《代数与几何》第二讲 测试题

第2章测试题2-1 (线性空间向量相关性) 81.下列哪个成立? (A)集合C(C)对通常数的加法和数量乘法不是线性空间 (B)集合C(C)对通常数的加法和数量乘法是线性空间,且为基{1},维数是1 (C)集合C(R)对通常数的加法和数量乘法不是线性空间 (D)集合R(C)对通常数的加法和数量乘法是线性空间且为基{1},维数是1。 82下列哪个成立? (A).对通常数的加法和数量乘法集合Q(R)是线性空间,且为基{1},维数是1; (B)对通常数的加法和数量乘法集C(R是线性空间,且基为{1},维数是1 (C)对通常数的加法和数量乘法集C(R)是线性空间,且基为{1,i},维数是2 (D)对通常数的加法和数量乘法集合R(R)不是线性空间 83.R(R)对向量加法和如下定义的数量乘法:A。a=0.下列哪个成立? (A)集合R2(R)是线性空间,且为基{1},维数是1 (B)集合R2(R)是线性空间,且为基{(1,1)},维数是2 (C)集合R2(R)不是线性空间;因为1oa≠a; (D)集合R2(R)不是线性空间,因为数量乘法不封闭 84R2(R)对向量加法和如下定义的数量乘法:A。a=a下列哪个成立? (A)集合R2(R)是线性空间,且为基{1},维数是1 (B)集合R2(R)是线性空间,且为基{(1,1)},维数是2 (C)集合R2(R)不是线性空间,因为数量乘法不封闭; (D)集合R2(R)不是线性空间;因为(k+la≠ka+la。 85设(R)={f|x∈R,f(x)∈R且f(-x)=-f(x)}; 对函数加法和数与函数的乘法,下列哪个成立? (A)集合V(R)是无穷维线性空间,且为基{x,x2…,x} (B)集合V1(R)是无穷维线性空间,且为基{1,x,x2,x}; (C)集合V1(R)不是线性空间,因为加法不封闭 (D)集合V1(R)不是线性空间;因为数与函数的乘法不封闭。 86设V2(R)={f|x∈R,f(x)∈R,f(0)=1,且f(-x)=f(x) 对函数加法和数与函数的乘法,下列哪个成立? (A)集合V2(R)是无穷维线性空间,且为基{x,x2…,x} (B)集合V2(R)是无穷维线性空间,且为基{1,x,x2,x2}; (C)集合V2(R)不是线性空间,因为数与函数的乘法不封闭 (D)集合V2(R)不是线性空间;因为(f+g)(0)≠f(0)+g(0) 87平面上终点在第一象限的向量集合R12(R)对向量加法数量乘法。下列哪个成立? (A)集合R12(R)是线性空间,且为基{1},维数是1 (B)集合R12(R)是线性空间,且为基{(1,1)},维数是2 (C)集合R12(R)不是线性空间:因为加法不封闭; (D)集合R12(R)不是线性空间,因为数量乘法不封闭。 88集合W={(x1…,x)∈F"|a1x1+a2x2+…+anxn=0},a∈F是固定数,下列哪个成立? (A)集合W(F)是线性空间,当F=R时,是与向量(a,a2a)正交的过原点的全体n维向 量,维数是n-; (B)集合W(F)是n维线性空间,且为基{e,a,em} (C)集合W(F)不是线性空间,因为数与函数的乘法不封闭; (E)集合W(F)不是线性空间:因为加法不封闭 89设W={p(x)∈F1x1p(1)=0},W2={p(x)∈x|p(1)=p(O)}.下列哪个成立? (A)W1是R[x]的子空间因为(p+q)(1)=0;(kp)(1)=0,Vp(x),q(x)∈W1;k∈F (B)W1不是Rx的子空间; (C)W2不是Rx的子空间;因为(p+q)(1)≠(p+q)O),vp(x),q(x)∈W2

第 2 章 测试题 2-1 (线性空间,向量相关性) 81.下列哪个成立？ (A) 集合 C(C)对通常数的加法和数量乘法不是线性空间; (B) 集合 C(C)对通常数的加法和数量乘法是线性空间，且为基{1}，维数是 1； (C) 集合 C(R)对通常数的加法和数量乘法不是线性空间 (D) 集合 R(C)对通常数的加法和数量乘法是线性空间且为基{1}，维数是 1。 82.下列哪个成立？ (A). 对通常数的加法和数量乘法,集合 Q(R)是线性空间，且为基{1}，维数是 1； (B) 对通常数的加法和数量乘法集 C(R)是线性空间，且基为{1}，维数是 1； (C)对通常数的加法和数量乘法集 C(R)是线性空间，且基为{1,i}，维数是 2； (D)对通常数的加法和数量乘法集合 R(R)不是线性空间， 83．R 2 (R) 对向量加法和如下定义的数量乘法：   = 0 .下列哪个成立？ (A) 集合 R 2 (R) 是线性空间，且为基{1}，维数是 1； (B) 集合 R 2 (R) 是线性空间，且为基{(1,1)}，维数是 2； (C) 集合 R 2 (R) 不是线性空间；因为 1  ； (D) 集合 R 2 (R) 不是线性空间，因为数量乘法不封闭。 84.R2 (R) 对向量加法和如下定义的数量乘法:   = 下列哪个成立？ (A) 集合 R 2 (R) 是线性空间，且为基{1}，维数是 1； (B) 集合 R 2 (R) 是线性空间，且为基{(1,1)}，维数是 2； (C) 集合 R 2 (R) 不是线性空间，因为数量乘法不封闭; (D) 集合 R 2 (R) 不是线性空间；因为 (k + l) k + l 。 85 设 V1 (R) = { f | x  R, f (x) R,且f (−x) = − f (x)}； 对函数加法和数与函数的乘法，下列哪个成立？ (A)集合 V1(R) 是无穷维线性空间，且为基{x, x2 ,, xn}； (B) 集合 V1 (R) 是无穷维线性空间，且为基{1, x, x2 ,, xn }； (C) 集合 V1 (R) 不是线性空间，因为加法不封闭; (D)集合 V1 (R) 不是线性空间；因为数与函数的乘法不封闭。 86 设 ( ) { | , ( ) , (0) 1, ( ) ( )}. 2 V R = f x  R f x  R f = 且f −x = f x 对函数加法和数与函数的乘法，下列哪个成立？ (A)集合 V2(R) 是无穷维线性空间，且为基{x, x2 ,, xn}； (B) 集合 V2 (R) 是无穷维线性空间，且为基{1, x, x2 ,, xn }； (C) 集合 V2 (R) 不是线性空间，因为数与函数的乘法不封闭; (D)集合 V2 (R) 不是线性空间；因为 (f+g)(0)f(0)+g(0). 87.平面上终点在第一象限的向量集合 R1 2 (R)对向量加法数量乘法。下列哪个成立？ (A) 集合 R1 2 (R) 是线性空间，且为基{1}，维数是 1； (B) 集合 R1 2 (R) 是线性空间，且为基{(1,1)}，维数是 2； (C) 集合 R1 2 (R) 不是线性空间；因为加法不封闭; (D) 集合 R1 2 (R) 不是线性空间，因为数量乘法不封闭。 88. 集合 {( , , ) | 0} = 1  1 1 + 2 2 + + n n = n n W x  x F a x a x  a x , anF 是固定数，下列哪个成立？ (A) 集合 W(F) 是线性空间，当 F=R 时, 是与向量（a1,a2,an）正交的过原点的全体 n 维向 量, 维数是 n-1; (B) 集合 W(F)是 n 维线性空间，且为基{ e1,a2,en }； (C)集合 W(F)不是线性空间，因为数与函数的乘法不封闭; (E) 集合 W(F)不是线性空间；因为加法不封闭. 89..设 { ( ) [ ]| (1) 0}, W1 = p x F x p = { ( ) [ ] | (1) (0)}. W2 = p x  R x n p = p 下列哪个成立？ (A) W1 是 R[x]n 的子空间因为:(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0, p(x), q(x) W1；kF; (B) W1 不是 R[x]n 的子空间； (C) W2 不是 R[x]n 的子空间；因为:(p+q)(1) (p+q)(0), p(x), q(x) W2；

(D)W2不是Rx]m的子空间;因为:(kp)(1)≠(kp)(0),Vp(x)∈W2,Vk∈F; 90.设W={∈F(R,R)f(-x)=f(x),f(0)=1,Vx∈R},其中F(RR)是所有实变量的实值 函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.下列哪个成立? (A)W是F(RR)的子空间,因为偶函数的和与数乘还是偶函数 BW不是F(RR)的子空间:因为(p+q)(0)≠pO)+q(0)vp(x),q(x)∈W (C)W不是F(RR)的子空间;因为(f+g)(x)≠f(x+g(x),f,g∈W; (DW不是F(RR)的子空间;因为:(kf)(x)≠k(f(x),f∈W,keR 91.设a12a2,2∈R",C1,C2c3∈R,下列哪个成立? (A)如果ca1+c2a2+ca32=0,且cC3≠0.则{a1,a2}与(x2,as}等价 (B)如果ca1+c2a2+c2a3=0,且cc3=0.则{1,ax2与{a,a3}等价 (C)如果ca1+c2a2+c3a3=0,则{a1,a2}与{a2,α3}等价 (D)如果ca1+c2a2+c3a3=0,则{a1,a2,3}与{a2}等价 92设a1=(1,0.1)a2=(1,1,0),a3=(1-1,2),B1=(1,-1,-1),B=(12-1)下列哪个成立? (A)B=xa1+x2a2+x2a3无解,BEL(a1a2a3) (B)B1=(1-1-1)属于L(a,a2,a3 (C)B2=(12-1).不属于L (D)B2=-a1+2a2,B2∈L(a1a2a3),表示法唯一,因为a1,a2,a3线性无关。 93.设 a1=(1,1,1),a2=(0,2,5),ay3=(1,3,6) B1=(1,-1,2,4)B2=(0,3,1,2),B3=(3,0,7,14)下列哪个成立? (A)∝1,a2,ax3线性无关 (B)a1,a2,a3线性相关,因为a2=ax3-01 (C)β1,B2,β3线性相关,因为β3=3B1-B2 D)β1,B2,β3线性无关 94下列哪个成立? (A)若ax,…,an(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线性组合 (B)a1,…,am线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组合, (C)a12…,an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关 (D)若∝12a2线性相关,B1,B2线性相关,则∝1+月、a2+B2也线性相关 95下列哪个成立 (A)若a1,…,an线性无关,则a1+a2,a2+a3,…,an-1+anan+∝1也线性无关 (B)若a1,a2,a3线无相关,则a1+a2a2+a32a3+a1线性相关 (C)设B={a1a2a}是R的一组基,非零向量a0∈R,则 a1+an,a2+a0,a3+a0也是R3的一组基 (D)设B={(x1,a2}是R2的一组基,则{x1+a2,a1-a2}也是R2的一组基 96下列哪个成立? (A)一个有限维线性空间只含有有限个子空间 (B)如果W,H2是R”的两个子空间,B1,B2分别是W,W2的基则存在R的一组基B,使得 B=BUB) (C)设在线性空间V(F)中向量B是{a1…ax}的线性组合,但不是{a1,…,a-}的线性组合, (a1,…,an12a) (D)设在线性空间V(F)中,向量β是{a12…c}的线性组合,则

(D) W2 不是 R[x]n 的子空间；因为: (kp)(1) (kp) (0) , p(x) W2, kF; 90.设 W = { f  F(R, R) | f (−x) = f (x), f (0) = 1, x  R}, 其中 F(R,R)是所有实变量的实值 函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间. 下列哪个成立？ (A) W 是 F(R,R)的子空间，因为偶函数的和与数乘还是偶函数； (B) W 不是 F(R,R)的子空间；因为(p+q)(0) p(0) +q(0), p(x), q(x) W; (C) W 不是 F(R,R)的子空间；因为:( f+g)(x) f(x)+g(x), f, gW； (D) W 不是 F(R,R)的子空间；因为: (kf)(x) k(f(x)), f W, kR; 91. 设 n 1 ,2 ,3  R , c1 ,c2 ,c3  R, 下列哪个成立？ (A) 如果 0, 0. c11 + c22 + c33 = 且c1 c3  则{1, 2}与{2, 3}等价 (B) 如果 0, 0. c11 + c22 + c33 = 且c1 c3 = 则{1, 2}与{2, 3}等价 (C) 如果 0, c11 + c22 + c33 = 则{1, 2}与{2, 3}等价 (D) 如果 0, c11 + c22 + c33 = 则{1, 2, 3}与{2 }等价 92.设 (1, 0,1), (1,1, 0), (1, 1, 2) 1 = 2 = 3 = − , (1, 1, 1), (1,2, 1). 1 = − − 2 = − 下列哪个成立？ (A) ( ); 1 11 2 2 33 1 L 1,  2, 3 = x + x + x 无解，  (B) (1, 1, 1). 1 = − − 属于 ( , , ) L 1 2 3 ; (C) (1,2, 1). 2 = − 不属于 ( , , ) L 1 2 3 ； (D) 2 , ( )  2 = −1 +  2  2  L 1,  2, 3 ，表示法唯一，因为 1 2 3  , , 线性无关。 93.设 (1, 1, 1), (0, 2, 5), (1, 3, 6). 1 = 2 = 3 = (1, 1, 2, 4), (0, 3, 1, 2), (3, 0, 7, 14). 1 = −  2 = 3 = 下列哪个成立？ (A) 1, 2, 3 线性无关; (B) 1, 2, 3 线性相关,因为 2= 3 -1； (C) 1 ,2, 3 线性相关,因为 3= 31 -2; (D) 1 ,2, 3 线性无关, 94.下列哪个成立？ (A)若 , , ( 2) 1   m m  线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合; (B)   m , , 1  线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合; (C) , , ( 2) 1   m m  线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关 (D)若 1 2  , 线性相关, 1 2  , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线性相关. 95.下列哪个成立？ (A)若  n , , 1  线性无关, 则 1 2 2 3 1 1  + , + ,  ,n− +n ,n + 也线性无关. (B) 若 1 2 3  , , 线无相关, 则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 线性相关； (C) 设 { , , } B = 1 2 3 是 3 R 的一组基, 非零向量 3 0  R , 则 1 0 2 0 3 0  + , + , + 也是 3 R 的一组基. (D) 设 { , } B = 1 2 是 2 R 的一组基, 则 { , } 1 +2 1 −2 也是 2 R 的一组基. 96.下列哪个成立？ (A) 一个有限维线性空间只含有有限个子空间. (B) 如果 1 2 W ,W 是 n R 的两个子空间, 1 2 B ,B 分别是 1 2 W ,W 的基,则存在 n R 的一组基 B, 使得 { }. B  B1  B2 (C)设在线性空间 V (F) 中,向量  是 { , , } 1  r 的线性组合,但不是 { , , } 1  r−1 的线性组合, 则： ( , , , ) ( , , , ). L 1  r−1 r = L 1  r−1  (D) 设在线性空间 V (F) 中 , 向 量  是 { , , } 1  r 的线性组合 , 则 ：

L(a1…,a,-1,a1)=L(a12…,a-1,B) 97.下列哪个成立? (A)若{a,a2,a3,a4}线性相关,但其中任意三个向量线性无关,则存在一组全不为零的数 1,2A3入,使得 入a1+2a2+a3+14=0 (B)若{a2a2ax3,a4线性相关,但其中任意三个向量线性无关,则不存在一组全不为零的 数1,,3,,使得 1a1+A2a2+Ag3+A2a4=0 (C)若{a1,a2,a3,a4}线性相关则存在一组全不为零的数入1,2,,与,使得 入a1+2a2+a3+14=0 (D)若{a2a2a32a4}线性相关,则存在一组全不为零的数A1,2,A3,A4,使得 a1+A2a2+A2a3+Aa4=0 98下列哪个成立? (A)若向量a可经向量组{ax2…,Or}线性表示,则{ax1…;a,}线性相关 (B)若向量a可经向量组{a12…a}线性表示,则表示法唯 (C)若向量a可经向量组{a1…,Or}线性表示,则{a12…ar}线性无关 (D)若向量a可经向量组{a12…an}线性表示,则表示法唯一的充要条件是{x12…an}线 性无关 99a1,…,an为线性空间v(F)中的n个向量,下列哪个不成立? (A)若a1,…an线性无关,则{a1,…,an}是(F)的一组基; (B)若(F)中任意一个向量可经向量组{a1…an}线性表示,且Dimv(F)=n,则 {ax1,…,an}是(F)的一组基 (C)若a1,…,an线性无关,且V(F)中任意一个向量可经向量组{a1,…,an}线性表示,则 {a1,…,an}是v(F)的一组基 (D)若秩{a13…an}=n,且DmV(F=n,则{a13…,an}是V(F)的一组基; 100已知R2的两组基为:(a1,a2}和1e2},其中a1=(2,-1),a2=(5-4) e1=(10)e2=(01)若非零向量B∈R2关于这两组基有相同的坐标X,且B关于基 122}的坐标为Y,其中51=(-1),22=(1)下列哪个成立? (A)X=(5,1)2;Y=(3,2) X=(-5,1)2,Y=(3,-2) (C)X=(-5,-1)2;Y=(-3,-2)1 (D)X=(-3,2),Y=(-1,5) 答案 81(B),82(C);83(C);84(D);85(A);86(D);87(D);88(A),89(A),90B 91(A),92(A);93(B),94(B);95(D);96C);97(A),98(D;99A) 测试题2-2(向量相关性) 下列命题是否正确? 1若a1…,an(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线性组合 2.若a1…,Cm线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组合。 3.a1,…,an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关

( , , , ) ( , , , ). L 1  r−1 r = L 1  r−1  97. 下列哪个成立？ (A)若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则存在一组全不为零的数 1 2 3 4  , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = (B) 若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则不存在一组全不为零的 数 1 2 3 4  , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = (C) 若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关,则存在一组全不为零的数 1 2 3 4  , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = (D) 若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关, 则存在一组全不为零的数 1 2 3 4  , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = 98.下列哪个成立？ (A) 若向量  可经向量组 { , , } 1  r 线性表示, 则 { , , } 1  r 线性相关. (B) 若向量  可经向量组 { , , } 1  r 线性表示, 则表示法唯一； (C) 若向量  可经向量组 { , , } 1  r 线性表示, 则 { , , } 1  r 线性无关. (D) 若向量  可经向量组 { , , } 1  r 线性表示, 则表示法唯一的充要条件是 { , , } 1  r 线 性无关. 99.  n , , 1  为线性空间 V(F)中的 n 个向量，下列哪个不成立？ (A) 若  n , , 1  线性无关, 则 { , , } 1  n 是 V(F)的一组基； (B) 若 V(F) 中 任 意一 个 向量 可 经向 量 组 { , , } 1  n 线 性 表示 , 且 DimV(F)=n, 则 { , , } 1  n 是 V(F)的一组基； (C) 若  n , , 1  线性无关, 且 V(F)中任意一个向量可经向量组 { , , } 1  n 线性表示, 则 { , , } 1  n 是 V(F)的一组基; (D) 若秩 { , , } 1  n =n, 且 DimV(F)=n,则 { , , } 1  n 是 V(F)的一组基； 100.已知 2 R 的两组基为： { , } { , } 1 2 1 2   和 e e , 其中 (2, 1), (5, 4), 1 = − 2 = − (1,0), (0,1). e1 = e2 = 若非零向量 2   R 关于这两组基有相同的坐标 X, 且  关于基 { , } 1  2 的坐标为 Y, 其中 ( 1,1), (1,1). 1 = −  2 = 下列哪个成立？ (A) X=(5, 1)T ; Y=(3, 2)T ; (B) X=(-5, 1)T ;Y=(3, -2)T ; (C) X=(-5, -1)T ;Y=(-3, -2)T ; (D) X=(-3, 2)T ;Y=(-1, 5)T . 答案： 81 (B); 82(C)； 83(C); 84(D); 85(A); 86(D); 87(D); 88(A); 89(A); 90(B); 91(A); 92(A); 93(B); 94(B); 95(D)； 96(C); 97(A); 98(D); 99(A); 100(B); 测试题 2-2（向量相关性) 下列命题是否正确？. 1.若 , , ( 2) 1   m m  线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合. 2. 若   m , , 1  线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合。 3. , , ( 2) 1   m m  线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关

4.若a1,a2线性相关,B1,B2线性相关,则a+B1、a2+B2也线性相关 5.若∝1,…,an线性无关,则a1+a2ax2+a2…an-1+anan+a1也线性无关 6.若a12a2,a3线性相关,则a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性相关 7.设B={a1,a2a3}线性无关,非零向量a∈R3,则 {a0+a1,a0+a2,a0+a3}也是线性无关 8.设B={(12a2}线性无关则{ax+a2a1-a2}也是线性无关 解:(1)不正确,每一个’改为‘至少一个’才成立 (2)正确:(3)不正确,必要非充分; (4)不正确,如(1,0),(2.0)相关,(0,1)(0,3)相关,(1,1)(2,3)无关; (5),n为奇数时,线性无关;n为偶数时,线性相关,因为行列式 (6)正确,不仿设a可经a2,a1线性表示,则a1+a2,a2+a323+a1可经a2x线性表示, (7)不正确,如=ax1; (8)正确,设 k(a1+a2)+k2(a-a2)=(k+k2x+(kk2)a2=0,k+k2=0,k一k2=0,得k1=k2=0

4. 若 1 2  , 线性相关, 1 2  , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线性相关. 5. 若  n , , 1  线性无关, 则 1 2 2 3 1 1  + , + ,  ,n− +n ,n + 也线性无关. 6. 若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 也线性相关. 7. 设 { , , } B = 1 2 3 线性无关., 非零向量 3 0  R , 则 { , , } 0 +1 0 +2 0 +3 也是线性无关. 8. 设 { , } B = 1 2 线性无关.则 { , } 1 +2 1 −2 也是线性无关. 解：(1)不正确,‘每一个’改为‘至少一个’才成立； (2)正确； (3) 不正确,必要非充分； (4)不正确,如(1,0),(2,0)相关，(0,1),(0,3) 相关，(1,1)(2,3)无关; (5). n 为奇数时, 线性无关；n 为偶数时, 线性相关, 因为行列式 (6)正确, 不仿设1可经 2 , 3线性表示，则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 可经2 ,3线性表示， (7)不正确,如0=-1 ； (8)正确，设 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, k1 1 +2 + k2 1 −2 = k1 + k2 1＋ k1－k2 2 ＝ k1 + k2 = k1－k2 = 得 k1=k2=0