《代数与几何》第三章 习题辅导

1.判别下列映射哪些是线性的(并指出它们是从哪个空间到哪个 空间的 线性映射,哪些不是线性的 (1)a(x,x2x3)=(x1+x2x1-x3,x2),V(x1,x2,x3)∈R; )=(x1-x2,x,x1+x2),V(x1,x2)∈ (3)σ(x,x2)=(x2,x1+x2),V(x,x2)∈R2 (4)∞()=25+5,Ve(线性空间),o是V中的一个固定向量 (5)o(p(x)=p(x+1)-p(x),Vp(x)ER[l: (6)a(p(x)=p(a),p(x)∈Fx,a是一个常数 解:(5)是线性变换 Vp(x)P2(x)∈R[xn,Vk1,k2∈R (kP1(x)+k2P2(x)=(k1P1+k2P2)(x+1)-(k1P1+k2P2)(x) k1(P1(x+1)-P2(x))+k2(P2(x+1)-P2(x) k,o(p,(x))+k,o(p, (x)) (6是线性变换 VP(x),P2(x)∈Rx],k1,k2∈R o(k,P,(x)+k2p(x)=k,,(a)+ k2p2(a) k,a(P,(x))+k,o(p2(x) 2.求R2的线性变换σ,使得正方形ABCD(其中A(1,0),B(0,1) C(-1,0),D(O,-1)变换为下列四边形ABCD(如下图所示) B (1) (1)是旋转90度,o(1,0)=(0,1),o(0,1)=(-1,0) o(xeI+y e2F xe2+y(e1), o(x, yF(-y, x) (2)在(1)中ox方向放大2,(x,y)=(-2y,x) (3)在(1)中ox方向正负对换,σ(x,y)=(y,x) (4)在(1)中y坐标不变,沿ox负方向错切1, (0,-1)=(-1,-1),o(x,y)=( 3.设R3的一个二维子空间W为: W={2|(2,0)=0,5∈R} 其中o是一个固定单位向量,(2)表示ξ与o的内积

1. 判别下列映射哪些是线性的(并指出它们是从哪个空间到哪个 空间的 线性映射), 哪些不是线性的： (1) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 − x3 , x2 ),  (x1 , x2 , x3 )R 3 ； (2) (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 , x1 + x2 ),  (x1 , x2 )R 2 ； (3) （ ， ） 1 2 1 2 2 ； 2 1 2 1  x x = (x , x + x ),  (x , x )R (4) ( ) = 2 + 0 ,  V (线性空间),0 是 V 中的一个固定向量； (5) n ( p(x)) = p(x +1) − p(x),  p(x)R[x] ； (6) (p(x)) = p(a) ,  p(x)R[x],a 是一个常数. 解：（5）是线性变换 ( ( )) ( ( )) ( ( 1) ( )) ( ( 1) ( )) ( ( ) ( )) ( )( 1) ( )( ) ( ), ( ) [ ] , , 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 k p x k p x k p x p x k p x p x k p x k p x k p k p x k p k p x p x p x R x n k k R    = + = + − + + − + = + + − +     (6)是线性变换 ( ( )) ( ( )). ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ), ( ) [ ], , . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 k p x k p x k p x k p x k p a k p a p x p x R x k k R    = + + = +    2. 求 R2 的线性变换, 使得正方形 ABCD(其中 A(1,0), B(0,1), C(−1,0), D(0, −1))变换为下列四边形 A'B'C'D' (如下图所示). (1) (2) (3) (4) (1) 是旋转 90 度，(1,0)=(0,1); (0,1)=(-1,0), (xe1+y e2)= xe2+y(- e1), (x, y)=(-y, x) (2) 在（1）中 ox 方向放大 2，(x, y)=(-2y, x) (3) 在（1）中 ox 方向正负对换，(x, y)=(y, x) (4) 在（1）中 y 坐标不变，沿 ox 负方向错切 1， (0, -1)=(-1, -1)，(x, y)=(x-y, x)。 3. 设 R3 的一个二维子空间 W 为： { |( , ) 0, }, 3 W =    =  R 其中是一个固定单位向量, (,)表示与的内积. C A B D C’ A’ B’ D’ A’ B’ D’ C’ A’ D’ B’ C’ A’ C’ B’ D’

(1)求R3到W上的投影变换p,并证明p2=p (2)求R3关于镜面W(W是过原点的一个平面)的镜象变换q。 解:(1)取R3的基{o,5,2},其中单位向量1,22∈W且21⊥2 p(o,12)=(0,512)p(O,251,2)=p(0,512)=(0,5152) 所以p2=p。va=c+c251+c32, d(a)=c251+c352=a-c10=a-(a,O)O (2)列a.,5)=(=0,5,ba=C+e5+65: q(a)=-cO+c21+c32=a-2cO=a-2(a,0)O 法2作图分析 4.设a1,a2}是线性空间W(F)的一组基,xa1+x2a2∈V,定义 T(x,a+x,a2)=rr,a,+r2x2a2 其中r,n是域F中的两个常数量.证明:T是T上的一个线性变换, V(F)=R2时,说明线性变换T的几何意义 5.求下列线性变换σ的象(值域)和核以及σ的秩: (1)a(x1,x2x3)=(x1+x2+x3-x1-2x3,x2-x3) (2)a(x1,x2)=(x2,x1,x2-x1) (3)σ(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,x2+x3,x3 (4)σ是n维线性空间V的零变换 (5)σ是n维线性空间V的恒等变换; (6)a:R"→Rn,且 xn)=(x10,…,0) 解: (x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,-x1-2x3,x2-x3) =(x1(1,-1,0)+x2(10,1)+x(1-2,-1) ()=L(1-1,0),(1,01)(1,-2.-1) 因为(1,-2.-1)=2(1,-1,0)-(0.1),秩(a)=2 ()=L(1,-1,0),(10,1) Ker(o)=ao(a)=0) 解x1+x2+x3=0,-x1 0, 方程组解为(-2,1),解空间S=L{(-2,11)}=Ker(a) 解(4)α,σ(αx)=0,所以σ(V)={0};秩(σ)=0,Ker(σ)=V 解(5)va,o(a)=α,所以σ(V)V,秩(σ)=n;Ker(o)={0}; 6.求R3的一个线性变换σ,使得σ的象(值域)为a(R)=L(a,a2), 其中a1=(10.-1),a2=(122) 解,叫(x1,x)=(x(10.-1)+x1(122)=(x+x2x,一x+2x) ()=L(o(E1)o(E2)2o(E3)=L(10.-1),(1,2,2)

(1) 求 R3 到 W 上的投影变换 p，并证明 p 2=p； (2) 求 R3 关于镜面 W (W 是过原点的一个平面)的镜象变换 。 解：（1）取 R3 的基{，1, 2}, 其中单位向量1, 2W 且1⊥ 2 ( ) ( , ) . , ( , , ) (0, , ), ( , , ) (0, , ) (0, , ), 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2                           = + = − = − =  = + + = = = c c c p p c c c p p p 所以 。 （2）                       ( ) 2 2( , ) ( , , ) ( , , ), , 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 2 = − + + = − = − = −  = + + c c c c c c c 法 2 作图分析 4．设 { , } 1 2 是线性空间 V(F)的一组基, , x11 + x22 V 定义 ( ) , 11 22 1 11 2 22 T x + x = r x + r x 其中 r1, r2 是域 F 中的两个常数量. 证明：T 是 V 上的一个线性变换, 当 V(F)=R2 时, 说明线性变换 T 的几何意义. 5. 求下列线性变换的象(值域)和核以及的秩： (1) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ,−x1 − 2x3 , x2 − x3 )； (2) (x1 , x2 ) = (x2 , x1 , x2 − x1 )； (3) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x3 )； (4) 是 n 维线性空间 V 的零变换； (5) 是 n 维线性空间 V 的恒等变换； (6) , n n ：R → R 且 ( , , , ) ( ,0, ,0).  x1 x2  xn = x1  解： ( 2,1,1) {( 2,1,1)} ( ) 0, 2 0, 0 ( ) { ( ) 0}, ( ) ((1, 1,0),(1,0,1), (1, 2. 1) 2(1, 1,0) (1,0,1), 2; ( ) ((1, 1,0),(1,0,1),(1, 2. 1)) ( (1, 1,0) (1,0,1) (1, 2, 1)) ( , , ) ( , 2 , ) 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3          S L Ker x x x x x x x Ker V L V L x x x x x x x x x x x x x − = − = + + = − − = − = = = = − − − = − − = = − − − = − + + − − = + + − − − 方程组解为 ，解空间 解 因为 秩（ ） 解（4），()=0,所以(V)={0}; 秩()=0; Ker()=V; 解（5），()=,所以(V)= V; 秩()=n; Ker()={0}; 6. 求 R3 的一个线性变换, 使得的象(值域)为 ( ) ( , ) 1 2 3  R = L   , 其中 (1,0, 1), (1,2,2). 1 = − 2 = 解： ( ) ( ( ), ( ), ( )) ((1,0, 1),(1,2,2)) ( , , ) ( (1,0, 1) (1,2,2)) ( , 2 , 2 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 = = − = − + = + − + V L L x x x x x x x x x x             ()

7.已知R2的线性变换a(x1x2)=(x1-x2x+x2) (1)求 (x1,x2)=? (2)σ是否可逆?如可逆,求a(x1,x2)=? 解: a2(x1,x2)=(x1-x2,x+x2)=(x1-x2-(x1+x2)x1-x2+x1+x2) 1) (x,x2)=r(x1-x2,x1+x2)=(x1,x2) x +xx 8.已知R2的线性变换a(x1,x2)=(x1-x2,x2-x1) (1)求σ的秩和kera (2)求r∈L(R2,R2),使v=0(零变换) (x1,x2)=(x1-x2,x2-x1)=(x(1,-1),x2(-1,1) o()=L{(1-1)},秩(a)=1, 解 由x-x2=0,x2-x1=0,得解(,1) Ke(a)=L{(1)}; z(x1,x2)=r(x1-x2,x2-x1)=(0,0) r(x1,x2)=(x1+x2,x2+x1) 已知R3的两个线性变换 G,t为: (x1,x2,x3)=(x30,0) r(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3x1-x2O) (1)求秩(G),秩(),Imσ,kero;(2)求秩(τ),秩(τσ) (3)求秩(σ+τ) (4)求Imt+kert 解:(2) r(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,x1-x20)=(0.00) 秩(z)=0; rG(x1,x2,x3)=r(x3,0,0)=(x3,x3,0),to≠B ro(V)=o(x12x2,x3)L{(1,10)},秩(o)=l 法2由0≠O,知:1≤秩(o)smin{秩(x),秩(G)}=1 所以秩(o)=l; 解(3)(a+)x2x2,x3) 2+2x3,x1-x2,0) 1(1,1,0)+x2(1,-1,0)+x2(2,00) 秩(a+r)=秩{(10,(1,-1,0,(2,0,0)}=2 解(4):由秩(x)+ dim(ker t)=3,Imr+kerr)=R 10.已知a1=(1-1)a2=(2-l)a3=(-32) B1=(1,0),B2=(0,1),B3=(11) 问:是否存在σ∈L(R2,R2.,使得o(a)=B,1=12,3 解:否。若存在,则由a1+a2+a3=0,得B+B2+B3=0,矛盾 11.设G∈L(R",R),B={a1,a2…;an}是R的基,当m<n时 o(ax)o(a2)…,o(an)是否线性无关?为什么?

7. 已知 R2 的线性变换 ( , ) ( , ). 1 2 1 2 1 2  x x = x − x x + x (1) 求 ( , ) ? 1 2 2  x x = (2) 是否可逆？如可逆, 求 ( , ) ? 1 2 1 = −  x x 解： 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ) 2 , 2 ( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ); ( 2 , 2 ). ( , ) ( , ) ( ( ), ) − = + − = = − + = = − = − + = − − + − + +       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知 R2 的线性变换 ( , ) ( , ), 1 2 1 2 2 1  x x = x − x x − x (1) 求的秩和 ker ； (2) 求 ( , ), 2 2  L R R 使  = (零变换). 解： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (0,0) ( ) {(1,1)}; 0, 0, (1,1), ( ) {(1, 1)}, ( ) 1, ( , ) ( , ) ( (1, 1), ( 1,1)), 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x Ker L x x x x V L x x x x x x x x = + + = − − = = − = − = = − = = − − = − −        由 得解 秩 9. 已知 R3 的两个线性变换,为： ( , , ) ( ,0,0), 1 2 3 3  x x x = x ( , , ) ( , ,0). 1 2 3 1 2 3 1 2  x x x = x + x + x x − x (1) 求秩(), 秩(), Im , ker ； (2) 求秩()，秩()； (3) 求秩(+)； (4) 求 Im  + ker  解：（2） 4 ( ) dim(ker ) 3, Im (ker ) . ( ) {(1,1,0) (1, 1,0) (2,0,0)} 2 ( (1,1,0) (1, 1,0) (2,0,0)), (3) ( )( , , ) ( 2 , ,0) ( ) 1 2 1 ( ) min{ ( , ( )} 1, ( ) ( , , ) {(1,1,0)}, ( ) 1 ( , , ) ( ,0,0) ( , ,0), 0 ( , , ) ( , ,0) (0.0.0). 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 R x x x x x x x x x x x V x x x L x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = − = = + − + + = + + − =    = = = = =  = = + + − =                         解（ ）：由秩 秩 秩 ， ， ； 解 ： 所以秩 ； 法 由 ，知： 秩 秩 ）秩 秩 ； ， 秩（ ） ； 10. 已知 1 = (1,−1),2 = (2,−1),3 = (−3,2)； (1,0), (0,1), (1,1). 1 =  2 = 3 = 问：是否存在 ( , ), 2 2  L R R 使得 ( ) = ,i =1,2,3.  i i 解： 否。若存在，则由1 +2 +3 = 0，得1 +  2 + 3 = 0，矛盾 11. 设 ( , ), { , , , } 1 2 n n m  L R R B =     是 Rn 的基, 当 m<n 时, { ( ), ( ), , ( )}  1  2   n 是否线性无关？为什么？

解:否。如R到R2的投影映射。 12.已知σ是n维线性空间T的线性变换,且σ的象(值域)等于σ 的核 证明n必为偶数,并在R2中举出一个这种线性变换的例子 13.已知R3的一个子空间W=(x0.0)|x∈R (1)求R3的另一子空间W.使R=W⊕W2,这样的W2是否唯 如果 W2是W1的正交补,W2,是否唯一? (2)求R3上的一个投影变换p,使Imp=W,并问mp+kerp= R3是否成立? 14.已知σ∈L(V,V),dmV=n有人认为“由秩(a)+dm(kero)=n可得 Ima+kera=”,这个说法正确吗? 答:看13题(1)例

解： 否。如 R 3到R 2的投影映射。 12. 已知是 n 维线性空间 V 的线性变换, 且的象(值域)等于 的核, 证明 n 必为偶数, 并在 R2 中举出一个这种线性变换的例子. 13. 已知 R3 的一个子空间 {( ,0,0) | }. W1 = x xR (1) 求 R3 的另一子空间 W2, 使 1 2 3 R =W W , 这样的 W2,是否唯 一？如果 W2,是 W1 的正交补, W2,是否唯一？ (2) 求 R3上的一个投影变换 p, 使 Im p= W1,, 并问：Im p+ ker p = R3 是否成立？ 14. 已知L(V,V), dimV=n 有人认为“由秩 () +dim(ker) = n 可得 Im  + ker =V ”, 这个说法正确吗？ 答：看 13 题（1）例