《代数与几何》第六讲 群环域

第五讲群环域 HWS-P5751(2),54,56,59,60,64 EX551(1)(3),57,58,66,补11 复习P41-=51,预习P64-75 重点:1.半群,群,交换群的定义,性质,例子;2环,域的定义, 性质,例子。 1-10基本代数结构——群、环、域的基本概念 非空集Ⅹ上定义的若干代数运算f1,…,f组成的系统称为代数 系统(简称代数系),记作。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同,代数运算方法不同,但运算的性质却 有可能相同。如代数系统与称为群,如果: (1)运算“。”满足结合律,即va,b,c∈G,ao(boc)=(aob)oc (2)G关于运算“。”存在单位元,即彐eeG,使va∈G,有 ao e=eo a=a, (3)va∈G,a关于“。“有逆,即彐b∈G使得ab=ba=e(单位 元),并称a为可逆元,b为a的逆元,记作b=a-1 当满足结合律时,称为半群;存在单位元的半群,称为 含么半群。运算满足交换律的群,即va,b∈G,有ab=boa,称为交

第五讲群环域 HW5-P57—51(2)，54, 56, 59, 60, 64 EX5—51(1),(3), 57, 58, 66, 补 11 复习 P41-=51,预习 P64-75 重点：1.半群，群，交换群的定义，性质，例子；2.环，域的定义， 性质，例子。 1-10 基本代数结构 —— 群、环、域的基本概念 非空集 X 上定义的若干代数运算 f1,,fk组成的系统称为代数 系统(简称代数系), 记作。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同，代数运算方法不同，但运算的性质却 有可能相同。如代数系统 与 有以下相同的 性质： (1) 加法和乘法都满足结合律和交换律； (2)  0Z, 使 kZ, 均有 0 + k = k ;  1 R\{0}, 使 aR 均有 1•a = a. 这里 0 和 1 分别称为加法和乘法的单位元； (3) kZ ,  − k Z， 使得 k + (−k) = 0 （0 是加法单位元）， − k 叫做 k 关于加法的逆元 ; a R\{0} , a −1 =1 / a R\{0}, 使得a • a −1 =1 (1是乘法 单位元)。a −1 叫做 a 关于乘法的逆元。 这些性质的共同点概括起来为：(1) 运算满足结合律和交换律； (2) 集合关于运算存在单位元；(3) 集合中每个元素关于运算都有 逆元。具有上述性质的代数系统称为“交换群”。 1.10.1 半群和群 在 19 世记 30 年代，年青的法国数学家伽罗瓦(Galois)开创性 地用群论方法建立了方程的可解性理论，群论的发现使代数的研究 进入了新时代，从局部性研究转向整体结构的分析研究。 群是具有一个代数运算的代数系统。 定义 1.27 代数系统称为群，如果： (1) 运算“”满足结合律，即 a, b, c  G, a (b c) = (a b)  c ; (2) G 关于运算“”存在单位元，即  eG , 使aG, 有 a e = e a = a ; (3) aG, a 关于““有逆，即  bG 使得 ab=ba=e(单位 元)，并称 a 为可逆元，b 为 a 的逆元，记作 b= a−1 . 当 满足结合律时，称为半群；存在单位元的半群，称为 含么半群。运算满足交换律的群，即a, bG,有 ab = ba , 称为交

换群,也称Abel群。 如果群G的子集H关于G的运算也构成群,则称H为G的子 群,记作H≤G 例1设+,·分别为数的加法和乘法,则 都是交换半群; ,都是交换群(其中Q是正有理数集,RR\{0)}),且 Q是R'关于乘法运算的子群;而,<G:∪都是含幺 半群,其中运算∪的单位元,运算⌒的单位元是X。 例3开关电路的状态集G={0,1}关于运算∧,V都构成含幺 半群。(G关于∧,封闭;满足结合律:关于运算∧,y的单位元分 别为1和0;非单位元不可逆)。 例4设G为某班学生集,运算“·”为比高矮,规定a比b 高,则a*b=b*a=a,且a*a=a(va∈G)。 运算是G的代数运算,且满足结合律,运算的单位元为最矮的 学生,因此G关于该运算构成含幺半群 例5设G={1,2,…,12},在G上定义时钟加法⊕为 b.a+b≤12 la+b-12,a+b≥l3 则<G⊕是交换群(G关于运算⊕封闭,运算满足结合律和交换律, G关于⊕的单位元e=12,小于12的任何元素a的逆元为12-a, 例6设R是全体空间几何向量组成的集合,则R3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元ε为零向量,任一向量α的 逆元为 例7集合R同上,在其中定义二元运算*为:a*B表示a 在β上的投影向量。显然R关于该运算封闭,但运算不 满足结合律, B)*y=00,*y=OP (阝*y)=a*OO2 般OP≠O,所以R关于这个运算不构成一个半群 例8设RX]={aoax+a2x1a,a,a∈R;R[Ⅺ]是由所有实系 数多项式组成的集合,则它们关于多项式的加法都构成交换群,单 位元e都是零多项式对于多项式乘法,RⅨX]是含幺半群(其单位元 e=1);而R[X]不是半群,因为它关于乘法不封闭 例9°设Zn是Z关于模n同余关系的商集,即 Z=Z/R={0.1…,n-1}

换群，也称 Abel 群。 如果群 G 的子集 H 关于 G 的运算也构成群，则称 H 为 G 的子 群，记作 HG. 例 1 设 + , • 分别为数的加法和乘法，则, , 都是交换半群； , 都是交换群(其中 Q +是正有理数集, R* =R\{0}) , 且 Q +是 R *关于乘法运算的子群; 而是仅有两个元素的交 换群。一般，仅含有限个元素的群称为有限群，否则叫无限群。 例 2 设 G=P(X) 是集 X 的幂集，则, 都是含幺 半群，其中运算的单位元, 运算的单位元是 X。 例 3 开关电路的状态集 G = {0,1}关于运算 ,  都构成含幺 半群。（G 关于, 封闭；满足结合律；关于运算 , 的单位元分 别为 1 和 0；非单位元不可逆）。 例 4 设 G 为某班学生集，运算“*”为比高矮，规定 a 比 b 高，则 a * b = b* a = a，且 a* a = a （a  G）。 运算是 G 的代数运算，且满足结合律，运算的单位元为最矮的 学生，因此 G 关于该运算构成含幺半群。 例 5 设 G={1, 2,…, 12}，在 G 上定义时钟加法为 ab =    + − +  + +  12, 13 , 12 a b a b a b a b 则是交换群（G 关于运算封闭，运算满足结合律和交换律， G 关于的单位元 e =12 , 小于 12 的任何元素 a 的逆元为 12−a , e −1= e）。 例 6 设 R 3是全体空间几何向量组成的集合，则 R 3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元 e 为零向量，任一向量  的 逆元为 −。 例7 集合 R 3 同上，在其中定义二元运算为： 表示  在上的投影向量。显然 R 3关于该运算封闭，但运算不 满足结合律， (   )  =OQ1   =OP1   (  )=   OQ2 =OP2 一般 OP1  OP2 ，所以 R 3关于这个运算不构成一个半群。 例 8 设 R[X]3 ={a0+a1x+a2x 2  a0,a1,a2R}; R[X]是由所有实系 数多项式组成的集合，则它们关于多项式的加法都构成交换群，单 位元 e 都是零多项式,对于多项式乘法, R[X] 是含幺半群(其单位元 e = 1)；而 R[X]3不是半群，因为它关于乘法不封闭。 例 9 * 设 Zn是 Z 关于模 n 同余关系的商集，即 Zn = Z/R = {0,1,  ,n −1},        P1 P2 Q2 Q1 o

在Z上定义加法⊕为 abb=atb 由于等价类a的代表元不是唯一的,即a=kn+a(k∈2Z),因此首先 要证明a,b不管取怎样的代表元,其运算的结果是唯一的 设a=an,b=b,则a=pn+a,b=qn+b,其中p,q∈Z, 于是 a+b=(p+g)n+(a+b) 因此,(a1+b1)=(a+b)(modn),即(a1+b)R(a+b),从而 a,+6=a+b 这就证明了加法⊕是Z上的二元运算。Zn对加法⊕显然封闭,而且 满足结合律和交换律,Zn关于⊕的单位元e=0,Zn中任一元素a的 逆元为n-a,因为, aen-a=n-aba=a+n-a=n=0=e 所以是个交换群,叫做模n剩余类加群 容易验证:03},0,24关于⊕都构成群,所以它们都是Z的子 群。 例10*从集A到自身的所有映射(变换)A,关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群,其单位元为恒等映射。集A 到自身的所有双射(一一变换)E(A关于映射的乘法构成一个 群,<E(A),。称为A的一一变换群。E(A)是A的一个子群,E(A) 的子群称为变换群。例如,E2(I)={f(x)=Xa0<a∈R,x∈I=[0,1] 是区间I上的一个变换群,这个变换群是可交换的,但一般变换群 是不可交换的 例如,集X={1,2,3}到自身的一个是双射(一一变换) I I2 73 1J2J3 即σ(i)=,其中ik,i∈X,(k=1,2,3),且k≠m时,ik≠l J≠Jm 此时也把σ称为X的一个置换,也称三元置换,集X上的三 元置换共有3!个,即 213 312 我们把全体三元置换组成的集合记作S3,容易验证S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群,称为置换群,它的单位元为恒等置换σ1

在 Zn上定义加法为 a  b = a + b 由于等价类 a 的代表元不是唯一的，即 a = kn+ a (kZ)，因此首先 要证明 a , b 不管取怎样的代表元，其运算的结果是唯一的。 设 a = a1 , b = b1 , 则 a1=pn+a, b1=qn+b, 其中 p,qZ, 于是 a1+b1=(p+q)n+(a+b) 因此，(a1+b1)(a+b)(mod n)，即 (a1+b1)R(a+b)，从而 a1 +b1 = a +b 这就证明了加法是 Zn上的二元运算。Zn对加法显然封闭，而且 满足结合律和交换律，Zn关于的单位元 e = 0 ，Zn 中任一元素 a 的 逆元为 n − a，因为， a n − a = n − a a = a + n − a = n = 0 = e 所以是个交换群，叫做模 n 剩余类加群。 容易验证: {0,3},{0,2,4} 关于 都构成群，所以它们都是 Z6的子 群。 例 10* 从集 A 到自身的所有映射(变换)AA，关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群,其单位元为恒等映射。集 A 到自身的所有双射(一一变换)E(A)关于映射的乘法构成一个 群,称为 A 的一一变换群。E(A)是 A A的一个子群，E(A) 的子群称为变换群。例如, Ef(I)={f(x)=X0<R, xI=[0,1]} 是区间 I 上的一个变换群, 这个变换群是可交换的，但一般变换群 是不可交换的。 例如，集 X={1,2,3}到自身的一个是双射（一一变换）         = 1 2 3 1 2 3 j j j i i i  即 (ik )=jk ,其中 ik ,jk  X, (k=1,2,3), 且 km 时，ik im， jk jm 。 此时也把  称为 X 的一个置换，也称三元置换，集 X 上的三 元置换共有 3!个，即 , 1 2 3 1 2 3 1          = , 2 1 3 1 2 3 2          = , 3 2 1 1 2 3 3          = , 1 3 2 1 2 3 4          = , 2 3 1 1 2 3 5          = , 3 1 2 1 2 3 6          = 我们把全体三元置换组成的集合记作 S3 ，容易验证 S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群，称为置换群，它的单位元为恒等置换 1;

σ2-=02,σ3=03,σ1l=o4,os=0s,o6-=o5。但这个置换群是不 可交换的,例如, o30 321八(132)(312 因为:σG4(1)=o3(1)=3;;(2)=G3(3)=1;o:σ(3)=03(2)=2 ≠O30 例11·四元素( Klein)克莱因群 设G={e,a.b,c},如果对于运算“。”构成一个群,并假定 是单位元,a,b,c的逆元分别是自身,则必有ab=c,这是因为 ab≠e,否则由aob=e,可推出a=b-=b ab≠a,否则由aob=a,可推出b=e aob≠b,否则由ab=b,可推出a=e 同理必有:ba=c;aoc=coa=b;boc=cob=a(运算“。”满足交换 律)。因此,关于“。”的运算如下表所示: C b a 由运算表可验证运算“。”满足结合律(验证略去),所以,这四个 元素构成一个交换群,称为克莱因群 关于群的定义1.27还需指出以下两点 (1)群的单位元是唯一的,如果e1,e2都是群G的单位元,则 (2)群的每个元的逆元也是唯一的,如果b,c都是a的逆元 则由 ab=ba=e和aoc=coa=e 即得 群的简单性质(群的运算“。”通常叫做乘法,aob简记为ab)

2 −1 =2 , 3 −1 =3 , 4 −1 =4 , 5 −1 =6 , 6 −1 =5 。但这个置换群是不 可交换的，例如， 34=         3 2 1 1 2 3         1 3 2 1 2 3 =         3 1 2 1 2 3 因为: 34(1)=3(1)=3 ; 34(2)=3(3)=1 ; 34(3)=3(2)=2 . 而 43=         =                2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 34 例 11* 四元素（Klein）克莱因群 设 G={e,a.b,c}，如果对于运算“”构成一个群，并假定 e 是单位元，a,b,c 的逆元分别是自身，则必有 ab=c，这是因为： abe，否则由 ab=e, 可推出 a=b−1 =b ; aba，否则由 ab=a, 可推出 b=e ; abb，否则由 ab=b, 可推出 a=e . 同理必有：ba=c ；ac=ca=b ；bc=cb=a (运算“”满足交换 律)。因此，关于“”的运算如下表所示：  e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 由运算表可验证运算“”满足结合律（验证略去），所以，这四个 元素构成一个交换群, 称为克莱因群 。 关于群的定义 1.27 还需指出以下两点： (1) 群的单位元是唯一的，如果 e1,e2 都是群 G 的单位元，则 e1=e1e2=e2 (2) 群的每个元的逆元也是唯一的，如果 b,c 都是 a 的逆元， 则由 ab=ba=e 和 ac=ca=e 即得 b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c 群的简单性质(群的运算“”通常叫做乘法, ab 简记为 ab)

1在群G中消去律成立,即va,b∈G,若ax=ay,则x=y:若 xb=yb,则 证用a-左乘等式ax=ay的两边,得a(ax)=a(ay),于是 (aa)x=(aa)y,即ex=ey,故x=y 同样,在xb=yb两边都右乘b,也可推出x=y 如果有限群G={a,a,…,an},则aa,aa2,…,aan1互不相同, 因为若aa=aa(j≠k)由消去律即得a=a,这与假设矛盾 2对va,b∈G,方程ax=b在群G中有唯一解x=ab;ya=b在 群G中有唯一解和y=ba'。 证将ax-b两边左乘a,即得x=a"b∈G。如果ax=b有两个解 x,,则ax1=ax,由消去律即得x=x,故x=ab是其唯一解。同 理y=ba是方程ya=b的唯一解。 3在群G中,定义元素a的方幂为 (1-21) 则a的方幂满足以下指数律: aa -a 在交换群中,指数律a"b=(ab)"也成立。 我们还可以定义: a=e, a 如此,(1-22),(1-23)式,Vm,n∈Z都成立。 4.逆元的性质: (ab)=b 'a (1-26) 事实上,由aa=a-a=e即得(1-25)式;由 (ab)(ba)=a(bb )a=aa=e (b a)ab=b(a a)b=b"b=e 即得(1-26)式。 1.10.2环与域 环与域都是有两个代数运算“⊕,。”(通常称为“加法,乘法”) 的代数系,a④b和aob简记为a+b和ab。 定义128代数系称为环,如果 (1)是交换群(加法群),其单位元记作0 (2)是半群; (3)运算“。”对“+满足左、右分配律,即va,b,c∈R, a(b+cAbac (b+c)a=atca 定义中的(3)是重要的,没有它,R只是对“+”和“o”分别构

1 在群 G 中消去律成立，即a,bG, 若 ax=ay, 则 x=y；若 xb=yb，则 x=y。 证 用 a -1 左乘等式 ax=ay 的两边，得 a -1 (ax)=a-1 (ay)，于是 (a-1 a)x=(a-1 a)y，即 ex=ey，故 x=y。 同样，在 xb=yb 两边都右乘 b -1，也可推出 x=y 如果有限群 G={a1,a2,,an }，则 aia1, aia2 ,,aian 互不相同， 因为若 aiaj=aiak(jk)由消去律即得 aj=ak，这与假设矛盾。 2 对a,bG, 方程 ax=b 在群 G 中有唯一解 x=a -1 b;ya=b 在 群 G 中有唯一解和 y=ba-1。 证 将 ax=b 两边左乘 a -1，即得 x=a -1 bG。如果 ax=b 有两个解 x1,x2,，则 ax1=ax2, 由消去律即得 x1=x2, 故 x=a -1 b 是其唯一解。同 理 y=ba-1是方程 ya=b 的唯一解。 3 在群 G 中，定义元素 a 的方幂为 a 1 =a , a n+1 =a n a (1-21) 则 a 的方幂满足以下指数律： a n a m =a n+m (1-22) (an ) m =a mn (1-23) 在交换群中, 指数律 a n b n =(ab)n也成立。 我们还可以定义： a 0 = e; a -n =(a-1 ) n , (n > 0) (1-24) 如此，(1-22),(1-23)式 ,  m,nZ 都成立。 4. 逆元的性质： (a-1 ) -1 =a ; (1-25) (ab)-1 =b-1 a -1 (1-26) 事实上，由 aa -1 =a -1 a=e 即得(1-25)式；由 (ab)( b -1 a -1 )= a(bb-1 )a-1 =aa -1 =e , (b-1 a -1 )ab=b-1 (a-1 a)b=b-1 b=e 即得(1-26)式。 1.10.2 环与域 环与域都是有两个代数运算“, ”(通常称为“加法, 乘法”) 的代数系, a  b 和 a  b 简记为 a+b 和 ab 。 定义 1.28 代数系 称为环，如果 (1) 是交换群(加法群)，其单位元记作 0； (2) 是半群； (3) 运算 “”对“+ ”满足左、右分配律，即a, b, c R， a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 定义中的(3)是重要的，没有它，R 只是对“+”和“”分别构

成交换群和半群,而不能成为区别于群结构的另一种代数结构。 如果环中的乘法满足交换律,则称其为交换环;如 环关于乘法存在单位元(乘法单位元e也常记作1),则称为含幺环 例1对于数的加法和乘法,代数系,,,都是含幺交换环。 (Ze为偶数集)是交换环,但不是含幺环。 N+,。>(N为自然数集)不是环,因为不是群 例2整系数多项式集合 z[x}={p(x) =ax+anx+…+ax+ala∈Z,neN} +an-IX 对多项式加法和乘法构成一个含幺交换环,乘法单位元为px=1, 但是对于自然数n Z[x]-={p(x)=ax2+ax+…+ax+aa∈Z} 对同样的加法和乘法不构成环,因为Z[x]对乘法不封闭,不是半 群 例3在模n剩余类加法群中定义乘法运算“。”为 b=ab,(va,b∈zn) 则是一个含幺交换环。这是因为 (1)这里定义的乘法“”是Z上的一个代数运算,因为ab的 运算结果是唯一的,它与等价类a,b的代表元的选择无关,其证明 如下 设a1=a,h=b,即a:=pn+a,b=qn+b, 其中p,q∈Z,则 a,b=(pg+pb+ag)n+(ab) 因此abab(modn),从而ah=ab (2)乘法“。”运算显然满足结合律与交换律;单位元为 (3)乘法对加法满足分配律,因为 ao(bec=aob+c=ab+c)=ab+ac= abac=ao beaoc 环的简单性质:

成交换群和半群，而不能成为区别于群结构的另一种代数结构。 如果环中的乘法满足交换律，则称其为交换环；如 环关于乘法存在单位元(乘法单位元 e 也常记作 1)，则称为含幺环。 例 1 对于数的加法和乘法, 代数系, , , 都是含幺交换环。 (Ze 为偶数集)是交换环，但不是含幺环。 (N 为自然数集)不是环，因为不是群。 例 2 整系数多项式集合 Z[x]={p(x)=anx n +an-1x n-1 ++a1x+a0aiZ, nN} 对多项式加法和乘法构成一个含幺交换环，乘法单位元为 p(x)=1， 但是对于自然数 n Z[x]n+1={p(x)=anx n +an-1x n-1 ++a1x+a0aiZ } 对同样的加法和乘法不构成环，因为 Z[x]n+1对乘法不封闭，不是半 群。 *例 3 在模 n 剩余类加法群中定义乘法运算“”为 , ( , ) a b = ab a bZn  则是一个含幺交换环。这是因为 (1) 这里定义的乘法“”是 Zn上的一个代数运算，因为 a  b 的 运算结果是唯一的，它与等价类 a,b 的代表元的选择无关，其证明 如下： 设 a1 = a, b1 = b ，即 a1=pn+a, b1=qn+b, 其中 p,qZ, 则 a1b1=(pq+pb+aq)n+(ab) 因此 a1b1ab(mod n) , 从而 a1b1 = ab . (2) 乘法“”运算显然满足结合律与交换律; 单位元为 1。 (3) 乘法对加法满足分配律，因为 a(bc) = ab+c = a(b+c) = ab+ac = abac = abac 环的简单性质：

1环R对加法构成交换群,因此,环具有交换群的性质 2由环R的乘法对加法满足左、右分配律可得: a0=0a=0,(0为加法的单位元, (1-27) a(-b()b=-ab (1-28) (1-29) 事实上,任取b∈R,有 于是,上式两端加(-ab)即得a0=0。 同理0 0a=0。再由 ab+a(-b)=a(b+(-b)=a0=0 即得 同理,(-a)b=ab,于是又有 abF-(ab=-(ab=ab 由a-b=at(-b),又可得乘法对减法满足左,右分配律: (b-c)=ba bc 环中乘法的零元简称环的零元,它与数的乘法中数0的作用相 3环对乘法构成半群,因此环中元素的正整数幂满足指数律 a a-a (a)"=a 在交换环中,也有二项式定理 (a+b)"=a"+Ca"b+…+(a"-b4+…,+Cnab-1+b" *在环R中,乘法运算的零因子问题是一个重要问题。例如: 在模6剩余类环z6=0.12,34,5}中,2≠0,3≠0,而 2。3=2.3=6=0,此外,由32=0=304,也不能消去3。 般va,b∈R(环),由ab=0,不能推出a=0或b=0。进而,由ab=ac, 也不能消去a得到b=C 定义1.29环R中的元素a1(a2)称为左(右)零因子,如果存在 b∈R(b≠0),使得ab=0(ba2=0)。 根据定义,环R的零元既是左零因子,又是右零因子。 个环R称为无零因子环,指的是除R的零元外,R既无左零 因子,又无右零因子。 无零因子的交换环R(R≠{0})叫做整环。例1,例2都是整环 例3的Zn,当n为素数时也是整环。这是因为:va≠0=n,b≠0,都 有ab=ab≠n=0 定理1.5环R为无零因子环的充要条件是乘法的消去律成 立,即v0≠a∈R,由ab=ac或ba=ca,均可推出b=c 证由ab=ac得a(b-c)=0,因为无零因子环R中任何非零元a 都不是左零因子,所以b-c=0,即b=c。同理,由ba=ca(a≠0)也可 推出b=c 反之若消去律成立,则v0≠a∈R,由ab=0=a0可得b=0。所以a

1 环 R 对加法构成交换群，因此, 环具有交换群的性质。 2 由环 R 的乘法对加法满足左、右分配律可得： a0=0a=0 , (0 为加法的单位元), (1-27) a(−b)=(−a)b=−ab (1-28) (−a)(−b)=ab (1-29) 事实上，任取 bR, 有 ab+a0=a(b+0)=ab 于是，上式两端加(−ab)即得 a0=0。同理 0a=0。再由 ab+a(−b)=a(b+(−b))=a0=0 即得 a(−b)=−ab 同理，(−a)b=−ab; 于是又有 (−a)(−b)=−(−a)b=−(−ab)=ab 由 a−b=a+(−b), 又可得乘法对减法满足左 , 右分配律： a(b−c)=ab−ac , (b−c)a=ba−bc . 环中乘法的零元简称环的零元，它与数的乘法中数 0 的作用相 同。 3 环对乘法构成半群，因此环中元素的正整数幂满足指数律 a n a m =a n+m , (an ) m =a nm 在交换环中，也有二项式定理 (a+b)n = n n n n k n k k n n n n a +C a b+ +C a b + +C ab +b 1 −1  −  −1 −1 ** 在环 R 中，乘法运算的零因子问题是一个重要问题。例如： 在 模 6 剩余类环 {0,1,2,3,4,5} Z6 = 中 ， 2  0, 3  0 , 而 23 = 23 = 6 = 0 ，此外，由 3 2 = 0 = 3 4 ，也不能消去 3。 一般a,bR(环)，由 ab=0,不能推出 a=0 或 b=0。进而，由 ab=ac, 也不能消去 a 得到 b=c. 定义 1.29 环 R 中的元素 a1(a2)称为左(右)零因子，如果存在 bR(b0)，使得 a1b=0(ba2=0)。 根据定义，环 R 的零元既是左零因子，又是右零因子。 一个环 R 称为无零因子环,指的是除 R 的零元外，R 既无左零 因子，又无右零因子。 无零因子的交换环 R(R{0})叫做整环。例 1,例 2 都是整环； 例 3 的 Zn，当 n 为素数时也是整环。这是因为： a  0 = n,b  0 ,都 有 a b = ab  n = 0 . 定理 1.5 环 R 为无零因子环的充要条件是乘法的消去律成 立，即0aR，由 ab=ac 或 ba=ca，均可推出 b=c。 证 由 ab=ac 得 a(b-c)=0，因为无零因子环 R 中任何非零元 a 都不是左零因子，所以 b-c=0，即 b=c。同理，由 ba=ca(a0)也可 推出 b=c。 反之若消去律成立，则0aR，由 ab=0=a0 可得 b=0。所以 a

不是左零因子,同理也不是右零因子,所以R是无零因子环。* 定义1.30代数系称为一个域,如果它是至少含有 两个元的交换环,且F\0}关于乘法运算是交换群。 由定义可见,F至少含加法单位元(即环的零元0)和乘法单位 e。 任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含0和 1。有理数集Q、实数集R和复数集C对数的加法和乘法都构成域, 分别称为有理数域、实数域、复数域。 交换环所具有的性质在域中都成立。在域中还有以下性质: 1若a≠0,b≠0,则ab≠0。 事实上,如果ab=0,则当a≠0时,由a-(ab)=a-0,可推出b=0 2乘法消去律成立,即,若a≠0,ab=ac,则b=c 事实上,在ab=ac两边左乘a,即得b=c 因此,a,b,c∈F(域),方程ax+b=c(其中a≠0)在域F中有唯 解x=a-(c-b) 数集F对数的加法和乘法构成数域的条件也可简述为:数集F 含0,1,且对数的加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。这是因为 对减法封闭(即Va,b∈F,a-b∈F)保证了F中任何非零数a对加法可 逆(即(一a)=0-a∈F);对除法封闭即va,b∈F,且a≠0,均有b/a∈F) 保证了F中任何非零数a对乘法可逆(即a=1/a∈F) 例4设Q(√2)={a+bV2ab∈Q},证明Q2)是一个数域 证在集Q(2)中含0,1,且数的加、减、乘运算显然封闭(证 明留给读者)。如果c+d√2≠0(c,d∈Q),则c-d≠0,且 (a+b√2)c-d√2)ac-2bd,bc- c+d√2 2∈Q( c2-2d2c2-2d2 故在集Q(√2)上除法运算也封闭,所以Q(√2)是一个数域 任何数域F都包含有理数域Q,即Q是最小的数域。事实上,由 0,1∈F,得 F,从而ZcF;又 vp,q∈ZcF,p≠0,均有q/p∈F而q/p∈Q,所以,QF.这就证明了Q 是最小的数域。 任何一个数域显然都含有无穷多个元素。但是一般的域并不都 像数域那样含有无穷多个元素。例如,是仅含两个元素0,1 的有限域。因为由例3已知它是一个交换环,又非零元1是乘法单 位元,它是可逆的,其逆元为自身

不是左零因子，同理也不是右零因子，所以 R 是无零因子环。** 定义 1.30 代数系称为一个域，如果它是至少含有 两个元的交换环，且 F\{0}关于乘法运算是交换群。 由定义可见，F 至少含加法单位元(即环的零元 0)和乘法单位 元 e。 任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含 0 和 1。有理数集 Q、实数集 R 和复数集 C 对数的加法和乘法都构成域， 分别称为有理数域、实数域、复数域。 交换环所具有的性质在域中都成立。在域中还有以下性质： 1 若 a0，b0，则 ab0。 事实上,如果 ab=0，则当 a0 时, 由 a -1 (ab)=a-1 0,可推出 b=0 . 2 乘法消去律成立，即，若 a0, ab=ac, 则 b=c. 事实上, 在 ab=ac 两边左乘 a -1，即得 b=c。 因此, a,b,cF(域)，方程 ax+b=c(其中 a0)在域 F 中有唯 一解 x=a -1 (c−b). 数集 F 对数的加法和乘法构成数域的条件也可简述为：数集 F 含 0, 1, 且对数的加、减、乘、除(除数不为 0)运算封闭。这是因为： 对减法封闭(即a,bF,a−bF)保证了 F 中任何非零数 a 对加法可 逆(即(−a)=0−aF);对除法封闭(即a,bF,且 a0, 均有 b/aF) 保证了 F 中任何非零数 a 对乘法可逆(即 a -1 =1/aF). 例 4 设 Q( 2) = {a + b 2 a,bQ},证明 Q( 2) 是一个数域 证 在集 Q( 2) 中含 0, 1, 且数的加、减、乘运算显然封闭(证 明留给读者)。如果 c+d 2 0(c,dQ)，则 c-d 2 0,且 2 ( 2) 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 Q c d bc ad c d ac bd c d a b c d c d a b  − − + − − = − + − = + + 故在集 Q( 2) 上除法运算也封闭，所以 Q( 2) 是一个数域。 任何数域 F 都包含有理数域 Q,即 Q 是最小的数域。事实上,由 0,1F ， 得 n= 1+1+ … +1F; 0-n=-nF, 从 而 ZF; 又 p,qZF,p0,均有 q/pF 而 q/pQ,所以，QF. 这就证明了 Q 是最小的数域。 任何一个数域显然都含有无穷多个元素。但是一般的域并不都 像数域那样含有无穷多个元素。例如,是仅含两个元素 0,1 的有限域。因为由例 3 已知它是一个交换环，又非零元 1 是乘法单 位元，它是可逆的，其逆元为自身