《代数与几何》方程组，矩阵辅导

方程组,矩阵辅导 1矩阵的相抵或等价)标准形 定义设Amm经过初等变换可化为B,就称A相抵于B(A等价于B),记作A≡B 相抵关系≡是一个等价关系。A≡B,即存在m阶初等矩阵PL,P2…,P5和n阶初等矩阵 Q1,Q2,…Q,使得 Ps…P2P1AQ1Q2…Qh=B A≡B的充要条件是存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B(或秩(A)=秩(B) 定理若秩(Amx)=r,则存在可逆矩阵P和Q,使得 PAO E O 0 O 其中E为r阶单位矩阵,O1是rx(n-)零矩阵,O2是(mr)x零矩阵,O是(mr)xn-n)零矩阵 称矩阵U为A的相抵(或等价)标准形。所有秩为r的m矩阵都相抵于U 定理设A为n阶矩阵,则下列命题等价 (1)A可逆(称A为非奇异) (2)(A)=n(称A为满秩 (3)A的n个列(行)向量线性无关; (4)齐次线性方程组AX=0只有零解; (5)|A≠0(即detA)≠0) 2.关于秩的几个不等式: 1)秩(A+B)≤秩(A)+秩(B) (2)秩(AB)≤min(秩(A),秩(B) (3)如果P,Q分别是m,n阶可逆矩阵,A为mxn矩阵,则 秩(PA)=秩(AQ=秩PAQ=秩(A) 因为:PA=A,所以秩(PA)=秩(A);或由A=P(PA),即得秩(A)≤秩(PA)≤秩(A)) (4)A为m×n矩阵,B为nxs矩阵 若AB=O,则秩(A)+秩(B)≤n (5)秩(AB)秩(A)+秩(B)-n r(A)+r(B) 例题 求如下方程组的一般解: +3x。=0 2x1-2x2-x3+2x4+4x5=0 3x1-3x2-x3+4x4+5x5=0 x+8

方程组，矩阵辅导 1.矩阵的相抵(或等价)标准形 定义 设 Amn 经过初等变换可化为 B，就称 A 相抵于 B (A 等价于 B)，记作 A  B . 相抵关系  是一个等价关系。A  B，即存在 m 阶初等矩阵 P1,P2,,Ps和 n 阶初等矩阵 Q1,Q2,,Qt，使得 PsP2P1AQ1Q2Qt = B A  B 的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ=B(或 秩(A)=秩(B) ). 定理 若秩(Amn)= r，则存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 r r U O O E O PAQ =      = 2 1 其中 Er为 r 阶单位矩阵 ，O1是 r  (n-r)零矩阵，O2 是(m-r)r 零矩阵, O 是(m-r)(n-r)零矩阵. 称矩阵 Ur 为 A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为 r 的 mn 矩阵都相抵于 Ur. 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列命题等价: (1) A 可逆（称 A 为非奇异）； (2) r(A) = n (称 A 为满秩); (3) A 的 n 个列(行)向量线性无关； (4) 齐次线性方程组 AX=0 只有零解; (5) A0（即 det(A) 0）. 2. 关于秩的几个不等式： (1) 秩(A+B)  秩(A)+秩(B) (2) 秩(AB) min(秩(A),秩(B)) (3) 如果 P, Q 分别是 m, n 阶可逆矩阵, A 为 mn 矩阵，则 秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)=秩(A) (因为: PAA, 所以秩(PA)=秩(A) ; 或由 A=P−1 (PA)，即得:秩(A)秩(PA)秩(A) ) (4) A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵, 若 AB=O，则 秩(A)+秩(B) n； (5) 秩(AB)秩(A)＋秩(B)－n. (6) r(A) r(B) O B A O r = +       例题 1 求如下方程组的一般解：        − + + + = − − + + = − − + + = − − + = 8 2 3 3 4 5 0 2 2 2 4 0 3 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

24:000104:0 45:00001-3:0 有三个非零行,所以r(A)=3,每行第一个非零元所在的列:第1,3,4列(共r个)对应 的变量x1,x3,x为主元,其余的n个变量x2,%为自由未知量.自由未知量(x2,x)分别取 (1,0);(0,1)代入得到X1=(1,1,0,0,0);X5=(-7,0,-4,3,1)为方程组解的极大线性无关组(基 础解系),其一般解为 k X=kX+k,X 4k2|=k0+k2-4(k,k为任意常数)。 Lk」[0 2若 Anb=0,则r(A)+r(B)≤n. 证明:记B=(1,B2,…,B)则AB=AB1,B,…,B)=(AB,AB…AB)=(O,…,O) 所以,B1,B2,…,是AmX=0的解,又AxX=0最多有n-r(A)个线性无关的解, 所以,r(B)=秩{β1,β2,…,β3}≤n-r(A),则r(A)+r(B)≤n 3.已知a1=(-1,-1,0,0)r,a2=(1,2,1,-1)T;a3=(0,1,1,-1)T;a4=(1,3,2,1)T a5==(2,6,4,-1).求一个极大线性无关组,并将其余向量用其线性表示 1-10-1-21「1010 12136011240110 A 01124 00011 000 0-1-1120000000000 a1,a2,a4是一个极大线性无关组。A1=[1,a2,a4],A1X=3, 由[A1,a3]=[a1,a2,a4,a3],得a3=a1+a2 由[A1,s]=[a1,a2,a4,s5],得a5=a1+2a2+a4。 4.若A为mxn矩阵,且m<n,则ATA是不可逆矩阵 证:由于秩(AA)≤秩(A)≤min{mn}=m,而AA是n阶矩阵,故AA是不可逆矩阵 5.设α,B为非零向量,a=(a,a2,an)1,B=(b,b2…,bh),A=ap,B=aa 证明:秩(A)=1;秩(B=1 证:秩(A)≤min(秩(a)秩(B)≤1, 又A≠0.秩(A)≥1,所以,秩(A)=1。同理秩(B)=1。 6.A为n阶幂等矩阵(A2=A),则,r(A+r(E-A=n(或r(A)+r(A-E=n)。 证明:由A2=A,A(A-E)=O,(A)+r(E-A)≤n 又r(A)+r(E-A)2r(A+EA)=(A=n,故等号成立r(A)+r(E-A=n 7.已知方程组AX=0解的极大线性无关组(基础解系)X1=(1,0,-1,0)T,X2=(0,2,1,1);求 个最简单的A

            − − − − − − − 1 1 1 1 8 0 3 3 1 4 5 0 2 2 1 2 4 0 1 1 1 0 3 0              − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 0 1 1 0 0 7 0 有三个非零行，所以 r(A)=3，每行第一个非零元所在的列：第 1,3,4 列（共 r 个）对应 的变量 x1,x3,x4 为主元，其余的 n-r 个变量 x2,x5 为自由未知量. 自由未知量 (x2,x5)分别取 (1,0);(0,1)代入得到 X1=(1,1,0,0,0);X5=(-7,0,-4,3,1)为方程组解的极大线性无关组（基 础解系），其一般解为： ( , 为任意常数)。 1 3 4 0 7 0 0 0 1 1 3 4 7 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 k k k k k k k k k k X k X k X                 − − +                 =                 − − = + = 2 若 AmnBns=O,则 r(A)+r(B)n. 证明：记 B=(1, 2 ,, s), 则 AB=A(1, 2 ,, s) =(A1, A2 ,,A s)=(O,, 0), 所以，1, 2 ,, s 是 AmnX=O 的解，又 AmnX=O 最多有 n－r(A)个线性无关的解， 所以，r(B)＝秩｛1, 2 ,, s｝n－r(A), 则 r(A)+r(B)n. 3. 已知1=(-1,-1,0,0)T, 2=(1,2,1,-1)T; 3=(0,1,1,-1)T; 4==(1,3,2,1)T ; 5==(2,6,4,-1)T.求一个极大线性无关组，并将其余向量用其线性表示。 解： A =U                          − − −              − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2 4 1 1 0 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 2 4 1 2 1 3 6 1 1 0 1 2 1，2，4 是一个极大线性无关组。A1=[1，2，4]，A1X=3 , 由[A1,3 ]=[1, 2，4，3],得 3=1+2, 由[A1,5 ]=[1, 2，4，5], 得 5=1+22+4。 4． 若 A 为 mn 矩阵，且 m<n，则 ATA 是不可逆矩阵。 证：由于秩(ATA)秩(A) min{m,n}=m，而 ATA 是 n 阶矩阵，故 ATA 是不可逆矩阵。 5．设, 为非零向量，＝(a1, a2 ,, an) T ; =(b1, b2 ,, bn) T，A= T ; B=  T ; 证明：秩(A)=1; 秩(B)=1 证：秩(A) min(秩(),秩( T )) 1, 又 A0. 秩(A) 1，所以，秩(A) ＝1。同理秩(B) ＝1。 6． A 为 n 阶幂等矩阵（A2 =A）,则，r(A)+r(E－A)=n（或 r(A)+r(A－E)=n）。 证明：由 A2 =A，A (A-E)=O, r(A)+r(E－A)n； 又 r(A)+r(E－A)r(A+E-A)=r(A)=n, 故等号成立:r(A)+r(E－A)=n. 7. 已知方程组 AX=0 解的极大线性无关组（基础解系）X1=(1,0,-1,0)T, X2=(0,2,1,1)T; 求 一个最简单的 A

解:令A的行向量为(a,a,a3,a),则AX1=0(i=1,2),得 a1-a3=0 2a2+a3+a4=0 (a12a2,a32a4)=k1(1-,10)+k2(0,-,0,1),所以,取 10 A20-01因为n=4r=2所以A为最简单的。 8设A为实矩阵,方程组I:AX=O;Ⅱ:AAX=O,下列哪个成立? (A)L,Ⅱ为同解方程组 B)Ⅱ的解是I的解,反之不对; (C)I的解是Ⅱ的解,反之不对; (D)I的解不是I的解,I的解不是I的解。 答:(A)成立。因为若AX=O,则A"(AX)=O,I的解都是Ⅱ的解:反之, 若AAX=O,则X(AAX=(AX)AX=0,向量AX的模=0,所以AX=O Il的解都是I的解,所以,L,为同解方程组 9.设α=(1,2,1),β=(1,12,0),y=(0,0,8),A=aB,B=Ba,求解方程: B2A2X=AX+B X+y 解:(2B2A2-A4-B)X=y B=Ba=2, A=a(BaB=2aB=2A; A=A'A=2A. 2A=8A. (2B2A2-A-B)X=(8A-8A-16E)X=8(A-2E)X=y;(A-2E)X=ky, 10 2-10 得X 1-2lx 10.设A=(a)x,b=(b,bx,…b),X=(x,x2…,x),Y=(y,y,…y)",证明: 若AY=b有解,则AX=O的任一组解,都满足bX=O; 证明:若Yo是AY=b的任一解:AY0=b,有b=(AY0)1=Y0A. 设X为AX=O的任一解,AX0=O则 bX0=(YoA)X=Y(AX)=YTO=O,所以X0为bX=O的解; 11.下列命题是否正确? (1)若a1…,On(m>2)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线性组合 (2)若a1…,an线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组合 3)a1,…an(m>2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关 (4)若a1,a2线性相关,B1,B2线性相关,则《1+月、a2+B2也线性相关 (5)若a1,…,Cn线性无关,则a1+a2,a2+a,…,an-1+an,an+a1也线性无关 (6)若a1,a2,a3线性相关,则a1+a2,a2+a3,C3+ax1也线性相关 (7)设B={aa2a3}线性无关,非零向量a0∈R3,则 {a+a12a0+a2a+a3}也是线性无关 (8)设B={ax1,a2}线性无关则{a1+a2,01-a2}也是线性无关 解:(1)不正确,每一个’改为‘至少一个’才成立: (2)正确;(3)不正确必要非充分

解：令 A 的行向量为 (a1,a2, a3, a4),则 AXi=0 （i=1,2）,得 因为 所以 为最简单的。 所以，取 A n r A a a a a k k a a a a a . 4, 2, 0 0 1 1 1 0 ( , , , ) (1, ,1,0) (0, ,0,1), 2 0 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3  = =      − − = = − + −    + + = − = 8.设 A 为实矩阵，方程组 I：AX=O；II：ATAX=O，下列哪个成立？ (A) I, II 为同解方程组; (B) II 的解是 I 的解，反之不对; (C) I 的解是 II 的解，反之不对; (D) II 的解不是 I 的解，I 的解不是 II 的解。 答：（A）成立。因为若 AX=O，则 AT (AX)=O, I 的解都是 II 的解；反之， 若 ATAX=O，则 XT (ATAX)=(AX) TAX=0，向量 AX 的模＝0，所以 AX＝O； II 的解都是 I 的解，所以， I, II 为同解方程组。 9. 设=(1, 2, 1)T , =(1, 1/2, 0)T , =(0, 0, 8)T , A= T , B= T, 求解方程： 2B2A 2X =A4X+B4X+ 解：(2B2A 2－A 4－B 4 )X= 0 . 0 1 2 1 , 1 0 0 1 2 2 1 0 1 0 (2 ) (8 8 16 ) 8( 2 ) ; ( 2 ) , 2, ( ) 2 2 ; 2 2 8 . 2 1 3 2 1 2 1 2 1 8 2 2 4 4 2 1 2 4 2 2           − +           =           =                     − − − − − = − − = − = − = = = = = = = =  = X k x x x B A A B X A A E X A E X A E X B A A A A A A A A T T T T 即 得           10.设 A=(aij)mn , b= (b1,b2,,bm) T , X= (x1,x2,,xm) T , Y= (y1,y2,,yn) T ,证明： 若 AY=b 有解，则 ATX=O 的任一组解，都满足 b TX=O； 证明： 若 Y0 是 AY=b 的任一解：AY0=b, 有 b T＝(AY0) T =Y0 TAT . 设 X0 为 ATX=O 的任一解，ATX0=O,则 b TX0=( Y0 TAT )X0= YT (ATX0) = YT O=O, 所以 X0 为 b TX=O 的解； 11.下列命题是否正确？. (1)若 , , ( 2) 1   m m  线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合. (2) 若   m , , 1  线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合。 (3) , , ( 2) 1   m m  线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关. (4)若 1 2  , 线性相关, 1 2  , 线性相关, 则 1 + 1、2 + 2 也线性相关. (5)若  n , , 1  线性无关, 则 1 2 2 3 1 1  + , + ,  ,n− +n ,n + 也线性无关. (6)若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 也线性相关. (7) 设 { , , } B = 1 2 3 线性无关., 非零向量 3 0  R , 则 { , , } 0 +1 0 +2 0 +3 也是线性无关. (8) 设 { , } B = 1 2 线性无关.则 { , } 1 +2 1 −2 也是线性无关. 解：(1)不正确,‘每一个’改为‘至少一个’才成立； (2)正确； (3) 不正确,必要非充分；

(4)不正确,如(1,0,(20)相关,(O,1)(0,3)相关,(1,1)(2,3)无关; (5)n为奇数时,线性无关;n为偶数时,线性相关,因为AX=O(A如下:) 当n为偶数时AX=O有非零解 当n为奇数时AX=O只有零解 (6)正确,不仿设a1可经a2,a1线性表示,则a1+a2,2+ax3x3+a1可经a2,a线性表 (7)不正确,如=-1; (8)正确,设 k(ax+a2)+k(a1-a2)=(k+k2x1+(kk2a2=0k+k2=0,k-k=0,得k=k2=0 12.设A,B∈Mn(R),判断下列命题是否正确? (1)若A,B皆可逆,则A+B也可逆 2)若A+B可逆,则A,B皆可逆 (3)若AB不可逆,则A,B皆不可逆 (4)若A是幂零矩阵(即k∈N,使A=0),则A不可逆 (5)若AB=0,则A0或B=0 (6)(A+E)(A-E)=(A-E)(A 解:(1),(2),(3),否;(4),(5),(6),是. 13.求031。 解:设B=001|,原式=(3E+By=3E+B3=B+(xn1)3nB2 000 (因为B3=O, 320"「3”n3"3′ B2=000所以,032=03 000 003 00 4.已知B可逆,A,B,C满足:ABC+E)-B=E,求C。 解:两边右乘B1(BC+E)得: ( BC+E 所以, C=A-B- 15.已知BC,A满足:(E一CB)CA=E。求A,Al。 解:左=[C(E-CB)]A=(CB)A=(C-B)A=E, 所以A1=(Cr-B) 16.已知(2C一B)可逆,B,C,A满足:(2E-BC1)A=(C),求A, 解:[A(2E-BC)]=(C),转置得:A(2E一BC)=C1 A=c1(2E-BC1)1=((2E-BC)C)4=(2C-B) 17.设X={x1…,xn},y=[y,…,yn,且XY=3,B=XY,A=E+B证明

(4)不正确,如(1,0),(2,0)相关，(0,1),(0,3) 相关，(1,1)(2,3)无关; (5) n 为奇数时, 线性无关；n 为偶数时, 线性相关, 因为 AX=O(A 如下：)    = =             当 为奇数时 只有零解。 当 为偶数时 有非零解； AX O AX O n n 1 1 1 1 1 1    (6)正确, 不仿设1可经 2 , 3线性表示，则 1 2 2 3 3 1  + , + , + 可经2 ,3线性表示， (7)不正确,如0=-1 ； (8)正确，设 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, k1 1 +2 + k2 1 −2 = k1 + k2 1＋ k1－k2 2 ＝ k1 + k2 = k1－k2 = 得 k1=k2=0. 12. 设 A,BMn(R), 判断下列命题是否正确？ (1) 若 A,B 皆可逆, 则 A+B 也可逆； (2) 若 A+B 可逆, 则 A,B 皆可逆； (3) 若 AB 不可逆, 则 A,B 皆不可逆； (4)若 A 是幂零矩阵(即 kN, 使 A k =O), 则 A 不可逆； (5)若 AB=O, 则 A=O 或 B=O; (6)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) 解： (1),(2),(3),否；(4),(5),(6),是. 13. 求 n           0 0 3 0 3 1 3 1 0 。 解: 设 B=           0 0 0 0 0 1 0 1 0 ，原式＝(3E+B)n=3E+n3 n-1 B+(n(n-1) /2)3 n-2 B 2 , ( 因为 B 3 =O)，. , 0 0 3 0 3 3 3 3 3 0 0 3 0 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 ( 1) 2           =                     = − − − − n n n n n n n n n n n B 所以， 14. 已知 B 可逆, A,B,C 满足：A(BC+E) –1B=E, 求 C。 解：两边右乘 B –1 (BC+E) 得： A=B–1 (BC+E) = B-1 +C; 所以， C=A-B –1。 15. 已知 B,C,A 满足：(E－C -1B)TC TA=E。求 A, A-1。 解：左＝[C (E－C -1B)]TA=(C-B)TA=( CT－B T )A=E, 所以 A-1=( CT－B T ); A=( CT－B T ) -1 . 16. 已知(2C－B)可逆，B, C, A 满足：(2E－BC-1 ) TAT=(CT ) –1，求 A.， 解： [A (2E－BC-1 ) ]T=(C- 1 ) T , 转置得： A (2E－BC-1 ) =C- 1 A＝C - 1 (2E－BC-1 ) -1＝( (2E－BC-1 )C)-1=(2C－B)-1 17.设 T n T n X [x , , x ] , y [y , , y ] = 1  = 1  , 且 XTY=3, B=XYT ,A=E+B 证明：

(1)B=3B (2)A可逆,并求A 证明:()B=(XY)=X(YX(Y1…XYX)Y=3XYy=3B (2)A2=(E+B)2=E+2B+B2=E+5B,=E+5(A-E)=5A4E,(B2=3B) A2-5A=-4E,A(A-5E)=4E E 18设B=[x1,…xn]≠0,A=E-BB,证明: (1)A2=A→BB=1;(2)ββ=1时A不可逆。 明:(1)设βB=k,A2=(EBB)2=E2BB+BBBB A2=A→E+(k-2)BB=E-BB→k-2=1→k=βBr BB=1=A2=E-2BBT+BB'BBT=E-BB=A; (2)ββ=1A2=A,若可逆,→AA2=AA=E,→A=E,与A=(E-BB)矛盾 19.已知A≠0为n阶实矩阵,证明:AA≠0. 明 aa 设A={a1…an则AA=:[o 由A≠0,存在a:=(a1 2>0,所以,AA≠

（1）B k =3k-1B； （2）A 可逆, 并求 A -1 . 证明：(1) Bk = (XYT ) k = X(YT X)(YT X)(YT X)YT =3k-1 XYT = 3k-1B; （2）A2= (E+B)2 =E+2B+B2 =E+5B,=E+5(A-E)=5A-4E， （ B 2 =3B） A2－5A＝－4E， A(A-5E)=-4E, 4 ( 5 ) , 4 ( 5 ) 1 A E E A A E A − = = − − − − 18.设 T T  = [x1 ,  , x n ]  0, A = E −   ,证明： (1) A2=A T  =1; (2)  T  =1 时 A 不可逆。 证明：（1）设  T  =k, A2=(E- T ) 2 =E-2 T+ T T=E+(k-2) T ) A2 =A  E+(k-2) T=E- T  k-2=-1  k= T =1 ;  T=1  A2 = E-2 T+ T T =E- T=A ; (2)  T  =1  A2=A ,若可逆，A -1A2= A -1A=E, A=E， 与 A=(E- T )矛盾。 19.已知 A0 为 n 阶实矩阵，证明: A TA0. 证明: 设             =           = = n T n T n n T T n T n T T A n A A                       1 1 1 1 1 1 1 [ , , ],则 , 由 A0,存在i=(a1i, a2i, ,ani) T0, i TI=a1i 2+a2i 2+ +ani 2>0,所以，A TA0