《代数与几何》第一章辅导题.doc_大学文库

线代辅导 1 集合 P51-8(4) 已知某班 50 个学生第一次考试有 26 人不及格, 第二次考试有 21 人不及格,又已知两次考试都及格的有 17 人. 问:两次考试都不及格的有多少人? 解法 1 设第一次考试不及格有A=26,第二次考试不及格有 B=21, 两次考试都及格的有 AB =17,两次考试都不及格的有 AB=A+B-AB=26+21-(50-17)=14. 解法 2 AB= A B = 50 − A B = 50 −[ A + B − A B ] =50-[24+29-17]=14 8(6) * 设某校足球队有队员 22 人，篮球队有队员 10 人，排球队有队员 12 人，但参加三支球队的学生只有 35 人，其中有 2 人同时参加三个队，问：同时只参加两个队的人数 x=？解足球队员A=22，篮球：B=10，排球：C=12， ABC=35, AB C =2, ABC=A+B+C-AB-B C-A C+ +AB C, x=AB+B C+A C-3AB C =22+10+12-4-35=5. 8(7) * 在 1 到 40 之间的 40 个整数中，能被 2, 3, 5 任何一个整除的数有几个？答: ([40/2]+[40/3]+[40/5])-([40/2.3]+[40/2.5]+[40/3.5])+[40/2.3 .5]=30. 9. 集的，运算有消去律吗？（1） A B = AC 可得 B=C 吗？（2） A B = AC 可得 B=C 吗？（ 3）已知 A B = AC , A B = AC ,证明：B=C。证法 1 B= B(AB)= B(AC)= (BA) (BC) C= C(AC)= C(AB)= (CA) (C  B)B=C 法 2 xBxAB= AC xC or xB\A, xAB=AC  xC,所以 BC; xCxAC= AB xB or xC\A, xAC=AB  xB,所以 CB; B=C. 关系、序 P52-13 下列集合中的关系是否是等价关系，若是，写出商集。 (1) 实数集上定义关系： xRy  x − y 为无理数或 0；解没有传递性，如 a=2, b=2+， c=3. (6) 集合 {( | , , 0} * C = a + bi a bR a  上定义关系： (a1 +b1 i)R(a2 +b2 i)  a1a2  0. 解有自反性，对称性，传递性。C*/R={C1, C2}, C1={a1+b1ia1>0, b1R},C2={a2+b2ia2>0, b2R}. P59-补 2 在复数集 C 中, 能否定义二元关系 R 使 C 成为全序集？解定义(a1+b1i)R(a2+b2i)  a1< a2 或 a1= a2 时 b1 b2R 是反对称，是偏序关系，也是全序关系。补充题 5. 我们把 A A 的一个子集 R 定义为 A 上的一个二元关

系，即 a, b A, 如果 (a, b) R, 就说 a,b 具有关系 R, 即 aRb. 设 A = {a, b, c}, 试判断 A 上的下列二元关系是否具有自反性、对称性、反对称性和传递性： (1) R1 ={(a,a), (a,b), (a,c), (c,c)}；反对称，传递性。 (2) R2 ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}；自反，对称，传递性。 (3) R3 ={(a,a), (a,b), (b,b), (b,c)}；反对称性。 (4) R4 ={(a,a), (b,b), (c,c)}；自反，对称，反对称，传递性。 (5) R5 ={(a,b), (a,c), (c,a)}；没有各性。从列表上看：自反性看主对角元；对称性看对其的对称等。补 7. 举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子. 如 {(a, b},(a, c), (c, a)} P53- 14. * 证明：若集合 A 中的二元关系 R 满足：(1)  a  A,aRa, (2)  a,b,c  A,如果有 aRb 和 aRc, 就必有 bRc, 则 R 是等价关系。证明有自反性；若有 aRb 和 aRa, 就必有 bRa,即对称性；若有 aRb(就有 bRa-对称性)和 bRc, 就有 aRc 即传递性。所以， R 是等价关系。 P53-15. * 有人说, 二元关系 R`如果具有对称性和传递性, 就必有自反性, 因为有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa, 这种说法对吗？答：不对。有 aRb, 就有 bRa, 从而有 aRa,与“a,有 aRa”，不等价。加题 1.在正有理数集 { | p,q N} p q Q =  + 中, 如何定义一种二元关系 R, 使 (Q , R) + 为全序集. 正有理数集和自然数集之间可否建立一个（双射）一一对应？答：可以。Q+={ + p q = p qZ q p ( , ) 1, , }, p/q 视为数偶(p,q）,将 Q+中全体数依如下顺序排列： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 1 2 4 7 11 16 (2,1) (2,3) (2,5) (2,7) (2,9) 3 5 8 12 17 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 6 9 13 18 (4,1) (4,3) (4,5) 10 14 19 (5,1) (5,2) 15 20 (6,1) 21 **题 X=(0,1)和 Y=[0,1]数集之间可否建立一个一一对应？ xX(RˋQ) ,令 x＝y， xXQ,将（0,1）排序为 a1, a2, a3，ai＋1, ai+2, ，将[0,1]排序为 0, 1, a1, ,ai－1, ai, ，映射 0, 1; ( 3,4, ) f：a1  a2  ai+1  ai−1 i =  20 设 A,B 是两个集合, f：A→ B,g：B → A. 证明：若 gf 是 A 到 A 的

恒等映射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明: A, gf()= 若存在12，有 f(1)=f(2),则 1= gf(1)=gf(2)= 2,矛盾。 A, gf()=，=f()B,有 g()=,所以 g 为满射。 21 * . 设 A,B,C 是三个集合, f：A B, g：B C. 证明：若 gf 是 A 到 C 的双射, 则 f 是单射, g 是满射. 证明：若存在12，有 f(1)=f(2), 则 gf(1)=gf(2),与 gf 单射矛盾, 所以 f 是单射。 C, 由 gf 是满射, A, gf()=，记 f()=B,有 g()=, 所以 g 为满射。 22 * . 设 A,B,C,D 是四个集合, f：A B,g：B C,h：C  D. 证明：若 gf 和 hg 都是双射, 则 f,g,h 也都是双射. 证明：由 21 题，gf 是双射 f 是单射, g 是满射；由 hg 是双射g 是单射,h 是满射,所以 g 是双射，g -1 (gf)=f 是双射，h=(hg)g-1 是双射. 命题 P54--24. 先用符号表示简单命题, 然后用符号运算表示下列语句(复合命题)：（2）我不能既爬山(M)又划船(B). 解： (MB) (3)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言. 解. P(你来), Q(他发言), R(你请他发言), 命题：P→(QR). (4)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质. 解占据空间 (S), 有质量 (M), 不断变化 (X), 叫物质 (B) .SMXB. (5) 占据空间的、有质量的叫物质, 而物质是不断变化的. 解 (SM B )→X. (6) 除非你努力,否则你将失败. 解努力(H),失败(F), H→F. (7) 某次列车不是 8 点开就是 20 点开. 解 P(8 点开), Q(20 点开), 命题：P  Q (等价于)Q  P (P Q) (QP)  (Q→P)  (P→Q) P54-25．用量词, 表示下列语句内容： (1) 数集 S 中任一数 x 都大于 4 而且被 4 整除； (xS)[(x>4) (4x)] (2) 数集 S 中有的数不大于 4 或不被 4 整除； (xS)[(x4) (4╢x)] (3) 甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明( 以 p(x), q(x), r(x) 分别表示学生很聪明、很努力、很文明, 以 X 表示甲班学生集； (xX)[(pq)  (rq)] 26．设 x  X (甲班学生集), y Y (乙班学生集), p(x, y)表示 x 与 y 同姓, q(x, y)表示 x 与 y 同年龄.说明下列命题的含义：

43. a ,b ,c 为非零向量，下列命题是否成立？ (1) 如果 a  b = a  c, 且 a  0 则 b = c； (2) 如果 a  b = a  c, 且 a  0 则 b = c. (3)aa=a 2 ; (4) a(ab)=a2b; (5) (ab) 2=a2b 2 ; (6)(ab)c=a(bc); (7) (ab)c = a(bc); (8) a(bb)=ab2. 解 (1）不成立。如 a⊥b, c=-b, a  b = a  c=0. (2) 不成立。如 c=a+b, a  b = a  c. (3),(4),(5),(6),(7), 均不对； (8)对群，环，域 59. 设S; •是可交换的半群. 证明：如果 S中的元素a, b满足a•a=a, b•b=b;则(a•b) •(a•b)=a•b 证明 (a•b) •(a•b)=a•(b•a)•b)=a •(a•b) •b=(a•a)(b•b)= (a•b) . 加题 F(−,) ={ f x(−,), f (x)R}, f,gF(-,), (f•g)(x)=f(g(x)), 问 F(-,)是半群吗？答有结合律：(f•g) •h=f•(g •h),单位元 I(x)=x,是含幺半群。 60 为含幺半群，xG, x•x =e (幺元)，证明为 Abel 群, 证明 xG, x•x =e, x -1=x, x,yG, x•y G, (x•y) • (x•y) =e , x•(y•x)•y=e (y•x)= x-1•y -1=x•y, 任一元存在逆元，乘积可交换，所以为 Abel 群。 61. * 写出模 8 剩余类加群 Z8： 的所有子群. 答 {0},{0,4},{0,2,4,6}。 64. * 在环 ,  Z7： 中, 求每个非零元的乘法逆元. 答 {1,2,3,4,5,6},的逆元分别是{1,4,5,2,3,6}。 66. * 在 Z15 中, 找出方程 1 2 x = 的全部根. 答 {1,4,11} 补 10 在有理数集 Q 上定义二元运算“*”为 a*b = a +b −ab. 讨论运算“*”是否满足结合律和交换律？Q 关于运算“*”是否存在单位元？Q 中每个元素是否可逆？可逆元的逆元是什么？解 Q 上是封闭的； 有结合律：(ab) c=(a+b-ab) c=a+b-ab+c-(a+b-ab)c= a (bc)= a (b+c-bc) =a+b+c -bc -a(b+c-bc)= (ab) c 有交换律：(ab)= (ba); 单位元为 0: a0=0a=0; ab=a+b-ab=0, b=a/(a-1), 当 a1 时，有逆元 a -1=1/(a-1);a=1 时 1b=1+b-1b=10,所以 1 不可逆。补 12．设 S = Q \ {1}, S 上的二元运算“  ”如第 11 题所定义. （1）证明 S： 是一个群.（见 11 题的证明）（2）求方程 2 x 3 = 7 在 S 中的解. 解（2）2x3=7, x=(2+x-2x)3 =7, (2-x)+3-3(2-x)=7, x=4. 加题在环 Z7 中求方程 3 5 2 x + = 的根

解 3 4 5 4 2, 2, 3,4. 2 2 x + + = + = x = x = 补 13 求有理数加群 Q：+ 的一个子群 H, 使 HZ 且 HQ. 如 H={q/3qZ} 补 14 设 G： 是一个群, 令 H = {x | x  a = a  x, xG} , 其中 a 是 G 中一个固定的元素. 证明：H 是 G 的一个子群. 证明显然，群中单位元 eH, x, yH, ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . , , 1 1 1 1 1 x y a a x y x y H x y a x a a y a a x y a x a x a y a y a =  = = = = − − − − −                   所以，，补 16。已知 R：+,  是一个环, R = {a, b, c, d}, 它的运算表如下： + a b c d • a b c d a a b c d a a a a a b b c d a b a c a c c c d a b c a a a a d d a b c d a c a a 问：它是交换环吗？乘法有单位元吗？这个环的零元(加法单位元) 是什么？并求每个元的加法逆元. 解是交换环。乘法无单位元。零元是 a, -a=a; -b=d; -c=c; -d=b. 补 17．设 G： 是一个半群, 证明 GG 对于下面的运算“*”构成一个半群 ( , ) ( , ) ( , ), a1 a2 b1 b2 a1 b1 a2 b2  =   当 G 有单位元时, 证明 GG 也有单位元；当 G 是群时, GG 也是群. 解 G 有结合律，则 GG 也有结合律; 当 G 有单位元 e 时, GG 也有单位元(e, e); 当aG 有逆元 a -1 时, (a1, a2) GG 有逆元 (a1 -1 ,a2 -1 ). 补 18．证明：若含有单位元的有限半群 G： 关于运算“  ”适合消去律, 则 G： 是一个群. 证明设 G={ a1, a2, an}, aiG, aia1, aia2,  aianG 且互不相等（因为消去律成立）。设 aiaj,为单位元 e, 则 ai 的逆元为 aj.  G： 是一个群. 补 19*. 设 G： 是一个群, H 是 G 的非空有限子集. 证明：如果 H 对 G 的运算“  ”封闭, 则 H 是 G 的子群. 证明 aH, 由 H 对运算封闭，则 a 2 ,a3 , a kH (kN), H 是 G 的有限子集,  a i=ai+j , eai=ai+j (e 为 G 中单位元), G 有消去律，得 e=ajH, H 是有单位元的有限的 G 的子集，有消去律，由 18 题得 H 是 G 的子群

《代数与几何》第一章 辅导题

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