《代数与几何》第七讲 线性空间

第7讲第2章线性空间 HW7-P91-103)8)9)(10),3(4)(5) EX7-1(14)(5),3(1)(2)(6) 复习p64-71:预习p71-79 第2章线性空间内积空间 线性空间是一个重要的代数结构,线性代数主要是研究有限维 线性空间和线性映射的基本性质 重点:1.线性空间的定义,例子,性质; 2.子空间的定义和例子,判别WcV是否为子空间; 2-1线性空间的定义及其简单性质 定义2.1(公理化定义)设V是一个非空集合,F是一个域,在 V上定义加法(记作“+”);在集F×V上定义数量乘法(简称数乘), 即F×V中每个元素(λ,a)+入aeV,如果 (1)是一个交换群(加法群) (2)数量乘法满足4条性质,即Vax,β∈V,Vλ,μ∈F以及域F 的乘法单位元1,有 lo λ(px)=(u)a (+H)a=ha+H λ(a+B) 则称V为域F上的线性空间,记作V(F)。如果F是实(复)数域,则 称V为实(复)空间。(对加法,数乘封闭)。 1-1-4-4法规 线性空间也称为向量空间,其元素也称为向量。加法群的 单位元记作0 例1系数∈F(数域)的全体多项式组成的集合F[x] 次数小于n的全体多项式的集合F[x],对多项式加法与数乘多 项式运算在数域F上都构成线性空间。 数域F上的n次多项式的集合 p(x)|p(x)=at+ax+…+anx",an≠0 不构成线性空间 例2齐次线性方程组解集合 S={X|AX=0} 称为齐次性方程组的解空间。 例3定义在区间a,b上的全体实值函数,对通常的函数加法和 实数与函数的乘法为实数域R上的线性空间Cab] 思考:下列哪些是线性空间?R(R);R(C),C(R);C(C)? 注意:如果Ⅴ对定义的加法或数乘运算不封闭,或者V对加法 不构成交换群,或者数乘4条性质有一条不满足,则非空集V在F 上不构成线性空间

第 7 讲第 2 章 线性空间 HW7-P91--1(3)(8)(9)(10), 3(4)(5), EX7 `-1(1)(4)(5), 3(1)(2)(6) 复习 p64－71；预习 p71－79 第 2 章线性空间 内积空间 线性空间是一个重要的代数结构，线性代数主要是研究有限维 线性空间和线性映射的基本性质。 重点：1. 线性空间的定义，例子，性质； 2.子空间的定义和例子，判别 WV 是否为子空间； 2-1 线性空间的定义及其简单性质 定义 2.1(公理化定义) 设 V 是一个非空集合，F 是一个域，在 V 上定义加法（记作“+”）；在集 FV 上定义数量乘法(简称数乘)， 即 F  V 中每个元素(,)V，如果： (1) 是一个交换群(加法群)； (2) 数量乘法满足 4 条性质，即 ,V, ,F 以及域 F 的乘法单位元 1，有： 1= ()=() (+)=+ (+)=+ 则称 V 为域 F 上的线性空间，记作 V(F)。如果 F 是实(复)数域，则 称 V 为实(复)空间。(对加法，数乘封闭)。 1-1-4-4 法规 线性空间也称为向量空间，其元素也称为向量。加法群的 单位元记作 0。 例 1 系数F(数域)的全体多项式组成的集合 F[x]; 次数小于 n 的全体多项式的集合 F[x]n，对多项式加法与数乘多 项式运算在数域 F 上都构成线性空间。 数域 F 上的 n 次多项式的集合 {p(x) p(x)=a0+a1x++anx n , an 0} 不构成线性空间。 例 2 齐次线性方程组解集合 S = { X  AX=0} 称为齐次性方程组的解空间。 例 3 定义在区间[a, b]上的全体实值函数，对通常的函数加法和 实数与函数的乘法为实数域 R 上的线性空间 C[a, b]。 思考：下列哪些是线性空间？R(R)；R(C); C(R)；C(C)？ 注意：如果 V 对定义的加法或数乘运算不封闭，或者 V 对加法 不构成交换群，或者数乘 4 条性质有一条不满足，则非空集 V 在 F 上不构成线性空间

定义减法为:a-B=a+(-B) 由线性空间的定义可推出下面的简单性质: 1.零元是唯一的,每一个元的负元是唯一的; 2.数乘运算的分配律对减法成立,即α,B∈V,λ.,μ∈F, 入(-阝)=Aa-^B (2-1) (-)=a- 因为 (α-阝)+B=[(a-阝)+β=[o+(-B)+β)=λ(a+0)=a (λ-μ)a+pa=[(-)+p]=a 3.数乘运算有下列性质: 0=0,(-β)=-(λB) 0a=0,(-u)a=-(pa) (2-4) 特别(-1)x=-a 证明:在(2-1)式中分别令α=β,=0,在(2-2)式中分别令=u和入 4.若λa=0,则λ=0或a=0 如果λ≠0,则a=1a=(a=2(a)=-0=0 由此,方程 入阝3+a1+入x02+…+rx1=0 当λ≠0时,其解为 β=--:a1-2-a 定义22设V(F)是一个线性空间,a∈V,λ∈F(i=1,2,…,m) 则向量 =1+202+…+λaa 称为向量组{αx,2…,x在域F上的线性组合,或说α在域F上 可用向量组{a,a2,…,a-}线性表示。 如e1=(1,0,0),e2=(0,1,O),e3=(0,0,1) a=(al, a2, a3)=a1e1+ a2e2+ a3 e3 例5证明:在Rx]={a+bx+cx|a,b,c∈R}中任一个多项式p(x) 都可唯一地表示为p(x)=1+x,px)=1-x,px)=x+x2的线性组 证设p(x)∈Rxl p(x)=M pi(x )+22 p(x )+ A3 p3(x 得

定义减法为： −  =  + (−), 由线性空间的定义可推出下面的简单性质： 1. 零元是唯一的，每一个元的负元是唯一的； 2. 数乘运算的分配律对减法成立，即  , V; ,   F, ( − ) =  −  , (2-1) ( − ) =  −  (2-2) 因为 ( − ) +  = [( − ) + ] = [+((−) + )] = ( + 0) =  ① ( − ) +  = [( − ) +  ] =  ② 3. 数乘运算有下列性质：  0 = 0, (−) = −( ) (2-3) 0 = 0, (−) = −() (2-4) 特别 (−1) = −. 证明：在(2-1)式中分别令 = ,  = 0, 在(2-2)式中分别令 = 和 = 0。 4. 若 = 0，则 = 0 或 = 0. 如果  0, 则  = 1 = ( -1 ) =  -1 (  ) =  -1 0 = 0 . 由此，方程 +11+22 ++r r = 0 当  0 时, 其解为  = −  -1 11 −  -1 22 −  −  -1 r r 定义 2.2 设 V(F)是一个线性空间, i V, iF (i = 1, 2,, m), 则向量  = 11 + 22 ++ m m 称为向量组{1, 2 ,, m}在域 F 上的线性组合，或说  在域 F 上 可用向量组{1, 2 , …, m}线性表示。 如 e1 =(1,0,0),e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) = (a1, a2, a3) = a1e1 + a2e2 + a3 e3 例 5 证明: 在 R[x]3 ={a+bx+cx2  a,b,cR}中任一个多项式 p(x) 都可唯一地表示为 p1(x )=1+x, p2(x )=1−x , p3(x )=x+x 2的线性组 合。 证 设 p(x )  R[x]3 p(x) = 1 p1(x ) + 2 p2(x ) + 3 p3(x ) 得       1 2 1 2 3 3 + = − + = =      a b c

有解1=(a+b-cy2,~2=(a-b+cy2,=c 故p(x)可唯一地表示为 p(x)=(a+ b-c)pl(x)2 +(a-b+c)p2(x)/2+ C3 p3(x) 22线性子空间 定义23设W是线性空间V(F)的非空子集,如果W对V中的 运算也构成域F上的线性空间,则称W为V的线性子空间(简称子 空间)。 例R中过原点的平面x1-3x2+5x3=0上的全体起点在原点向 量 W1={(x 不过原点的平面x1-x2+2x3=1上的全体向量 W1关于向量的加法和数乘是封闭的,是线性空间;而W2不封闭, 不是。 定理2.1线性空间VF)的非空子集W为V的子空间的充分必 要条件是W对于V(F)的线性运算封闭。 证V(F)中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对W 都成立。W对数乘封闭,所以取λ=0和-1,即得 0a=0∈W,(-1)x=-a∈W, 故W是V(F)的线性子空间 例1{0}是V的子空间(零子空间);V本身也是V的子空间。 它们称为V的平凡子空间,V的其它子空间称为非平凡子空间。 例解空间S是R"的子空间。R[x]3是R区x]的子空间, Rx2={a0+ax|a,a∈B}是Rx]的子空间 例R3的下列子集 W1={(x,y,z)|2x=3y=z W2=f(x, y, z) ax+by+cz=1 W是R的子空间,而W2不是子空间。 定义2.4设S是线性空间V(F)的非空子集,S中所有有限子 集在域F上的一切线性组合所组成的V(F)的子集合,称为S的线性 扩张,记作L(S),即 L(S)={λa1+…+a,…,∈F,a,…,a∈S,keN} 定理2.2线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张LS)是V中 包含S的最小子空间。 证L(S)=S。(1)L(S)是V的子空间,因为 L(S)对加法和数乘封闭,设α,β∈S,则存在,,O;β1,…,Bn∈ S,使 =入a1+入22+…+λam,β=β1+…+μaβ 其中λ,λ,…λ-;μ,…,μ∈F,于是

有解 1 =(a + b − c)/2 , 2 = (a − b + c)/2 , 3 = c . 故 p(x)可唯一地表示为 p(x) = (a+ b −c) p1(x)/2 +(a −b+c) p2(x)/2 + c3 p3(x ) . 2-2 线性子空间 定义 2.3 设 W 是线性空间 V(F)的非空子集，如果 W 对 V 中的 运算也构成域 F 上的线性空间，则称 W 为 V 的线性子空间(简称子 空间)。 例 R 3中过原点的平面 x1 −3 x2 + 5x3 = 0 上的全体起点在原点向 量 W1 = {(x1, x2, x3)  x1 −3 x2 + 5x3 = 0} 不过原点的平面 x1 − x2 + 2x3 = 1 上的全体向量 W2 = {(x1, x2, x3)  x1 − x2 + 2x3 = 1} W1 关于向量的加法和数乘是封闭的，是线性空间；而 W2 不封闭， 不是。 定理 2.1 线性空间 V(F)的非空子集 W 为 V 的子空间的充分必 要条件是 W 对于 V(F)的线性运算封闭。 证 V(F)中数乘满足的 4 条性质及加法的交换律与结合律对 W 都成立。W 对数乘封闭，所以取 = 0 和 −1，即得 0 = 0 W , (−1) = −  W , 故 W 是 V(F)的线性子空间。 例 1 {0}是 V 的子空间（零子空间）；V 本身也是 V 的子空间。 它们称为 V 的平凡子空间，V 的其它子空间称为非平凡子空间。 例 解空间 S 是 R n的子空间。 R[x]3是 R[x] 的子空间， R[x]2 ={a0 +a1xa0,a1R}是 R[x]3的子空间。 例 R 3的下列子集 W1 ={(x,y,z)2x=3y=z}, W2 ={(x,y,z)ax+by+cz=1 } W1是 R 3的子空间，而 W2不是子空间。 定义 2.4 设 S 是线性空间 V(F)的非空子集， S 中所有有限子 集在域 F 上的一切线性组合所组成的 V(F)的子集合，称为 S 的线性 扩张，记作 L(S)，即 L(S)={11++kk1,,kF, 1,,kS, kN } 定理 2.2 线性空间 V(F)的非空子集 S 的线性扩张 L(S)是 V 中 包含 S 的最小子空间。 证 L(S)S。（1）L(S)是 V 的子空间，因为： L(S)对加法和数乘封闭，设 ,S，则存在 1,, m,；1,, n  S，使 =11+22 ++ mm ，  =11 +  + nn 其中1, 2,,r ; 1,, n F，于是

α+B=2x1+2ax2+…+aa+uB1+…+μBn∈L(S)对加法封闭 yλ∈F,也有 a=a1+入22+…+Cn∈L(S)对数乘封闭 (2)最小子空间:设W是V中包含S的任一子空间,则对任意的 由于∝,a2,…,∝n∈ScW,由封闭性,α∈W,从而L(S)W。因此L(S) 是V中包含S的最小子空间。 称LS)是由S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果S是有限子 集{α,α2,…α},就称L(α,α2…,αx)是由向量组{a,α2,…,an} “张成”的子空间。 反之,一个线性空间是否存在一组元素“张成”此空间? 定义2.5称(F为有限维线性空间,若存在有限集ScV,使得 L(S)=V:否则,称为无穷维线性空间。 例5R(R)是有限维线性空间,取S={e,c,es},其中 e={1,0,0},e2={0,1,0},e3={0,0,1}.则L(S)=R2。因为L(S)cR Va=(aI, a2, a3)=a1e1+ a2e2+ a3esEL(S) 所以RcL(S),因此L(S)=R。 例6R[x]是R上的有限维线性空间。有限子集S={1,xx}, 使得L(S)=R[x]。 同理,R[xl是R上有限维线性空间。而Rx是R上的无穷维线 性空间。 如果B={(,α2,…,a}使得L(B)=W,可否去掉B中一部份元 素,使余下的元素仍可张成W呢?

+=11+22 ++ mm+11 +  + nn L(S) 对加法封闭；   F, 也有  = 11+22 ++ mm L(S) 对数乘封闭。 (2) 最小子空间:设 W 是 V 中包含 S 的任一子空间，则对任意的 =11 + 22 ++ mm L(S) 由于1, 2, …, m SW，由封闭性，W，从而 L(S)W。因此 L(S) 是 V 中包含 S 的最小子空间。 称 L(S)是由 S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果 S 是有限子 集{1, 2, …, m }, 就称 L(1, 2,…, m)是由向量组{1, 2, …, m } “张成”的子空间。 反之，一个线性空间是否存在一组元素“张成”此空间？ 定义 2.5 称 V(F)为有限维线性空间，若存在有限集 SV，使得 L(S) = V；否则, 称为无穷维线性空间。 例 5 R 3 (R)是有限维线性空间，取 S = {e1 , e2, e3}，其中 e1={1,0,0}, e2 = {0, 1, 0}, e3 ={0, 0, 1}, 则 L(S) = R3。因为 L(S)  R 3；  R 3  = (a1, a2, a3) = a1e1+ a2e2 + a3e3L(S). 所以 R 3 L(S)，因此 L(S) = R 3。 例 6 R[x]3是 R 上的有限维线性空间。有限子集 S = {1, x, x2 }， 使得 L(S) = R[x]3。 同理, R[x]n是 R 上有限维线性空间。而 R[x]是 R 上的无穷维线 性空间。 如果 B = {1, 2,…,n}使得 L(B) = W，可否去掉 B 中一部份元 素，使余下的元素仍可张成 W 呢？