r A'y 故x⊥R(A”),x∈R(A)2,所以N(A)cR(A)2.反之,Vx∈ R(A)2,(x,Ay)=0,vy∈H.从而 (Ax,y)=(x, ay) y任意,故Ax=0,x∈N(A),R()cN(A)。总之N(A)=R(A)2 由此N(A)=R(A”)=R(A) 同样地由第一式知N(A)=R(A).但显然R(A) R(A”),由§2定理3,R(A")=R(A") (A”),故 R(A')=N(A)2,第四式成立 最后N(A)2=R(A”)=R(A) 定理7(Lax- Milgram)设H是 Hilbert空间,:H×H→Φ是 、五线性的.若φ有界并且存在r>0使得 (x,x)≥r|,x∈H 则存在A∈B(H),A可逆,4≤r-并且 P(x,y)=(x, Ay),Vx,yEH 证明由定理3知道存在A∈B(H)使得 x.1 由定理中条件,当x=y时 xso(x, x)<Axl 或者 川斗Ax,yx∈H 这说明A是可逆的.同样地还有10 0＝ (Ax, y) ＝ (x, A y) ∗ ， 故 ( ) ∗ x ⊥ R A ， ∗ ⊥ x ∈ R(A ) ，所以 ∗ ⊥ N(A) ⊂ R(A ) . 反之， ∀ ∈x R( ) A∗ ⊥ ， (x, A y) ∗ ＝0, ∀y ∈ H . 从而 (Ax, y) ＝ (x, A y) ∗ ＝0. y 任意，故 Ax = 0 ，x ∈ N(A) ，R(A ) ⊂ N(A) ∗ ⊥ 。总之 N A( ) R( ) A∗ ⊥ = . 由此 ∗ ∗∗ ⊥ ⊥ N(A ) = R(A ) = R(A) . 同样地由第一式知 ⊥ ∗ ⊥⊥ N(A) = R(A ) . 但显然 ∗ ⊥ R(A ) ＝ ⊥ ∗ R(A ) ，由§2 定 理 3 ， = ∗ R(A ) ⊥⊥ ∗ R(A ) ＝ ∗ ⊥⊥ R(A ) ， 故 ∗ ⊥ R(A ) = N(A) , 第四式成立. 最后 ∗ ⊥ N(A ) ＝ R(A ) = R(A) ∗∗ . 定理 7 (Lax-Milgram) 设 H 是 Hilbert 空间,ϕ : H × H → Φ 是 一、五线性的. 若 ϕ 有界并且存在 r > 0 使得 ϕ(x, x) ≥ r 2 x , ∀ x ∈ H (4-3-8) 则存在 A∈ B(H ), A 可逆, −1 A ≤ −1 r 并且 ϕ(x, y) = (x, Ay) , ∀ x, y ∈ H . 证明 由定理 3 知道存在 A∈ B(H ) 使得 ϕ(x, y) = (Ax, y) = ( , ) * x A y . 由定理中条件, 当 x = y 时 r 2 x ≤ ϕ(x, x) ≤ Ax x 或者 r x ≤ Ax , ∀ x ∈ H . (4-3-9) 这说明 A 是可逆的. 同样地还有