 第二次考 试有 21 人不及格,又已知两次考试都及格的有 17 人. 问:两次考试都 不及格的有多少人? 解法 1 设第一次考试不及格有A=26,第二次考试不及格有 B=21, 两次考试都及格的有 AB =17,两次考试都不及格的有 AB=A+B-AB=26+21-(50-17)=14. 解法 2 AB= A B = 50 − A B = 50 −[ A + B − A B ] =50-[24+29-17]=14 8(6) * 设某校足球队有队员 22 人，篮球队有队员 10 人，排球队有 队员 12 人，但参加三支球队的学生只有 35 人，其中有 2 人同时 参加三个队，问：同时只参加两个队的人数 x=？ 解 足球队员A=22，篮球：B=10，排球：C=12， ABC=35, AB C =2, ABC=A+B+C-AB-B C-A C+ +AB C, x=AB+B C+A C-3AB C =22+10+12-4-35=5. 8(7) * 在 1 到 40 之间的 40 个整数中，能被 2, 3, 5 任何一个整除的 数有几个？ 答: ([40/2]+[40/3]+[40/5])-([40/2.3]+[40/2.5]+[40/3.5])+[40/2.3 .5]=30. 9. 集的，运算有消去律吗？（1） A B = AC 可得 B=C 吗？ （2） A B = AC 可得 B=C 吗？（ 3）已 知 A B = AC , A B = AC ,证明：B=C。 证法 1 B= B(AB)= B(AC)= (BA) (BC) C= C(AC)= C(AB)= (CA) (C B)B=C 法 2 xBxAB= AC xC or xB\A, xAB=AC xC,所以 BC; xCxAC= AB xB or xC\A, xAC=AB xB,所以 CB; B=C. 关系、序 P52-13 下列集合中的关系是否是等价关系，若是，写出商集。 (1) 实数集上定义关系： xRy x − y 为无理数或 0； 解 没有传递性，如 a=2, b=2+， c=3. (6) 集合 {( | , , 0} * C = a + bi a bR a 上定义关系： (a1 +b1 i)R(a2 +b2 i) a1a2 0. 解 有自反性，对称性，传递性。C*/R={C1, C2}, C1={a1+b1ia1>0, b1R},C2={a2+b2ia2>0, b2R}. P59-补 2 在复数集 C 中, 能否定义二元关系 R 使 C 成为全序集？ 解 定义(a1+b1i)R(a2+b2i) a1< a2 或 a1= a2 时 b1 b2R 是 反对称，是偏序关系，也是全序关系。 补充题 5. 我们把 A A 的一个子集 R 定义为 A 上的一个二元关
系,即ya,b∈A,如果(a,b)∈R就说ab具有关系R,即aRb 设A={a,b,c},试判断A上的下列二元关系是否具有自反性 对称性、反对称性和传递性: (1)R={aa)(a,b)(a,c),(c,c)};反对称,传递性 (2)R2={(a,a,(b,b)(c,c)(a,b),(b,a);自反,对称,传递性。 (3)R3={(a,a)(a,b),(b,b)(b,c)};反对称性。 (4)R={a,a),(bb,(c,c);自反,对称,反对称,传递性。 (5)R={(a,b)(a,c),(c,a)};没有各性。 从列表上看:自反性看主对角元;对称性看对其的对称等 补7.举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子 如{(a,b}(a,c),(c,a)} P53-14.证明:若集合A中的二元关系R满足:(1)a∈A,aRa (2)va,bc∈A,如果有aRb和aRc,就必有bRc,则R是等价关系。 证明有自反性;若有aRb和aRa,就必有bRa,即对称性 若有aRb就有bRa对称性)和bRc,就有aRc即传递性。所以 R是等价关系。 P53-15.有人说,二元关系R如果具有对称性和传递性,就必有 自反性,因为有aRb,就有bRa,从而有aRa,这种说法对吗? 答:不对。有aRb,就有bRa,从而有aRa,与“va,有aRa”,不 等价。 加题1在正有理数集Q={41pq∈N}中,如何定义一种二元关系 R,使(q+,R)为全序集 正有理数集和自然数集之间可否建立一个(双射)一一对应? 答:可以。Q={2(pq)=1Pq∈z+},p视为数偶(pq)将 Q中全体数依如下顺序排列: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(16)12471116 (2,1)(2,3)(2,5)(2,7)(2,9) 3581217 (3,1)(3,2)(3,4)(35) 691318 (4,1)(4,3)(4,5) 101419 (5,1)(5,2) 1520 (6,1) 21 *题X=(0,1)和Y=[0,1数集之间可否建立一个一一对应? x∈X∩(R`Q),令x=y, x∈X∩Q,将(0,1)排序为al,a,a3.…ax+1,an+2,, 将[0,1排序为0,1,a,a-l,a 映射 f:a10,a2+→1;an1+→a1(=34…) 20设AB是两个集合,A→B,g:B→A证明:若gf是A到A的
系，即 a, b A, 如果 (a, b) R, 就说 a,b 具有关系 R, 即 aRb. 设 A = {a, b, c}, 试判断 A 上的下列二元关系是否具有自反性、 对称性、反对称性和传递性： (1) R1 ={(a,a), (a,b), (a,c), (c,c)}； 反对称，传递性。 (2) R2 ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}； 自反，对称，传递性。 (3) R3 ={(a,a), (a,b), (b,b), (b,c)}； 反对称性。 (4) R4 ={(a,a), (b,b), (c,c)}； 自反，对称，反对称，传递性。 (5) R5 ={(a,b), (a,c), (c,a)}； 没有各性。 从列表上看：自反性看主对角元；对称性看对其的对称等。 补 7. 举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子. 如 {(a, b},(a, c), (c, a)} P53- 14. * 证明：若集合 A 中的二元关系 R 满足：(1) a A,aRa, (2) a,b,c A,如果有 aRb 和 aRc, 就必有 bRc, 则 R 是等价关系。 证明 有自反性；若有 aRb 和 aRa, 就必有 bRa,即对称性； 若有 aRb(就有 bRa-对称性)和 bRc, 就有 aRc 即传递性。所以， R 是等价关系。 P53-15. * 有人说, 二元关系 R`如果具有对称性和传递性, 就必有 自反性, 因为有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa, 这种说法对吗？ 答：不对。有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa,与“a,有 aRa”，不 等价。 加题 1.在正有理数集 { | p,q N} p q Q = + 中, 如何定义一种二元关系 R, 使 (Q , R) + 为全序集. 正有理数集和自然数集之间可否建立一个（双射）一一对应？ 答：可以。Q+={ + p q = p qZ q p ( , ) 1, , }, p/q 视为数偶(p,q）,将 Q+中全体数依如下顺序排列： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 1 2 4 7 11 16 (2,1) (2,3) (2,5) (2,7) (2,9) 3 5 8 12 17 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 6 9 13 18 (4,1) (4,3) (4,5) 10 14 19 (5,1) (5,2) 15 20 (6,1) 21 **题 X=(0,1)和 Y=[0,1]数集之间可否建立一个一一对应？ xX(RˋQ) ,令 x＝y， xXQ,将（0,1）排序为 a1, a2, a3，ai＋1, ai+2, ， 将[0,1]排序为 0, 1, a1, ,ai－1, ai, ， 映射 0, 1; ( 3,4, ) f：a1 a2 ai+1 ai−1 i = 20 设 A,B 是两个集合, f：A→ B,g：B → A. 证明：若 gf 是 A 到 A 的
恒等映射,则∫是单射,g是满射 证明:va∈A,gf(a)=α 若存在∝1≠2,有f(a1)=f(a2),则a1=gf(x)=gf(a2)=a2,矛盾 va∈A,gf(α)=α,3β=f(a)∈B,有g(β)=α,所以g为满射 21.设A,BC是三个集合,后AB,g:B→C.证明:若gf是A 到C的双射,则∫是单射,g是满射 证明:若存在a1≠2,有f(a1)=f(a2),则gf(a1)=gf(a2),与g单 射矛盾,所以f是单射。 va∈C,由gf是满射,3β∈A,gfβ)=αx,记f)=∈B,有g(y)=a, 所以g为满射。 22.设ABCD是四个集合,fA→B,g:B→Ch:C→D.证明 若gf和hg都是双射,则/g,h也都是双射 证明:由21题,gf是双射→∫是单射,g是满射:由lg是双 射→g是单射h是满射所以g是双射,g(gff是双射,h=hggl 是双射 命题 P54-24.先用符号表示简单命题,然后用符号运算表示下列语 句(复合命题) (2)我不能既爬山(M)又划船(B 解:-(MAB) (3)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言 解.P(你来),Q(他发言),R(你请他发言),命题:P→(Q∽→R) (4)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质 解占据空间(S),有质量(M,不断变化(X),叫物质 (B) SAMAX≌B (5)占据空间的、有质量的叫物质,而物质是不断变化的 (S∧MB)>X (6)除非你努力否则你将失败 解努力(H失败(F),-H→F (7)某次列车不是8点开就是20点开 解P(8点开),Q(20点开),命题:-PQ台(等价于)Q P→→ (-PvQ)∨(-Q√P)(Q>P)v(P→Q) P54-25.用量词,彐表示下列语句内容 (1)数集S中任一数x都大于4而且被4整除 (vx∈S)(x>4)A(4|x) (2)数集S中有的数不大于4或不被4整除; Bx∈S)(x≤4)(41x) 3)甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明(以p(x),q(x) r(x)分别表示学生很聪明、很努力、很文明,以X表示甲班学生集 (x∈X)(p∧q)v(r∧q 26.设x∈X(甲班学生集)y∈Y(乙班学生集),p(x,y表示x与y 同姓,q(x,y)表示x与y同年龄说明下列命题的含义
恒等映射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明: A, gf()= 若存在12，有 f(1)=f(2),则 1= gf(1)=gf(2)= 2,矛盾。 A, gf()=，=f()B,有 g()=,所以 g 为满射。 21 * . 设 A,B,C 是三个集合, f：A B, g：B C. 证明：若 gf 是 A 到 C 的双射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明：若存在12，有 f(1)=f(2), 则 gf(1)=gf(2),与 gf 单 射矛盾, 所以 f 是单射。 C, 由 gf 是满射, A, gf()=，记 f()=B,有 g()=, 所以 g 为满射。 22 * . 设 A,B,C,D 是四个集合, f：A B,g：B C,h：C D. 证明： 若 gf 和 hg 都是双射, 则 f,g,h 也都是双射. 证明：由 21 题，gf 是双射 f 是单射, g 是满射；由 hg 是双 射g 是单射,h 是满射,所以 g 是双射，g -1 (gf)=f 是双射，h=(hg)g-1 是双射. 命题 P54--24. 先用符号表示简单命题, 然后用符号运算表示下列语 句(复合命题)： （2） 我不能既爬山(M)又划船(B). 解： (MB) (3)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言. 解. P(你来), Q(他发言), R(你请他发言), 命题：P→(QR). (4)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质. 解 占 据 空 间 (S), 有 质 量 (M), 不 断 变 化 (X), 叫 物 质 (B) .SMXB. (5) 占据空间的、有质量的叫物质, 而物质是不断变化的. 解 (SM B )→X. (6) 除非你努力,否则你将失败. 解 努力(H),失败(F), H→F. (7) 某次列车不是 8 点开就是 20 点开. 解 P(8 点开), Q(20 点开), 命题：P Q (等价于)Q P (P Q) (QP) (Q→P) (P→Q) P54-25．用量词, 表示下列语句内容： (1) 数集 S 中任一数 x 都大于 4 而且被 4 整除； (xS)[(x>4) (4x)] (2) 数集 S 中有的数不大于 4 或不被 4 整除； (xS)[(x4) (4╢x)] (3) 甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明( 以 p(x), q(x), r(x) 分别表示学生很聪明、很努力、很文明, 以 X 表示甲班学生集； (xX)[(pq) (rq)] 26．设 x X (甲班学生集), y Y (乙班学生集), p(x, y)表示 x 与 y 同姓, q(x, y)表示 x 与 y 同年龄.说明下列命题的含义：
(a)(V x(v yp(x, y)vq(x,y)); (b)(彐x)彐y)(p(x,y)∧q(x,y) (c)(v xey(p(x, y)Ag(x,y)) (d)x(V y(p(x, y)vg(x,y)) 补9.利用(p→>q)-p√q证明 (1)p→>(q->p)分q-(P+) (q→-p); 解p->(q→)r)分→p(qvr)rv(-qp)分→(q→) 台-qy(pvr)分q>(p- 加题举出p∧qr的等价命题 p∧q→r台-r→-(p∧q)分→-py-q∈ ∧q→p -(p∧q)vr 证明:当p∧qr为假p∧q为真且r为假台q真p真且r假 r∧q→→p为假分r∧q为真且→p为假台r假q真且p真。 加题2.“存在不全为0的数x1,x2,,xn,使得 写出此命题的否命题 任意不全为0的数x1,x2,xn,均有x1a1+∞2x2+.+nxn≠0。” 或“若x1a1+a2x2+.+nXn=0,则数x1=x2=.=xn=0。” 27.设有m个n元有序数组 (as,a 已知:i∈{12,…,m},| au>lau|+…+|a-1|+|am|+…+|anl, 试写出这个已知命题的否命题 9i∈{1,2,…,m},|anan|+…+|an-1|+|a,+|+…+|am 向量 P5533.·设O是点A和点B连线外一点,证明:三点A,B,C共线 的充要条件是OC=AOA+OB,其中+u=1 证明→OC=OA+AC.=OA+同(O OB=10A+HOB 37.证明下列各对向量互相垂直 (1)(c·a)b-(b·a)c与a; (2)axb与λa+μb(λ,为任意常数) 解(1)a(c·a)b-(b·alc)=(c·a)(ab)-(b·aac=0. (2)(a×b)·(λm+pb)=λ(a(axb)μ(b·(axb))=0
(a) ( x)( y)( p(x, y) q(x, y ))； (b) ( x)( y)( p(x, y) q(x, y ) )； (c) ( x)( y)( p(x, y) q(x, y) )； (d) ( x)( y)( p(x, y) q(x, y) ). 补 9． 利用(p→q) p q,证明： (1) p→(q→r) q→(p→r)； (2) p→(q→r) r → (q→ p)； 解 p→(q→r) p(q r) r(qp) r → (q→ p) q(pr) q→(p→r). 加题 举出 p q→r 的等价命题： pq → r r → (pq) r → p q rq → p (pq)r . 证明：当 pq→r 为假 pq 为真且 r 为假 q 真 p 真且 r 假。 rq → p 为假 rq 为真且p 为假 r 假 q 真且 p 真。 加题 2. “存在不全为 0 的数 x1, x2,, xn,使得 x11+2x2++nxn=0”。 写出此命题的否命题. “任意不全为 0 的数 x1, x2,, xn,均有 x11+2x2++nxn0。” 或“若 x11+2x2++nxn=0，则数 x1= x2== xn=0。” 27. 设有 m 个 n 元有序数组 ( , , , ), 1,2, , . ai1 ai2 ain i = m 已知： {1,2, , }, | | | | | | | | | | m ai i ai1 ai,i 1 ai,i 1 ai n i ++ − + + ++ , 试写出这个已知命题的否命题. {1,2, , }, | | | | | | | | | | m aii ai1 ai,i 1 ai,i 1 ain i ++ − + + ++ 向量 P55-33. * 设 O 是点 A 和点 B 连线外一点, 证明：三点 A, B, C 共线 的充要条件是 OC = OA + OB, 其中 + =1. 证明 OC OA AC. OA (OB OA) AB AC = + = + − = OA OB OA OB AB AC AB AC + = + 1− ； 37. 证明下列各对向量互相垂直. (1) (c a)b − (b a)c 与 a； (2) ab 与a+b (,为任意常数). 解 (1) a( (c a)b − (b a)c)= (c a)(ab) − (b a)(ac)=0. (2) (ab) (a+b)= (a (ab))+ (b (ab) )=0 C A A A B A O
43.a,b,c为非零向量,下列命题是否成立? (1)如果a·b=a·c,且a≠0则b=c 如果axb=a×c,且a≠0则b=c (3)川aa=a2;(4)a(ab)=a2b;(5)(ab)2=a2b2;(6(ab)c=a(bc); (7)(axb)×c=ax(b×c);(8)a(b·b)=ab 解(1)不成立。如ab,c=b,a×b=a×c=0 (2)不成立。如c=a+b,axb=axc (3)(4)(5)(6)(7),均不对;(8)对 59.设〈S;·是可交换的半群.证明:如果S中的元素a,b满足aa=a, beb=b,则(a·b)(ab=a·b 证明(a.b)w(ab=a(ba)b=aw(ab)b=(a.a)bb=(ab) 加题F(-∞,∞)={/vx∈(-0,∞)f(x)∈R}, Vf, gER(∞,x) (fgx=f(g(x),问F(-∞,∞)是半群吗? 答有结合律:(f·g)h=f(gh单位元I(x)=x,是含幺半群。 60为含幺半群,x∈G,xx=e(幺元),证明<G,·为Abel 群, 证明Ⅴx∈G,xx=e,xlx,xy∈G,xwy∈G,(X)·(xX·)=e x)y=e→(y·x=xl 任一元存在逆元,乘积可交换,所以<G●为Abel群。 61.写出模8剩余类加群(z3:⊕)的所有子群 答{0},{0,4},{0,2,4,6} 64.在环(Z;,°)中,求每个非零元的乘法逆元 答{1,2,3,456},的逆元分别是1,4,5,2,3,6} 66在Z15中,找出方程x2=1的全部根 答{1,4,11} 补10在有理数集Q上定义二元运算“*”为a*b=a+b-ab讨论运 算“*”是否满足结合律和交换律?Q关于运算“*”是否存在单位 元?Q中每个元素是否可逆?可逆元的逆元是什么? 解Q上*是封闭的;* 有结合律:(a*b)*c=(a+b-ab)*c=a+b-abc-(a+b-ab)c a*(b*ca*(b+c-bc=a+b+c-bc-albtc-bc(a*b )*c 有交换律:(a*b)=(b*a),单位元为0:a*0=0*a=0; a*b=a+b-ab=0,b=a/a-1),当a≠1时,有逆元al=/a-1)a=1时 *b=1+b-1b=1≠0,所以1不可逆 补12.设S=Q\},S上的二元运算“*”如第11题所定义 (1)证明〈S:*)是一个群.(见11题的证明) (2)求方程2*x*3=7在S中的解 解(2)2*x*3=7,x=(2+x-2x)*3=7,(2-x)+3-3(2-x)=7,x=4 加题在环Z7中求方程x2+3=5的根
43. a ,b ,c 为非零向量，下列命题是否成立？ (1) 如果 a b = a c, 且 a 0 则 b = c； (2) 如果 a b = a c, 且 a 0 则 b = c. (3)aa=a 2 ; (4) a(ab)=a2b; (5) (ab) 2=a2b 2 ; (6)(ab)c=a(bc); (7) (ab)c = a(bc); (8) a(bb)=ab2. 解 (1）不成立。如 a⊥b, c=-b, a b = a c=0. (2) 不成立。如 c=a+b, a b = a c. (3),(4),(5),(6),(7), 均不对； (8)对 群，环，域 59. 设S; •是可交换的半群. 证明：如果 S中的元素a, b满足a•a=a, b•b=b;则(a•b) •(a•b)=a•b 证明 (a•b) •(a•b)=a•(b•a)•b)=a •(a•b) •b=(a•a)(b•b)= (a•b) . 加题 F(−,) ={ f x(−,), f (x)R}, f,gF(-,), (f•g)(x)=f(g(x)), 问 F(-,)是半群吗？ 答 有结合律：(f•g) •h=f•(g •h),单位元 I(x)=x,是含幺半群。 60 为含幺半群，xG, x•x =e (幺元)，证明为 Abel 群, 证明 xG, x•x =e, x -1=x, x,yG, x•y G, (x•y) • (x•y) =e , x•(y•x)•y=e (y•x)= x-1•y -1=x•y, 任一元存在逆元，乘积可交换，所以为 Abel 群。 61. * 写出模 8 剩余类加群 Z8： 的所有子群. 答 {0},{0,4},{0,2,4,6}。 64. * 在环 , Z7： 中, 求每个非零元的乘法逆元. 答 {1,2,3,4,5,6},的逆元分别是{1,4,5,2,3,6}。 66. * 在 Z15 中, 找出方程 1 2 x = 的全部根. 答 {1,4,11} 补 10 在有理数集 Q 上定义二元运算“*”为 a*b = a +b −ab. 讨论运 算“*”是否满足结合律和交换律？Q 关于运算“*”是否存在单位 元？Q 中每个元素是否可逆？可逆元的逆元是什么？ 解 Q 上是封闭的； 有结合律：(ab) c=(a+b-ab) c=a+b-ab+c-(a+b-ab)c= a (bc)= a (b+c-bc) =a+b+c -bc -a(b+c-bc)= (ab) c 有交换律：(ab)= (ba); 单位元为 0: a0=0a=0; ab=a+b-ab=0, b=a/(a-1), 当 a1 时，有逆元 a -1=1/(a-1);a=1 时 1b=1+b-1b=10,所以 1 不可逆。 补 12．设 S = Q \ {1}, S 上的二元运算“ ”如第 11 题所定义. （1） 证明 S： 是一个群.（见 11 题的证明） （2） 求方程 2 x 3 = 7 在 S 中的解. 解（2）2x3=7, x=(2+x-2x)3 =7, (2-x)+3-3(2-x)=7, x=4. 加题 在环 Z7 中求方程 3 5 2 x + = 的根
解x2+3+4=5+4=2, 补13求有理数加群(Q:+)的一个子群H,使H≠Z且H≠Q 如 H={q/3q∈Z} 补14设(G:)是一个群,令H={x|xa=aox,x∈G},其中a是 G中一个固定的元素.证明:H是G的一个子群 证明显然,群中单位元e∈H,Vx,y∈H, x=aoroa ,y=ao yoa Do(aoyoa )=ao(roy)oa 所以,(xoy)oa=ao(x°y),(xoy)∈H 补16。已知〈R:+;)是一个环,R={a,b,C,d},它的运算表如下: aa h cid aa b Ldld a bc ld acaa 问:它是交换环吗?乘法有单位元吗?这个环的零元(加法单位元) 是什么?并求每个元的加法逆元 解是交换环。乘法无单位元。零元是a,-a=a;-b=d;-c=c;-d=b 补17.设(G:°)是一个半群,证明G×G对于下面的运算“*”构成 个半群 (a1,a2)*(b,b2)=(a1。b1a2°b2) 当G有单位元时,证明G×G也有单位元;当G是群时,G×G也 是群 解G有结合律,则GXG也有结合律;当G有单位元e时,G×G 也有单位元(e,e);当va∈G有逆元a1时,v(a,a)∈G×G有逆元 补18.证明:若含有单位元的有限半群(G:°)关于运算“。”适合 消去律,则G:°)是一个群 证明设G={al,a2an},ai∈G,a,a,…an∈G且互不相 等(因为消去律成立)。设aa1,为单位元e,则a的逆元为 G:o)是一个群 补19*.设(G:°)是一个群,H是G的非空有限子集.证明:如果H 对G的运算“。”封闭,则H是G的子群 证明va∈H,由H对运算封闭,则a2,a3,ak∈H(k∈N) H是G的有限子集,彐a=a,ea=a(e为G中单位元),G有消去 律,得e=al∈H,H是有单位元的有限的G的子集,有消去律,由 18题得H是G的子群
解 3 4 5 4 2, 2, 3,4. 2 2 x + + = + = x = x = 补 13 求有理数加群 Q：+ 的一个子群 H, 使 HZ 且 HQ. 如 H={q/3qZ} 补 14 设 G： 是一个群, 令 H = {x | x a = a x, xG} , 其中 a 是 G 中一个固定的元素. 证明：H 是 G 的一个子群. 证明 显然，群中单位元 eH, x, yH, ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . , , 1 1 1 1 1 x y a a x y x y H x y a x a a y a a x y a x a x a y a y a = = = = = − − − − − 所以， ， 补 16。已知 R：+, 是一个环, R = {a, b, c, d}, 它的运算表如下： + a b c d • a b c d a a b c d a a a a a b b c d a b a c a c c c d a b c a a a a d d a b c d a c a a 问：它是交换环吗？乘法有单位元吗？这个环的零元(加法单位元) 是什么？并求每个元的加法逆元. 解 是交换环。乘法无单位元。零元是 a, -a=a; -b=d; -c=c; -d=b. 补 17． 设 G： 是一个半群, 证明 GG 对于下面的运算“*”构成 一个半群 ( , ) ( , ) ( , ), a1 a2 b1 b2 a1 b1 a2 b2 = 当 G 有单位元时, 证明 GG 也有单位元；当 G 是群时, GG 也 是群. 解 G 有结合律，则 GG 也有结合律; 当 G 有单位元 e 时, GG 也有单位元(e, e); 当aG 有逆元 a -1 时, (a1, a2) GG 有逆元 (a1 -1 ,a2 -1 ). 补 18．证明：若含有单位元的有限半群 G： 关于运算“ ”适合 消去律, 则 G： 是一个群. 证明 设 G={ a1, a2, an}, aiG, aia1, aia2, aianG 且互不相 等（因为消去律成立）。设 aiaj,为单位元 e, 则 ai 的逆元为 aj. G： 是一个群. 补 19*. 设 G： 是一个群, H 是 G 的非空有限子集. 证明：如果 H 对 G 的运算“ ”封闭, 则 H 是 G 的子群. 证明 aH, 由 H 对运算封闭，则 a 2 ,a3 , a kH (kN), H 是 G 的有限子集, a i=ai+j , eai=ai+j (e 为 G 中单位元), G 有消去 律，得 e=ajH, H 是有单位元的有限的 G 的子集，有消去律，由 18 题得 H 是 G 的子群
