x∈H 即A也是可逆的从而N(A')=0}.根据定理7,R(A)=H.又由 (4-3-9),若yn=Axn→>y,则 rkxn-xm|s4xn-Axm→0(m,n→∞) 于是{xn}是 Cauchy序列H完备,不妨设xn→x0,从而 y=lim y=lim Ax,=Ax 即y∈R(A)这说明R(A)是闭的.于是R(A)=H.A是一一的到上的 由逆算子定理A是定义在整个H上的令x=A-y,Vy∈H,则 (4-3-9)表明 Ay slpl 于是 定理得证 定理8设H是 Hilbert空间,T∈B(H)是自伴的,则 Irsl (4-3-10) 证明首先对于|≤1,则 (Tx,x)≤叫|≤≤r‖ 故sup(x,x)≤|r 若记(4-3-10)的右端为r,则Vx∈H,当x≠0时11 r x ≤ A x * , ∀ x ∈ H . 即 * A 也是可逆的. 从而 ( ) * N A = {0}. 根据定理 7, R(A) = H . 又由 (4-3-9), 若 n y = Axn → y , 则 r n m x − x ≤ Axn − Axm → 0 (m, n → ∞) , 于是 { }n x 是 Cauchy 序列. H 完备,不妨设 0 x x n → , 从而 y = n→∞ lim n y = n→∞ lim Axn = Ax0 , 即 y ∈ R(A) .这说明 R(A) 是闭的. 于是 R(A) = H . A 是一一的到上的, 由逆算子定理 −1 A 是定义在整个 H 上的. 令 x = A y −1 , ∀ y ∈ H , 则 (4-3-9) 表明 r A y −1 ≤ y , 于是 −1 A ≤ −1 r . 定理得证. 定理 8 设 H 是 Hilbert 空间,. T ∈ B(H) 是自伴的, 则 T = 1 sup x ≤ (Tx, x) . (4-3-10) 证明 首先对于 x ≤ 1, 则 (Tx, x) ≤ Tx x ≤ T 2 x ≤ T , 故 1 sup x ≤ (Tx, x) ≤ T . 若记(4-3-10)的右端为 r , 则 ∀x ∈ H , 当 x ≠ 0 时 ( ( ), ) x x T r x x ≤