线代辅导2 1.检验下列集合对指定的加法和数量乘法,是否构成所给域上的 线性空间若是,给出基和维数。 (5,6)C(C)C(R)R(C)R(R);Q(R)对通常数的加法和数量乘法。 解{1};{1,};不是;{1};不是 (2)R2(R)对向量加法和如下定义的数量乘法 1.Aoa=0.2.Aoa=a。 解都不是。因为1中1。a≠a,2中(k+1)a≠ka+lo (10)V1(R)={f|x∈R,f(x)∈R,且f(-x)=-f(x) 2(R)={f|x∈R,f(x)∈R,f(0)=1,且f(-x)=f(x)} 对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解V1是,V2不是。 (12)平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解不是。 2.判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对R中的子集并 说明其几何意义): W={(x1,…,x)∈F"|a1x1+a2x2+…+anxn=0, a1∈F为固定数} 答是。与向量(a,a2,a)正交的过原点的n维平面上的全体向 里 (5)W={p(x)∈F[x]p()=0}, H2={p(x)∈R[xln|p(1)=p(0)} 答是。(p+q(1)=0;(kp1)=0,vp(x),qx)∈W (6)W={∈F(R,R)f(-x)=f(x),Vx∈R},其中F(R,R)是所有 实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域 上构成的线性空间 答:是。偶函数的和与数乘还是偶函数 加题f(-x)=f(x)偶函数集且f(0)=1,则不是其子空间因为加法没 有单位元。 4.设a12a2,a3∈R",q1C2,C3∈R,如果 ca1+ca2+ca3=0,且cc3≠0.证明L(12a2)=L(a2,a3) 证明 (c1a1+c2a2),又a1=--(c3a3+c2a2) 所以{a1,a2}与{a2,ax3}等价。 6.设a=(10,1)a2=(1,1,0),∝3=(-1,2),问下列B,B2属于 L(1,a2a3)吗?如属于,它们由a1a2a3线性表示唯一吗?为什 么? (1)B1=(1,-1-1) (2)B2=(1,2,-1
线代辅导 2 1．检验下列集合对指定的加法和数量乘法, 是否构成所给域上的 线性空间.若是，给出基和维数。 (5,6) C(C); C(R); R(C); R(R)；Q(R) 对通常数的加法和数量乘法。 解 {1}；{1, i}; 不是; {1}; 不是。 (2) R2 (R) 对向量加法和如下定义的数量乘法： 1． = 0; 2. = 。 解 都不是。因为 1 中 1 ; 2中(k + l) k + l 。 (10） V1 (R) = { f | x R, f (x) R,且f (−x) = − f (x)}； ( ) { | , ( ) , (0) 1, ( ) ( )}. 2 V R = f x R f x R f = 且f −x = f x 对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解 V1 是，V2 不是。 (12) 平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解 不是。 2. 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对 3 R 中的子集并 说明其几何意义)： (1) } {( , , ) | 0, 1 1 1 2 2 a F为固定数 W x x F a x a x a x i n n n n = + ++ = 答 是。与向量（a1,a2,an）正交的过原点的 n 维平面上的全体向 量。 (5) { ( ) [ ]| (1) 0}, W1 = p x F x p = { ( ) [ ] | (1) (0)}. W2 = p x R x n p = p 答 是。(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0, p(x), q(x) Wi. (6) W = { f F(R,R) | f (−x) = f (x), x R}, 其中 F(R,R)是所有 实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域 上构成的线性空间. 答：是。偶函数的和与数乘还是偶函数。 加题 f(-x)= f(x)偶函数集且 f(0)=1，则不是其子空间.因为加法没 有单位元。 4. 设 n 1 ,2 ,3 R , c1 ,c2 ,c3 R, 如果 0, 0. c11 + c22 + c33 = 且c1 c3 证明. ( , ) ( , ). L 1 2 = L 2 3 证明 ( ) 1 ( ), 1 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 3 3 c c c c c c = − + 又 = − + 所以{1, 2}与{2, 3}等价。 6. 设 (1, 0,1), (1,1, 0), (1, 1, 2) 1 = 2 = 3 = − , 问下列 1 2 , 属 于 ( , , ) L 1 2 3 吗？如属于, 它们由 1 2 3 , , 线性表示唯一吗？为什 么？ (1) (1, 1, 1). 1 = − − (2) (1, 2, 1). 2 = −
答 B1=xa1+xa2+xa3无解,BgL(a1a2a3) B2=-a1+2a2,B2∈L(a1a2a3)a3=2a1-a2;不唯一。 7.判别下列向量组的线性相关性 (1)a1=(1,1.1.a2=(0,2,5)a3=(1,3,6)答:a2=a3-∞1.相关 (2)月=(1-12,4)B2=(0,3,12)B3=(30,714) 答:β3=3B1+B2相关 (3)Fx1中:p(x)=1,n(x)=(x-x),p(x)=(x-x),其中常数 x0∈R 答:kn+k2( (xx0)2=0→k=k2=k3=0.无关 10.下列命题是否正确?如正确,证明之,如不正确,举反例 (1)若ax1…,an(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的 线性组合 答:否。如a2,1线性无关,∝2,,a线性相关2不是其余向量的 线性组合 (2)若a12…an线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性 组合,这个命题的等价命题应如何叙述? 答:若存在一向量是其余向量的线性组合,则a1…an线性相关。 (3)a1…,an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性 无关 答:→对;<不对 (4)若a1a2线性相关,B,B2线性相关,则《1+B、a2+B2也线 性相关 答:否。a2=201,B2=B1,B1≠ka1 (5)若a12…an线性无关,则a1+a2,a2+a3…n1+an,an+a1也线性 无关 答:n为偶数时相关;n为奇数时无关因为 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+…+kn(an+a1)=0,即 k1+kn)a1+(k1+k2)a2+…+(kn-1+kn)n=0, k tk=0 k1+k2=0 ,方程组的系数行列式当n为偶数n+,0 奇数非0 km-1+k,=0 (6)若a1a2,a3线性相关,则a1+a2a2+a3,a3+a1也线性相关 答:是。不妨设 a2可用a1,a2线性表示,则a1+a2,a2+ax,a3+a1 可用a1,a2线性表示。 (7)设B={a12a2a3}是R的一组基,非零向量a0∈R3,则 {a+a,a0+a2a0+a3}也是R的一组基 答:不对。取 a0=a1-a2-a3,则有a0+a1=(a0+a2)+(a+a3)线性相关
答： 不唯一。 无解， 2 , ( ); 2 ; ( ); 2 1 2 2 1, 2, 3 3 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 1, 2, 3 = − + = − = + + L x x x L 7. 判别下列向量组的线性相关性： (1) (1,1,1), (0, 2, 5), (1, 3, 6). 1 = 2 = 3 = 答: 2= 3 -1.相关 (2) (1, 1, 2, 4), (0, 3,1, 2), (3, 0, 7,14). 1 = − 2 = 3 = 答：3= 31 +2 相关 (3) [ ] ( ) 1, ( ) ( ), ( ) ( ) , 2 3 1 2 0 3 0 R x 中：p x = p x = x − x p x = x − x 其中常数 . x0 R 答：k1+k2 (x-x0)+k3 (x-x0) 2=0 k1=k2 =k3=0. 无关。 10. 下列命题是否正确？如正确, 证明之, 如不正确, 举反例. (1) 若 , , ( 2) 1 m m 线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的 线性组合. 答：否。如2, 1 线性无关, 2, -1, 1 线性相关.2 不是其余向量的 线性组合. (2) 若 m , , 1 线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性 组合, 这个命题的等价命题应如何叙述？ 答：若存在一向量是其余向量的线性组合,则 m , , 1 线性相关。 (3) , , ( 2) 1 m m 线性无关的充要条件是任意两个向量都线性 无关. 答：对；不对 (4) 若 1 2 , 线性相关, 1 2 , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线 性相关. 答：否。 2 , , . 2 1 2 1 1 1 = = k (5) 若 n , , 1 线性无关, 则 1 2 2 3 1 1 + , + , ,n− +n ,n + 也线性 无关. 答：n 为偶数时相关；n 为奇数时无关.因为 0 0 , 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 非 时为 奇数 偶数 方程组的系数行列式当 为 ， 即 n k k k k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n n + = + = + = + + + + + + = + + + + + + = − − (6) 若 1 2 3 , , 线性相关, 则 1 2 2 3 3 1 + , + , + 也线性相关. 答：是。不妨设 可用 ， 线性表示。 可用 ， 线性表示，则 ， ， 1 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1 + + + (7) * 设 { , , } B = 1 2 3 是 3 R 的一组基, 非零向量 3 0 R , 则 { , , } 0 +1 0 +2 0 +3 也是 3 R 的一组基. 答：不对。取 0 =1 −2 −3 ,则有0 +1 =（0 +2）+（0 +3）线性相关
(8)设B={a1,a2}是R2的一组基,则{a1+a2,ax-a1}也是R2的 组基 答:是。因为 0 9)一个有限维线性空间只含有有限个子空间 答:否,如过原点的平面,其上过原点的直线 (10)如果W,2是R"的两个子空间,B1,B2分别是W1,H2的基,则 存在R"的一组基B,使得B={BUB2} 答:否,如是R中平面x+x2=0,是R中平面x-x2=0 B1={(1,-1.0),(00)},B2={(10,0,0,2) 12.设在线性空间(F)中,向量B是{a1…,ar}的线性组合,但不 是{a1n…,an}的线性组合,证明 ar)=L(x12…,a1B) 答 B=ka1+…k-xn1+k,a,k≠0,→ a,可用a12…a-1,残线性表示→a12…1-1,B与ax1…,a等价。 13.若{a1a2a3,a4}线性相关,但其中任意三个向量线性无关,则 存在一组全不为零的数λ,A2,,4,使得 入a1+Aa2+3ax3+Aa4=0. a1+12a2+A2a3+a4=0.,…,全不为零,若一个如x1=0 则a1,a2,ax线性相关,若两个如3=4=0,则a1,a2线性相关 →a12a2,a3线性相关,如三个为0,同理,矛盾。 16.证明:若向量a可经向量组{ax1…a}线性表示,则表示法唯 的充要条件是{ax1…;a}线性无关 证明: 若有a=ka1+…+k,an=la1+…+la,则 (k1-1)ax1+…+(k,-lan=0, a1…,a,线性无关台→k1=l1…k=l 17.在线性空间(F)中,对于给定的一个向量组{a1…an},如 何判断它是否是V(F)的一组基向量.如果已知dim=n,又如 何判断{a1…,an}是否是V(F)的一组基向量.什么是有限维 线性空间的维数? 含,{a1,…an线性无关:B∈V,阿经a1,…a线性表示; 若dmV=n,ax1…,a线性无关即为基向量。 18.求下列线性空间的维数及其一组基(向量) (1)全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间
(8) 设 { , } B = 1 2 是 2 R 的一组基, 则 { , } 1 +2 1 −2 也是 2 R 的 一组基. 答：是。因为 0. 1 1 1 1 − (9) 一个有限维线性空间只含有有限个子空间. 答：否，如过原点的平面，其上过原点的直线。 (10) * 如果 1 2 W ,W 是 n R 的两个子空间, 1 2 B ,B 分别是 1 2 W ,W 的基,则 存在 n R 的一组基 B, 使得 { }. B B1 B2 答：否，如 {(1, 1,0 , 0 0 1)}, {(1,1,0 , 0 0 2)} 0, 0 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 ）（ ，， ）（ ，， 是 中平面 是 中平面 = − = + = − = B B W R x x W R x x 12. 设在线性空间 V (F) 中, 向量 是 { , , } 1 r 的线性组合, 但不 是 { , , } 1 r−1 的线性组合, 证明： ( , , , ) ( , , , ). L 1 r−1 r = L 1 r−1 答： r可用 r 线性表示 r 与 r等价。 r r r r r k k k k , , , , , , , , , 0, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − = + + 13．若 { , , , } 1 2 3 4 线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则 存在一组全不为零的数 1 2 3 4 , , , , 使得 0. 11 + 22 + 33 + 44 = 答： 线性相关，如三个为 ，同理，矛盾。 则 线性相关，若两个如 ，则 线性相关 全不为零 若一个如 , , 0 , , 0 , 0. , , 0 1 2 3 1 2 3 3 4 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 4 4 = = + + + = = 16．证明：若向量 可经向量组 { , , } 1 r 线性表示, 则表示法唯 一的充要条件是 { , , } 1 r 线性无关. 证明： , , , , . ) ( ) 0, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r r r k l k l k l k l k k l l = = − + + − = = + + = + + 线性无关 （ 若有 则 17. 在线性空间 V (F) 中, 对于给定的一个向量组 { , , } 1 n , 如 何判断它是否是 V (F) 的一组基向量. 如果已知 dimV=n,又如 何判断 { , , } 1 n 是否是 V (F) 的一组基向量. 什么是有限维 线性空间的维数? 答： 若 线性无关 即为基向量。 线性无关； 可经 线性表示； dim , , , , { , , } , , , 1 1 1 n n n V n V = 18. 求下列线性空间的维数及其一组基(向量)： (1) 全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间
答:2;{(10),(0,1)} (3)全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间 答:4;{(1,0),(0,1),(i10);(0,i)} 21.已知{ax1…,an}是线性空间(F)的一组基向量,如何求(F) 中任一向量关于这一基的坐标 解解方程xa1+…+x,αn=0,得X=(x1,…,xn) 23.已知R2的两组基为:{a,a2}和{e1,e2},其中 a1=(2,-1),a2=(54 e1=(,0),e2=(0.1)试求一个非零向量B∈R2,使B关于这两组基 有相同的坐标,并求这个B关于基{512}的坐标,其中 51=(-11),52=(,1) 解 解方程xa1+x2a2=xe1+x2,即x1(a1-e)+x2(a2-e2)=0, 得即X=(x,x),B=xe+x2e2=(-5);B=y2+y252; 得Y=(y,y2)=(3-2) 24.证明:{1,x-2,(x-2)2}是Fx3的一组基,并求 f(x)=a+bx+cx2关于这组基的坐标 x-2(x-2)=(1x,x2)01-2|=(xx)A 解:f(x)=(1x,x2)b=(1x,x2)Xx=(1,x-2(x-2)y Y=A X=(a+2b+4c, b+4c, c) 26.求下列子空间的交与和的维数及其一组基 W={(x,…x:)x x4=0} W2={(x,…xx-x2+x3-x4=0x-x2-x3+x=0}; 解=L(BAB2B,B=(1-1):,=010.-10):B=(10-) W2=Lax1a2)a1=(10.0);a2=(0,0,)y; W1+W2=L(BB2B3,a1a2)=L(B1B2a1a2)dm(W+2)=4 W∩W2=L(y)y=(-1-11是三个联立方程的解 加题。求W(R)={x…x+ax2+a2x3+a2x1=0的基和维数, 并将基扩充为R4的基 解:解空间=(a1,1,0,0)(-a20,10)r(-a,0.0,1))dmW=3,添加 e4=(1,0,0,0) 28.设WH2是线性空间V的两个子空间 dmW1=m,dmW2=n,m≤n, 证明:(1)dim(W∩W2)≤m;(2)dm(W+W2)≤m+n
答：2; {(1,0), (0,1)} (3) * 全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间. 答：4; {(1,0), (0,1)，(i,0); (0,i)} 21．已知 { , , } 1 n 是线性空间 V (F) 的一组基向量, 如何求 V (F) 中任一向量关于这一基的坐标？ 解 0, ( , , ) 1 1 n n 1 n 解方程x ++ x = 得X = x x 23. 已 知 2 R 的 两 组 基 为 ： { , } { , } 1 2 1 2 和 e e , 其 中 (2, 1), (5, 4), 1 = − 2 = − (1,0), (0,1). e1 = e2 = 试求一个非零向量 2 R , 使 关于这两组基 有相同的坐标 , 并 求 这 个 关于基 { , } 1 2 的坐标 , 其 中 ( 1,1), (1,1). 1 = − 2 = 解： ( , ) (3, 2) . , ( 5,1) ; ; , 0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 T T T Y y y X x x x e x e y y x x x e x e x e x e = = − = = + = − = + + = + − + − = 得 得即 （ ， ） 解方程 即（ ） （ ） ， 24. 证明： {1, 2,( 2) } 2 x − x − 是 3 R[x] 的一组基 , 并 求 2 f (x) = a + bx + cx 关于这组基的坐标. 解： ( 2 4 , 4 , ) . ( ) (1. , ) (1. , ) (1, 2,( 2) ) , (1. , ) . 0 0 1 0 1 2 1 2 1 (1, 2,( 2) ) (1. , ) 1 2 2 2 2 2 2 T Y A X a b c b c c x x X x x Y c b a f x x x x x x x x x A = = + + + = = − − = = − − − − = − 26. 求下列子空间的交与和的维数及其一组基： 解 ( ), ( 1, 1,1,1)是三个联立方程的解。 ( , ) ( , );dim( ) 4; ( ), (1,1,0,0) ; (0,0,1,1) ; ( ), (1, 1,0,0) ; (1,0, 1,0) ; (1,0,0, 1) ; {( , , ) 0; 0}; {( , , ) 0}; 1 2 1 2 1, 2, 3 1, 2 1, 2 1, 2 1 2 2 1, 2 1, 2, 1 1, 2, 3 1, 2, 1, 2 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 4 1 2 3 4 = = − − + = = + = = = = = = − = − = − = − + − = − − + = = + + + = W W L W W L L W W W L W L W x x x x x x x x x x W x x x x x x T T T T T 加题。求 W(R) ={(x1 , , x4 ) x1 + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 = 0}的基和维数, 并将基扩充为 R4 的基. 解：解空间=L((-a1,1,0,0)T,(-a2,0,1,0)T,(-a3,0,0,1)T); dimW=3; 添加 e4=(1,0,0,0). 28. 设 1 2 W ,W 是线性空间 V 的 两 个 子 空 间 , dimW1 = m,dimW2 = n,m n , 证明：(1) dim( ) W1 W2 m； (2) dim( ) . W1 +W2 m + n
证明:①∩形是W的子空间: (2)dm(W+W2)=dmW+dmW2-dm(W∩W2)≤m+n 29.设W是R的k维子空间(0<k<n),如何求W的补空间V 解:把的W基α1,.k扩大为R的基a1,.akak+,.cn则 L(ak+1….xn)是W的补空间 32.求与向量a1=(11-1)a2=(1-1,-11)a3=(2,13)都正交的单 位向量 解法1:设所求向量为=(x1,…,x4),由(aax)=0i=1,2,3,4,解非常组 x1+x2-x3+x4=0 x-x2-x3+x4=0得=-4,0,13单位化得a2=(-4,0-1,3√26 x1+x2+x3+3x4=0 解法2:取α使α1,α2,∝3,α线性无关,再正交化,单位化得0 35.a=(x12x2),B=(y,y2)∈R2,定义: (a, B)=ax y+bx y2+cx2y+dx y2 (其中a,b,c,d∈R),问:a,b,c,d满足什么条件时,(a,B)是R2上的 个内积 解:由(xB)=(B∞x),得b=c 由(aa)=ax2+2bxx2+cx2≥0,得△=4b2-4ac<0 38.求齐次线性方程组 2x,+x,+3 =0 0 3x;+x2+9x3-x1=0 的解空间S的正交补S 解:设α1=(2,1,3-1)2a2=(3,2.0,2)T,a3=(3,1,9,-1)T,则 S=L(a1, a2, a3F-L(a1, a2) 39.设W是R"的非平凡子空间,a∈W,证明:3B∈R使尸∈W1 且(a,B) a∈R=W由W→a=a1+a2(a1∈W0≠a2∈W,若a2=0,则 a=a2∈W),取β=a2(a,B)=(ax1+a2,a2)=(a2a2)≠0 40.设{1…,En}是n维欧氏空间V的一组单位正交基,证明 (1)如果β∈V,且(B,E;)=0(i=1,…n),则β=0 (2)如果B,B2∈V,且va∈,均有(B,a)=(B2,a)则B1=B2 解 (1)B=k1+…+knEn,(B,E)=k1=0(=1…mn)→B=0, 2)令月=B1-B2,由(1),B=0,得B=B2 41.设是n维欧氏空间中的一个固定的非零向量,证明: (1)W={a|(a,2)=0a∈}是V的一个子空间 证明:(1)a1,a∈W,(a1+α2,2)=0.an+a∈W,vk∈R,ka∈W
证明： W W W W W W m n W W W (2 dim( + ) = dim + dim − dim( ) + 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ） （） 是 的子空间； 29．设 W 是 n R 的 k 维子空间(0<k<n), 如何求 W 的补空间 V. 解： 把的 W 基1, k 扩大为 n R 的基1, k,k+1, n 则 L(k+1,n)是 W 的补空间 32. 求与向量1= (1,1, 1,1), (1, 1, 1,1), (2,1,1,3) − 2 = − − 3 = 都正交的单 位向量. 解法 1：设所求向量为=(x1, ,x4), 由(,i)=0(i=1,2,3,4),解非常组 + + + = − − + = + − + = 2 3 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 得=(-4,0,-1,3);单位化得0=(-4,0,-1,3)/26。 解法 2：取使1，2，3，线性无关，再正交化，单位化得0 35. 2 1 2 1 2 = (x , x ), = (y , y )R , 定义： 1 1 1 2 2 1 2 2 (,) = ax y +bx y + cx y + dx y (其中 a,b,c,d R ), 问： a,b,c,d 满足什么条件时, (, ) 是 2 R 上的 一个内积. 解：由(,)=(,),得 b=c; 由(,)= 2 0, 4 4 0. 2 2 1 2 2 2 ax1 + bx x + cx 得 = b − ac 38. 求齐次线性方程组 + + − = + − = + + − = 3 9 0. 3 2 2 0, 2 3 0, 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x 的解空间 S 的正交补 S ⊥ 解：设1=(2,1,3,-1)T,2=(3,2,0,-2 ) T,3=(3,1,9,-1)T,则 S ⊥=L(1,2,3)=L(1,2). 39. 设 W 是 n R 的非平凡子空间, W , 证明： n R 使 ⊥ W , 且 (, ) 0. 解 ： ), ,( , ) ( , ) ( , ) 0. ( ,0 , 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 = = = + = = = + = ⊥ ⊥ 取 若 ，则 W R W W W W n 40. 设 { , , } 1 n 是 n 维欧氏空间 V 的一组单位正交基, 证明： (1) 如果 V , 且 ( , ) 0(i 1, ,n) i = = , 则 = 0. (2) 如果 , , 1 2 V 且 V , 均有 ( , ) ( , ), 1 = 2 则 . 1 = 2 解： (2) , (1), 0, . (1) ,( , ) 0( 1, ) 0; 1 2 1 2 1 1 = − = = = + + = = = = 令 由 得 k kn n i ki i n 41. 设 是 n 维欧氏空间中的一个固定的非零向量, 证明： (1) W = { | (, ) = 0, V} 是 V 的一个子空间. (2) dimW = n −1. 证明：(1)1,2W, (1+2, )=0. 1+2W; kR, kW
是V的一个子空间 (2)将扩充为V的正交基ξ,a1,…,an-1,则W=L(a1,…,anl) 补充题 1.设E是域F的一个子域 (1)证明:F关于自身的加法和乘法,构成一个E上的向量空间,并 (2)举例说明,E不必是F上的向量空间 (3)证明:若V是F上的一个向量空间,则V也是E上的一个向量 空间 证明:取F=R,E=Q(或F=C,E=R)F(E对加法,乘法封闭,满足 加乘运算率,是线性空间。E(F)不是线性空间(乘法不封闭)如 R(Q)是线性空间Q(R)不是线性空间V(F是线性空间则V(E)也是 线性空间,因为(E)对V(F)的加法,数乘封闭,满足加乘运算率。 2.设V是一个线性空间,W是V的子集证明:W是T的子空间 分L(W)=W 证“→”若W的基为a1,a2…;a,则W=L(x1,a12…,a,)=L(W) “∈'L(W)=W中元素对加法数乘封闭,是线性空间,是Ⅴ的子空间 3.设S1S2是线性空间V的两个子集证明: L(S∩S2)L(S)∩L(S2) 并在R中分别举出两个例子,使得上式中等号成立和等号不成立 设S∩S2={a1…an},B∈L(S1∩S2 B=ka1+…kan∈L(S1)∩L(S2) 证明:例S1={e2e},S2={e1e2};"="成立; 例2S1={e,e2+e},S2=,e2};L(S∩S2)=L(e1 L(S1)=L(S2)=L(e1e2)"="不成立 4.证明:若R2中的向量a=(a1,a2),B=(b1,b2)满足 ab1+a2b2=0,a+a2=b2+b2=1 则αB是R2的一组单位正交基 证明:(a,B=0,x=B=1,a,B是R2的一组单位正交基 5.设{a,B}是R2的一组基,又 +C2b, B=ca+c2B 证明:{ax,B是R2的基→c1c2-ci2C21≠0. 证明:C2-c121≠0分a,阿经,B线性表示, a,B与a,B等价,故a,B}也是基。 6.设向量组{a1,a2…a}线性无关,证明:在向量组 {B,a1,a2…,an}中至多有一个向量a(lsi≤r)可被其前面的i个向 量{B,a1,…-}线性表示 证明:若B,a1,a2,…a线性无关,没有a1可被其余向量线性表示; 若B,a1,a2…,a1线性无关(B≠0),而B,a,a2…,Gr线性相关,则
是 V 的一个子空间. (2) 将扩充为 V 的正交基，1，，n-1,则 W=L(1，，n-1). 补 充 题 1．设 E 是域 F 的一个子域. (1) 证明：F 关于自身的加法和乘法, 构成一个 E 上的向量空间, 并 举一例. (2) 举例说明, E 不必是 F 上的向量空间. (3) 证明：若 V 是 F 上的一个向量空间, 则 V 也是 E 上的一个向量 空间. 证明：取 F=R, E=Q(或 F=C, E=R). F(E)对加法，乘法封闭，满足 加乘运算率，是线性空间。E(F)不是线性空间（乘法不封闭）如 R(Q)是线性空间;Q(R)不是线性空间.V(F)是线性空间,则 V(E)也是 线性空间,因为 V(E)对 V(F)的加法，数乘封闭，满足加乘运算率。 2． 设 V 是一个线性空间, W 是 V 的子集. 证明：W 是 V 的子空间 L(W ) = W. 证“”若 W 的基为 , , , , ( , , , ) ( ); 1 2 r 则W = L 1 2 r = L W “”L(W)=W 中元素对加法数乘封闭，是线性空间,是 V 的子空间. 3. 设 1 2 S ,S 是线性空间 V 的两个子集,证明： ( ) ( ) ( ), L S1 S2 L S1 L S2 并在 3 R 中分别举出两个例子, 使得上式中等号成立和等号不成立. 证明: 不成立； 例 例 成立； 设 ， ( ) ( ) ( , ), " " 2 { , }, { , }; ( ) ( ); 1 { , }, { , }; " " ( ) ( ) { }, ( ), 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 = = = = + = = = = = = + = L S L S L e e S e e e S e e L S S L e S e e S e e k k L S L S S S L S S r r r 4．证明：若 2 R 中的向量 ( , ), ( , ) = a1 a2 = b1 b2 满足 0, 1, 2 2 2 1 2 2 2 a1b1 + a2b2 = a1 + a = b + b = 则,是 R2 的一组单位正交基 证明：(,)=0, ==1, ,是 R2 的一组单位正交基. 5. 设 {,} 是 2 R 的一组基, 又 , . = c11 + c12 = c21 + c22 证明： { ,} 是 2 R 的基 0. c11c22 −c12c21 证明： ， 与 ， 等价，故 ， 也是基。 ， 可经 线性表示， { } 0. , 11 22 12 21 c c − c c 6. 设 向 量 组 { r , , , 1 2 } 线 性 无 关 , 证 明 ： 在 向 量 组 { r , , , , 1 2 }中至多有一个向量 (1 i r) i 可被其前面的 i个向 量 { , , , } 1 i−1 线性表示. 证明：若 r , , , , 1 2 线性无关，没有i 可被其余向量线性表示； 若 1 2 1 , , , , i− 线性无关（0），而 i , , , , 1 2 线性相关，则
a可经{B,a1,…a线性表示。若存在 a(k>)可经{B,a12…12…a-线性表示, 设ax=aB+aa1+…+aαx-1,a≠0,否则a1,…a1线性相关, a=bB+ba1+…+ba-12b≠0,否则a12…c线性相关, aoboB=bo(ak akp=ao(a-ba b=a1-1) 又,a1…a线性无关,ba4=0,得b=0,矛盾 7.证明:ax1a2,…;ax(其中a1≠0)线性相关台存在一个 a(1<i≤r),使得a可以由a1a2…,ax线性表示,且表示法唯 证明 ax1≠0,无关,若a1,a2,…-线性无关,而a1,a2,…a线性相关, 则a,可经a1,…a线性表示,若a1=ka1+…k-a1-1=la1+…l-a-1 (k1-1)x1+…(k-1-l-1)x11=0,由1,a2…a线性无关,得 k,=l,Gj=1…,i-1),表示法唯一。 8.设VV2是线性空间V的两个非平凡子空间,证明:彐a∈V,使 a∈1和a∈V2同时成立,并在R中举一例 证明:若 3a1V2,但a∈l3a2gF但a2∈V,则a1+a2gV1且V2 用反证法:若∝1+a2∈V1,且a1∈V→a2∈V矛盾;同理 若a1+a2∈V2,且a2∈V2→a1∈V2,矛盾 10.设S1={a12…an}和S2={月2…,B}是向量空间V的两个线性 无关的子集,证明: (a1…a,B2…,B)线性无关分L(S)∩L(S2)=0} 证明 vy∈L(S)L(S2)y=∑k=∑1B ∑ka1-∑1月=0,a…a,B,…月线性无关,得k=1=0 (i=1,…s,j=1,…1)→y=0,L(S1)∩L(S2)={0 反之,L(S)∩L(S2)={0设∑ka+∑1B1=0,→k=1=0 axp…,a,B2…,月线性无关 1l.设WW2,,都是R的子空间,如果W三W2=W+形4,是否 必有 W1=W∩W2=(W∩W3)+(W∩W4) W=W∩W成立;W⌒W2=(1∩W3)+(W∩W4)不成立。 解:例:W2=R2,W3,W,W是R2上过原点的互异直线, W1=W∩W2≠W∩W3)+(W∩W4)={0}+{0}={0}
i可经{,1 , ,i−1 }线性表示。 若存在 又 线性无关， 得 ，矛盾。 ， ，否则 线性相关， 设 否则 线性相关， 可经 线性表示 , , 0, 0 ( ) ( ) , 0 , , , 0, , , ( ) { , , , , } , 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 = = = − − − = − − − = + + + = + + + − − − − − − − − − b b a b b a a a b b b b b b a a a a k i k k k k k i i i i i i i k k k k k i k 7. 证明： r , , , 1 2 ( 其 中 1 0 ) 线 性 相 关 存在一个 (1 i r) i , 使得 i 可以由 1 2 1 , , , i− 线性表示, 且表示法唯一. 证明： 表示法唯一。 由 ， ， 线性无关，得 则 可经 ， 线性表示，若 无关，若 ， ， 线性无关，而 ， ， 线性相关， ( 1, , 1), ( ) ( ) 0, 0, 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 = = − − + − = = + = + − − − − − − − − − − k l j i k l k l k k l l j j i i i i i i i i i i i i i 8. 设 1 2 V ,V 是线性空间 V 的两个非平凡子空间, 证明： V, 使 V1 和 V2 同时成立，并在 3 R 中举一例。 证明：若 若 且 ，矛盾。 用反证法：若 且 ，矛盾；同理 但 ； 但 ，则 且 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , . V V V V V V V V V V V V + + + 10． 设 { , , } S1 = 1 s 和 { , , } S2 = 1 t 是向量空间 V 的两个线性 无关的子集, 证明： ( , , , , , ) 1 s 1 t 线性无关 ( ) ( ) {0}. L S1 L S2 = 证明： , , , , . ( ) ( ) {0}, 0, 0, 1, , ; 1, , , 0, ( ) ( ) {0}. 0 , , , , 0 ( ) ( ), , 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ， 线性无关 反之， 设 （ ） ， ， 线性无关，得 由 s t j i j t j i j s i i j s t i j t j i j s i i j t j i j s i i L S L S k l k l i s j t L S L S k l k l L S L S k l = + = = = = = = = − = = = = = = = = = = = 11. 设 1 2 3 4 W ,W ,W ,W 都是 3 R 的子空间, 如果 W1 W2 =W3 +W4 , 是否 必有 ( ) ( ) W1 =W1 W2 = W1 W3 + W1 W4 . 解： ( ) ( ) {0} {0} {0}. , , , ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 4 2 3 1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 3 1 4 = + = + = = = = + W W W W W W W W R W W W R W W W W W W W W W 例： 是 上过原点的互异直线， 成立； 不成立
12.在三维复向量空间C中,对任意向量a=(x1x2,x)和 B=(1,y2,y3) 定义:(a,B)=xy1+x2y2+xy3 (1)验证(a,B)是C3上的一个内积(称为C3上的标准内积) (2)已知W=L()(其中=(10.1),求W及W关于C3的标准内 积的单位正交基.解(1) (a, B)=B a=x,y,+x2y2+x3 (B, a)=a'B=xy+x2y2 (a,B1+B2)=(月+B2)a=B1a+B 月)+(a,B2) 3.(ka,B)=k(a,B);(a kB)=k(a,B) 4.(aa)=aa=xx1+2x2+2x32O,(a,a)=0 解(2) W=L()的单位基为0=(01 解ⅸx1+0x2+x3=0,得a2=(1,0,1),a3=(0,10),正交,单位化得 a=1.)a9=010),w-=la2a?
12. 在三维复向量空间 3 C 中 , 对任意向量 ( , , ) 1 2 3 = x x x 和 ( , , ) 1 2 3 = y y y 定义： 1 1 2 2 3 3 (,) = x y + x y + x y (1) 验证 (, ) 是 3 C 上的一个内积(称为 3 C 上的标准内积). (2) 已知 W = L( ) (其中 = (i,0,1) ), 求 W 及 W ⊥ 关于 3 C 的标准内 积的单位正交基. 解（1） 4. ( , ) 0,( , ) 0 0. 3. ( , ) ( , ); ( , ) ( , ). 2. ( , ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1. ( , ) 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 = = + + = = = = + = + = + = + = = + + = = = + + x x x x x x k k k k x y x y x y x y x y x y T T T T T T 解（2） (1,0, ), (0,1,0), ( , ). 2 1 0 0, (1,0, ); (0,1,0), ( ,0,1). 2 1 ( ) 0 3 0 2 0 3 0 2 1 2 3 2 3 0 i W L ix x x i W L i == = = + + = = = = = ⊥ 解 得 正交，单位化得 的单位基为