《代数与几何》期中习题解答

期中自我检查题及答案 班级 学号 时间:25小时 1判断下列命题是否成立?(每题3分) (1)若a12…an线性无关,B1…B线性无关。则a2…;an,B2…B线性无关(否) (2)若a12…an线性无关,a不能用a1…an线性表示,,则a1,…,an2Cn1线性无关。(是) (3)(a,B)y=(B,y)a (否) (4)若∝1…,a2n+1线性无关,则a1+a2,a2+a3,…,a2n+a2n+1,a2n+a1也线性无关。 (是)。a1+a2,a2+a3,…a2n1+a2n,a2n+ar1是线性相关的 a1-a2,a2-ax3,…a2n-a2n+1,a2n+-a1是线性相关的 (5)若ax12a2,a3线性相关,则a1+a2a2+a3,a1+a3也线性相关。 (是) 2.(5分)写出命题 “对任意不全为0的数x,x2,…,xn,均有x1a1+α2x2+.+anXn≠0。”的逆否命题和否命题。 逆否命题:若有x1a1+a2x2+.+anx1=0。则数x1=x2=.=xn=0。 否命题:存在不全为0的数x1,x2,,xn,使得x1a1+ax2x2+.+anx1=0 3.(10分)问￠*=Q\{0}对数的乘法是否为交换群?若是,找一个子群H(≠Q*) 答:是交换群。因为:1∈Q*,Ⅵa,b∈,ab∈Q*(封闭性):数的乘法有交换律,结合律 单位元为1,Va∈Q*的逆元是1/a H=Q(正有理数集)对数的乘法是Q*的子群 4.(10分)求过点(1,2,-3)且与z轴和向量a=(2,-3,1)都平行的平面方程 答:平面的法向量n=k×a=(0,0,1)×(2,-3,1)=(3,2,0), 所求平面方程:3(x-1)+2(y-2)=0.即:3x+2y-7=0 5.(10分)b234:L2:x-1_y+2-2,L1与L2是否相交?若是 xy+3二 2 求交点 答:P1(0,-3,0),P2(1,-2,2),s1=(2,3,4),s2=(1,1,2) PP2(s×s)=234=0,所以L1与L2共面,又s与s不平行,知L1与L2相交。 11 P 234 =t,即y=-3+3,令 即 P 2+p=-3+3,解得t=0,p=-1交点为(0,-30) 2+2P

>期中自我检查题及答案 班级 学号 时间: 2.5 小时 1.判断下列命题是否成立？ (每题 3 分) (1)若   m , , 1  线性无关,  r , , 1  线性无关。则   m , , 1  ,  r , , 1  线性无关. ( 否 ) (2)若   m , , 1  线性无关,  m+1 不能用   m , , 1  线性表示，,则 1 1 , , ,    m  m+ 线性无关。( 是 ) (3) (,  ) = (, ) . ( 否 ) (4)若 1 2 1 , ,    n+ 线性无关, 则 1 2 2 3 2 2 1 2 1 1  + , + ,  , n + n+ , n+ + 也线性无关。 ( 是 )。 1 2 2 3 2 1 2 2 1  + , + ,  , n− + n , n + 是线性相关的。 1 2 2 3 2 2 1 2 1 1  − , − ,  , n − n+ , n+ − 是线性相关的。 (5) 若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 1 3  + , + , + 也线性相关。 ( 是 ) 2. (5 分) 写出命题 “对任意不全为 0 的数 x1, x2,, xn,均有 x11+2x2++nxn0。”的逆否命题和否命题。 逆否命题：若有 x11+2x2++nxn=0。则数 x1= x2==xn=0。 否命题：存在不全为 0 的数 x1, x2,, xn,使得 x11+2x2++nxn=0。 3． (10 分) 问 Q*＝Q\{0}对数的乘法是否为交换群？若是，找一个子群 H（Q*）. 答：是交换群。因为：1 Q*,a，b Q*, ab Q*(封闭性)；数的乘法有交换律，结合律； 单位元为 1 ，a Q*的逆元是 1/a。 H=Q +（正有理数集）对数的乘法是 Q*的子群. 4．(10 分) 求过点（1，2，-3）且与 z 轴和向量 a=(2, -3, 1) 都平行的平面方程. 答：平面的法向量 n=ka=(0, 0, 1) (2, −3, 1) =(3, 2, 0), 所求平面方程: 3(x−1)+2(y−2)=0. 即：3x+2y−7=0 5．(10 分) L1: 3 4 3 2 x y z = + = ； L2 : 2 2 1 2 1 1 − = + = x − y z ，L1 与 L2 是否相交？若是 求交点。 答：P1(0, -3,0), P2(1, -2, 2), s1=(2, 3,4), s2=(1, 1,2), P1P2(s1 s2)= 0 1 1 2 2 3 4 1 1 2 = ,所以 L1 与 L2 共面，又 s1 与 s2 不平行，知 L1 与 L2 相交。 , 0, 1 (0, 3,0). 4 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 4 3 3 2 3 4 3 2 = = − − = = − + = + − + +           = + = − + = + = − = + = −      = = − + = = = + = 解得 交点为 令 ，即 令 ，即 t p t t t p p p z p y p x p p x y z z t y t x t t x y z

6(10分)设 3x1-6x,+ g+ 3x1-6 问p,q取那些值时,方程组有唯一解和有无穷多解?有无穷多解时求全部解 -201 3-6Pqq+700pq-3q+100P 2|-6 q=1无解:q≠1,且p0时有唯一解:p=0,且q=5时有无穷多解q=5p=0代入得 2 MI 1+2k x2-x2=0 所以x=2 x3 k 令x3=k,得x2=k,x1=-1+2k, 7.(12分)设 (x…,x:)∈F 2x,+3x2-4x=0 :0 W2={(x1…,x1)∈F x3-x4= (1)求W1+W2的基和维数,及W1+W2单位正交基。 (2)求W∩W2的基和维数; (3)求W∩W2的正交补 解:(1)W1=L(α1,ax2),其中a1=(-1,1,1,0),a2=(2,-1,0,1)(方程组的任意2个线性无关解 W2=L(β1,B2)其中β=18,10,7),β2=-9,0,1-3)(方程组的任意2个线性无关解均 W+W2=L(a1,a2,B,B2)L(ax1,a2,β1),基:(α,a2,B1Xa,2,B1,B2的任意一个极大线性 无关组均可),维数=3 (2)Wn∩W2=L(),其中γ是下列方程组的解: 000 x2-x3+x4=0 01-11101-11010-1 x1+3x,-3x4=0, 07-3-1100000000 Y=(0,1,2,1)(与其成比例的任一向量均可)是W∩W2的基,维数=1 (3)上面方程组的4个行向量 n=(1,-2,3,-4),n2=(0,1-1,1);np=(1,3,0.-3);n4=(0,7,-3-1)与解空间正交 W∩W2的正交补:(W1nW2)=(n,np2,n3,n4)=L(n,n2,n3)(n,n2,ns,n4的任意 一个极大线性无关组均可).维数=3 验证:dim(W1+W2)+dim(W∩W2)=dim(W1)dim(W2)4=dmR4

6.(10 分) 设        − + + = − + + = + − − + = − + = 3 6 0 3 6 7 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 x x px x x x px qx q x x x x x x x 问 p, q 取那些值时，方程组有唯一解和有无穷多解？有无穷多解时求全部解。 解： A= , 0 0 0 1 7 0 0 3 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 0 0 2 6 0 0 3 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 3 6 1 0 3 6 7 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2             − + − − − + − −              − − − + − −              − − + − − − q q p q q p p q q p p q q q=1 无解；q1,且 p0 时有唯一解；p=0,且 q=5 时有无穷多解. q=5,p=0 代入得： . 3 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 , , 1 2 , 3, 0 2 2 4 3 2 1 3 2 1 4 2 3 1 2 4            − +             =            − + =             =        = = = − + = − = − + = k k k k x x x x X x k x k x k x x x x x x 所以 令 得 7．(12 分) 设    , 7 3 0 3 3 0, ( , , ) | , 0 2 3 4 0, ( , , ) | 2 3 4 4 1 2 4 2 1 4 2 3 4 4 1 2 3 4 1 1 4    − − = + − = =     − + = − + − = =  x x x x x x W x x F x x x x x x x W x x F   (1) 求 W1+W2 的基和维数，及 W1+W2 单位正交基。 (2) 求 W1W2 的基和维数; (3) 求 W1W2 的正交补. 解：(1)W1=L(1, 2), 其中1=(-1,1,1,0) T , 2=(2,-1,0,1) T (方程组的任意 2 个线性无关解). W2=L(1, 2), 其中1=(18,1,0,7) T , 2=(-9,0,1,-3) T ;(方程组的任意 2 个线性无关解均 可). W1+W2=L(1, 2, 1, 2 )=L(1, 2, 1), 基: (1, 2, 1)( 1,2, 1, 2 的任意一个极大线性 无关组均可); 维数=3. (2) W1W2=L(),其中是下列方程组的解: . 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 4 0 7 3 1 1 3 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 7 3 0 3 3 0, 0, 2 3 4 0, 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4             − −              − − − −              − − − − − −        − − = + − = − + = − + − = x x x x x x x x x x x x x =(0,1,2,1)T （与其成比例的任一向量均可）是 W1W2 的基，维数=1; (3)上面方程组的 4 个行向量: 1=(1,-2,3,-4) T ; 2=(0,1,-1,1) T ; 3=(1,3,0,-3) T ; 4=(0,7,-3,-1)T与解空间正交。 W1W2 的正交补: (W1W2) ⊥=L(1 , 2 , 3 , 4)=L(1 , 2 , 3 )（1 , 2 , 3 , 4 的任意 一个极大线性无关组均可）. 维数=3. 验证：dim(W1+W2)+dim(W1W2)=dim(W1)+dim(W2)=4=dimR4

8.(10分)设IR为R上的恒等映射,映射f,g:R→R,若有g=IR,是否有fg=lR,若没有, 试增加一个条件,使f,g均为双射 解:若有gf=l,由p54的20题知f是单射,g是满射,不一定有fg=lR 如:fn)=2n,当n为正整数时,f(x)=x,当x不是正整数时; g(n)=n2,当n为正偶数时,g(x)=x,当x不是正偶数时; gf(n)=g(2n)=n,当n为正整数时;gf(x)=g(x)=x,当x不是正整数时;所以gf=lR 当n为正整数时,g(2n)=f(n)=2n,fg(2n+1)=(2n+1)=2(2n+1),所以fglR (不会举例不扣分) 增加一个条件f是满射(或g是单射);则f(或g)为双射,可逆,g=lRfl=f (或f=IRg=g)也为双射。 9.(10分)已知:a,B,n线性无关:a,B,δ线性相关,问δ可否由aBy,n线性表示??证 明你的论断 解:由a,β,y,n线性无关,所以a,β线性无关,又a,β,8线性相关,所以δ可由α,β线 性表示,于是,δ可由α,B,y,n线性表示,只需取y,n的系数为0 10.(8分)如何定义复空间(C)上的内积概念,它有什么性质? 答:定义(4分)在复空间v(C)上定义一个二元运算,使Ⅴ中元素α,β与一个复数相 对应,记作(α,B),如果va,β∈V,λ∈C,满足: (1)(ax,B)=(B,a);(a,B)与(β,a)互为共轭复数) (2)(α+B,y)=(a,y)+(β,y); (3)(λa,B)=(a,B),((2),(3)为线性性) (4)(a,a)≥0,等号成立当且仅当a=0.(正定性) 则称实数(a,B)为向量∝,B的内积,定义了内积的V(C)称为复内积空间,有限维复内积空间 叫做酉空间( Unitary space) 性质(答对2个4分):1.零向量与任何向量的内积等于零:(0,B)=(0x,B)=0(a,B)=0, 2.(a,λB)=1(a,B),因为:(a,B)=(AB,a)=A(B,a)=(a,B) 3.a的长度定义为 (a,a) 4.a=(a,a,…,an),β=(bu,b2,…,bn)∈C", (a, B)=al bi+ az 是C的一个内积,并称之为C的标准内积。此时向量a的长度 =ya1a1+a2a2+…+anan 5.设VC是一个复内积空间,则va,B∈V,和λ∈R,有 (1)|al=|4l B)≤|‖ a+叫skal+|l 其中(2)称为柯西-施瓦茨( Cauchy- Schwarz)不等式,(3)称为三角不等式

8. (10 分). 设 IR为 R 上的恒等映射，映射 f ，g : R→R，若有 gf=IR，是否有 fg=IR，若没有， 试增加一个条件，使 f，g 均为双射。 解：若有 gf=IR,由 p54 的 20 题知 f 是单射，g 是满射; 不一定有 fg=IR 如：f(n)=2n, 当 n 为正整数时，f(x)=x, 当 x 不是正整数时; g(n)=n/2 , 当 n 为正偶数时，g(x)=x, 当 x 不是正偶数时; gf(n)=g(2n)=n, 当 n 为正整数时; gf(x)=g(x)=x, 当 x 不是正整数时; 所以 gf=IR 当 n 为正整数时, fg(2n)=f(n)=2n, fg(2n+1)=f(2 n +1)=2(2n+1), 所以 fgIR （不会举例不扣分） 增加一个条件:f 是满射（或 g 是单射）；则 f（或 g）为双射,可逆，g= IR f -1= f-1 （或 f= IR g -1= g-1）也为双射。 9． (10 分).已知： , , , 线性无关；，， 线性相关，问  可否由 , , , 线性表示？ ？证 明你的论断。 解：由 , ,  , 线性无关，所以 ,  线性无关，又, ,  线性相关，所以  可由 ,  线 性表示，于是， 可由 , , ,  线性表示，只需取, 的系数为 0 。 10.(8 分) 如何定义复空间 V(C) 上的内积概念, 它有什么性质? 答：定义(4 分) 在复空间 V(C)上定义一个二元运算，使 V 中元素 , 与一个复数相 对应，记作(, )，如果 , V,  C, 满足： (1) (, ) = ( ,) ; ((, )与(, )互为共轭复数) (2) (+, ) = (, ) + (, ); (3) (, ) = ( , ); （（2），（3）为线性性） (4) (,)  0, 等号成立当且仅当  = 0. （正定性） 则称实数(, )为向量, 的内积，定义了内积的 V(C)称为复内积空间，有限维复内积空间 叫做酉空间（Unitary space)。 性质（答对 2 个 4 分）：1. 零向量与任何向量的内积等于零： (0, ) = (0, ) = 0(, ) = 0; 2．(,) = (,  ) , 因为：(, ) = (,) = (,) = (,  ) ； 3． 的长度定义为  = (,) 4．  = (a1, a2,, an),  = ( b1, b2,, bn)  C n , (, ) = a1b1+ a2 b2 + anbn 是 C n 的一个内积, 并称之为 C n 的标准内积。此时向量  的长度  = a1a1 + a2 a2 ++ an an 5. 设 V(C)是一个复内积空间，则   , V , 和 R ，有            +  +  = (3) (2) ( , ) (1) ; 其中(2)称为柯西−施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，(3)称为三角不等式

6a与β正交当且仅当(a,B)=0

6. 与正交当且仅当 (,)=0